基于出行時間可靠性的支路網(wǎng)絡(luò)均衡分析

徐光明，王英姿，2，史 峰，秦 進

(1.中南大學 交通運輸工程學院，長沙410075;2.湖南大學 土木工程學院，長沙410082)

0 引 言

城市交通網(wǎng)絡(luò)用戶均衡分析方法［1-2］和長期習慣性用戶均衡分析方法［3-4］在城市交通組織中具有重要意義。用戶均衡分析使得路徑出行時間達到用戶均衡;長期習慣性用戶均衡分析在給定出行時間可靠的基礎(chǔ)上使得路徑出行時間達到用戶均衡。由于支路路段較窄，可靠性較差，人們通常更愿意選擇干道出行，所以，對支路網(wǎng)絡(luò)而言，長期習慣性用戶均衡分析具有特殊意義。

通行能力降級程度是道路網(wǎng)絡(luò)的屬性之一。相比于支路路段，更小的通行能力降級程度通常會導致干道路段平均飽和度更大一些。為了描述網(wǎng)絡(luò)通行能力的不確定性，反映因自然災害、惡劣天氣、交通事故、道路維護等造成的隨機通行能力降級，提出了出行時間可靠性的概念。Sumalee等［5］針對通行能力降級路網(wǎng)在一定可靠度下研究了用戶均衡模型。Lo 等［3-4］通過構(gòu)建長期習慣性均衡模型，針對多類風險意識群體，研究了通行能力降級路網(wǎng)中的出行時間預算問題，從降級網(wǎng)絡(luò)和可靠性的角度深化了均衡分析的研究內(nèi)容。

支路網(wǎng)絡(luò)的均衡分析與一般意義的城市交通網(wǎng)絡(luò)均衡分析存在較大差異，這是因為在一些支路路段上雙向車流不分道行駛，雖然能夠雙向調(diào)劑使用路段通行能力，但路段通行能力與雙向流量比例相關(guān)，越對稱的雙向流量的路段通行能力越小。Wang 等［6］利用元胞自動機模型模擬分析了雙向支路路段的通行能力，獲得其在不同方向流量比例分布下的路段通行能力、車輛平均速度與路段寬度之間的關(guān)系曲線，以及在不同方向流量比例分布下主路和輔路飽和流量、車輛平均速度與路段寬度之間的關(guān)系曲線。史峰等［7］進一步提出了雙向支路路段通行能力依賴于路段寬度、單車道通行能力、雙向流量比例等因素的近似解析公式，擴展了雙向支路路段費用的解析表達式。

本文注意到支路網(wǎng)絡(luò)中隨機通行能力降級現(xiàn)象比干道網(wǎng)絡(luò)更為嚴重的規(guī)律性，結(jié)合出行時間的可靠性研究了支路網(wǎng)絡(luò)均衡問題。通過分析雙向支路路段通行能力特征，結(jié)合擴展的支路路段的出行時間函數(shù)，針對各類路段通行能力降級特征，分別描述各類路段能力降級參數(shù)，在長期習慣性均衡模型基礎(chǔ)上，構(gòu)建了基于出行時間可靠性的城市支路網(wǎng)絡(luò)均衡分析模型。設(shè)計了逐個起點分步實施的相繼平均法，通過將交通分配的常規(guī)相繼平均法進行分拆，求解該模型，并進行了相應(yīng)的算例分析。

1 考慮支路雙向干擾和出行時間可靠性的支路網(wǎng)絡(luò)均衡問題

在城市道路網(wǎng)絡(luò)N=(V，A ∪B1∪B2)中，V 為節(jié)點集，V={v1，v2，…，vn};A 為干道路段集;B1為單行道支路路段集;B2為不分道行駛支路路段集。

當路段a ∈A ∪B1∪B2時，C－a 為路段a 的通行能力上限;θa∈(0，1)為路段通行能力降級參數(shù);路段a 的實際通行能力Ca為隨機變量，在區(qū)間中服從均勻分布。顯然，降級參數(shù)θa越大，能力降級程度越小。一般來說，干道路段的通行能力降級參數(shù)最大，單向支路路段次之，雙向支路路段最小。

當a ∈A ∪B1時，為常數(shù);當a ∈B2時，根據(jù)文獻［7］，為雙向支路路段a 與反向路段的共同通行能力，可用如下公式表示:

當a ∈A ∪B1時，出行時間采用標準BPR 函數(shù):

式中:ta0為路段a 的自由流出行時間;α 和β 為參數(shù)，顯然Ta也是隨機變量。

當a ∈B2時，出行時間采用BPR 函數(shù)的拓展形式:

RS ?V×V 為O-D 需求點對集，qrs，(r，s)∈RS 為O-D 需求。

基于出行時間可靠性的支路網(wǎng)絡(luò)均衡分析問題面向支路網(wǎng)絡(luò)，考慮路網(wǎng)隨機通行能力降級和支路雙向干擾，在保證可靠度ρ 的情況下，以路徑出行時間預算作為路徑費用，對已知交通需求進行用戶均衡交通分配。

2 基于出行時間可靠性的支路網(wǎng)絡(luò)均衡模型

記Krs為O-D 對(r，s)之間的路徑集，fp為路徑p ∈Krs上的流量。從雙向支路路段通行能力方面擴展Lo 等［3-4］的思想，假設(shè)不同路段通行能力相互獨立，則路段費用的期望和方差分別為:

由中心極限定理，路徑p 的出行時間Tp=近似地服從正態(tài)分布，數(shù)學期望E(Tp)和方差σ(Tp)2分別為:

出行者在路徑p ∈Krs上基于可靠度ρ 的出行時間預算為:

在降級路網(wǎng)中，用戶以出行時間預算最短為準則選擇路徑，由Wardrop 第一原理，在支路網(wǎng)絡(luò)中任意點對之間最小出行時間預算πrs與路徑出行時間預算bp、路徑流量fp之間滿足如下關(guān)系:

因此，基于出行時間可靠性的支路網(wǎng)絡(luò)用戶均衡問題可通過以下不等式組求解:

式(4)～式(15)等價于數(shù)學規(guī)劃模型:

由于數(shù)學規(guī)劃模型的目標函數(shù)非負，所以當且僅當最優(yōu)目標函數(shù)值為零時達到用戶均衡。

3 本文算法

基于出行時間可靠性的支路網(wǎng)絡(luò)用戶均衡數(shù)學規(guī)劃模型與常規(guī)基于出行時間可靠性的用戶均衡模型的差異，在于雙向支路路段費用的數(shù)學期望E(Tp)和方差σ(Tp)的表達式不同，由于路徑費用的不可加性，所以采用路徑配流方法和相繼平均法設(shè)計模型的求解算法。

由于雙向支路路段的通行能力與雙向流量比例有關(guān)，使得基于出行時間可靠性的城市支路網(wǎng)絡(luò)均衡分析的數(shù)學規(guī)劃模型不是凸規(guī)劃，如果對所有O-D 流的全有全無分配同時實施相繼平均處理，則可能導致支路路段雙向流量比例大幅振蕩，通行能力也相應(yīng)地大幅振蕩，難以保證算法的收斂性。為了解決這個問題，對常規(guī)的相繼平均法進行分解，逐個起點相繼平均處理，這樣可以明顯降低雙向流量比例的振蕩幅度，達到提高收斂速度的目的。

路徑配流的適用性及相關(guān)問題已被廣泛討論［8-12］。由于路徑費用的不可加性，難以在全體路徑集內(nèi)求解，為此，先求取沒有重復點的k-最短路徑集，再在該路徑集中求解出行時間預算最短路徑。綜上所述，設(shè)計求解算法如下。

算法1 基于出行時間可靠性的支路網(wǎng)絡(luò)用戶均衡交通分配算法

輸入:支路網(wǎng)絡(luò)N=(V，A ∪B1∪B2);單向支路路段通行能力參數(shù);雙向支路路段通行能力參數(shù)和η，w0，w1，wa;θa，a ∈A ∪B1∪B2;O-D 需求qrs，(r，s)∈RS;可靠度ρ;k-最短路集參數(shù)k;收斂參數(shù)ε。

輸出:流量xa，a ∈A ∪B1∪B2;流量fp，p ∈Krs，(r，s)∈RS 和時間預算πrs，(r，s)∈RS。

4 算例分析

含支路路段的網(wǎng)絡(luò)如圖1 所示，由17 個節(jié)點構(gòu)成，所有雙實線為干道路段(除了路段(3，11)、(11，7)、(7，1)的通行能力上限為2400 pcu/h 以外，其他干道路段的通行能力上限均為1600 pcu/h)，所有單實線段為支路路段(路段寬度均為4.85 m)，具有箭頭的支路路段為單行道，其箭頭指向為單向行駛方向，其他支路路段為雙向不分道行駛，干道路段雙向分道行駛，圖中數(shù)字表示各路段的自由流時間，單位為min(干道路段雙向具有等值能力和自由流出行時間，圖中僅列出單方向數(shù)據(jù))。交通需求量如表1 所示。支路路段的單向單車道通行能力均為C1a=800 pcu/h。

圖1 算例網(wǎng)絡(luò)Fig.1 Test network

表1 交通需求(pcu/h)Table 1 Traffic demands(pcu/h)

無論是干道路段還是支路路段，均取α =0.15，β=4，可靠度ρ=0.9，路段降級參數(shù)為:

以上是網(wǎng)絡(luò)參數(shù)設(shè)置，在算法執(zhí)行參數(shù)中，設(shè)置k-最短路集參數(shù)k=5，收斂參數(shù)ε=10－5。考慮多種交通需求水平，以表1 交通需求為基礎(chǔ)，分別按照η 的倍數(shù)確定需求。利用算法1 分別求解各種需求進行交通分配，其路段分類平均飽和度的變化趨勢如圖2 所示。

從圖2 可以看出:路段平均飽和度都隨著需求水平的增加而單調(diào)增加，干道平均飽和度幾乎與需求水平等比例增加，支路平均飽和度隨需求水平的增長速度相對平緩。

圖2 路段平均飽和度與需求水平η 的關(guān)系曲線Fig.2 Relation curves between the average saturation of road sections and the demand level η

總體來看，干道平均飽和度高于支路平均飽和度、雙向支路路段平均飽和度高于單向支路路段平均飽和度。產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因有兩個:其一為網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)所致(一些支路不便于利用)，其二為支路路段能力降級程度更大。

圖3 展示了網(wǎng)絡(luò)中各雙向路段流量、通行能力關(guān)于需求水平的變化趨勢，圖中的正向表示標明弧段的相同方向，反向則是與之相反的方向，比如在路段(11，12)的子圖中，正向為點11 至點12的方向，反向為點12 至點11 的方向。

由文獻［4］可知，對于這些寬度僅為4.85 m的路段，雙向行駛通行能力低于單向行駛通行能力，并且隨著雙向流量的對稱性增加通行能力進一步減小。路段(11，12)和(14，15)的雙向流量都較大，組織雙向行車是合理的，除了較低的需求水平外，雙向流量趨于對稱，通行能力趨于下降，并且在需求水平η=3 時都已處于飽和狀態(tài)。至于路段(13，14)和(14，17)，除了較低需求水平外都是單向流量，這兩個路段的飽和度都較低。

最后，再分析一下不同可靠度對出行者選擇干道和支路出行的影響。在可靠度ρ =0.9 和ρ=0.2 兩種情形下，干道和支路路段平均飽和度與需求水平的關(guān)系曲線如圖4 所示。顯然，在任何一個需求水平上，可靠度ρ=0.9 對應(yīng)的干道平均飽和度較大，支路的平均飽和度較小，平均飽和度的這種大小關(guān)系隨著需求的增加幾乎等比例增加。當可靠度ρ=0.2 時，與可靠度ρ=0.9相比，支路平均飽和度增加，干道平均飽和度減少。相比之下，干道平均飽和度的差異性沒有支路的顯著，其原因在于干道路段通行能力遠高于支路路段通行能力。由此看來，在較高可靠度的期望下，出行者更傾向于選擇干道而不選擇支路出行;或者說，越保守的出行者選擇支路出行的概率越小。

圖3 雙向支路路段通行能力、雙向流量和、正反方向流量與需求水平的關(guān)系曲線Fig.3 Relation curves between the demand level η and the capacity，total two-way flows，traffic flows with two different directions in two-way branch road sections

圖4 不同可靠度下路段平均飽和度與需求水平η 的關(guān)系曲線Fig.4 Relation curves between the average saturations of road sections under different travel time reliabilities and the demand level η

5 結(jié) 論

(1)在隨機通行能力降級的城市支路網(wǎng)絡(luò)中，由于雙向路段通行能力與雙向流量比例相關(guān)，可以在長期習慣性均衡模型基礎(chǔ)上，增加雙向路段通行能力特征，構(gòu)建基于出行時間可靠性的城市支路網(wǎng)絡(luò)均衡分析模型。

(2)由于雙向路段的通行能力特征，使得基于出行時間可靠性的城市支路網(wǎng)絡(luò)均衡分析的數(shù)學規(guī)劃模型不是凸規(guī)劃，為了提高收斂性，可逐個起點分步實施相繼平均法，以降低每一步的波動，提高算法收斂性。

(3)由于干道通行能力降級程度較支路更小，在同等可靠度條件下，干道路段平均飽和度比支路更大。在支路網(wǎng)絡(luò)交通組織優(yōu)化中，只要合理描述路段能力降級參數(shù)，便可獲得合理的飽和度狀態(tài)，更真實地反映了支路網(wǎng)絡(luò)出行的可靠性特征。

(4)在不同的可靠度要求下，出行者對干道和支路選擇結(jié)果是有差異的。在較高可靠度的期望下，出行者更傾向于選擇干道、而不選擇支路出行;或者說，越保守的出行者選擇支路出行的概率越小。

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