非數據輔助的多指數連續相位調制信號的載波頻率估計算法

楊 春，鐘 聲，謝 滔，謝順欽，張 健，郄志鵬

(1.中國工程物理研究院 電子工程研究所，四川 綿陽621900;2.國防科學技術大學 電子科學與工程學院，長沙410073)

0 引 言

多指數連續相位調制(Multi-h CPM)是一種有記憶的、高效的、恒包絡的非線性調制技術，它具備高效的頻譜效率和功率效率［1-4］且對功放和信道的非線性特性不敏感等性質，在無線通信系統中有著廣泛的應用。多個隨時間循環變化的調制指數不僅可以提高抗誤碼能力［5］，還可以使頻譜更加緊湊、帶外滾降更快，提高其頻譜利用率，在帶寬和功率受限的條件下，Multi-h CPM 有著比單指數CPM 更加優異的傳輸性能。由于Multih CPM 信號的載波頻率估計困難且算法復雜度較高，如何有效地實現Multi-h CPM 信號的載波頻率估計成為了Multi-h CPM 接收機研究的關鍵。

目前關于Multi-h CPM 信號的載波頻率估計算法的研究比較少，基于FFT 鑒頻的CPM 頻率估計是較為常見的載波頻率估計算法，可以同時適用于單、多指數CPM 信號。但該算法對CPM 信號具有一定的應用局限，這主要是因為FFT 算法對抑制載波信號的頻率估計精度有限，因此需要對接收的CPM 信號進行P 次冪操作(P 為調制指數的分母項)才能獲得其離散的載波頻率分量，而P 次冪的處理使得接收信號的信噪比急劇惡化，因此基于FFT 鑒頻的載波頻率估計算法對CPM 信號具有應用局限性。對于單指數CPM，文獻［6］提出了一種非數據輔助的GMSK 的載波頻率恢復算法，在延遲相乘提取載波頻率誤差的基礎上，通過計算接收信號的自相關值提高了頻率估計的精度。文獻［7-8］提出了一種基于判決反饋的載波頻率和載波相位的聯合估計算法，通過對CPM 信號的波形分解［9-10］近似降低了算法的復雜度，但該類算法不適用于Multi-h CPM 信號。文獻［11］給出了一種定時-頻率聯合估計算法，通過對接收信號差分并平方，然后選擇具有最大平均功率的支路信號獲得載波頻率誤差的估計值，但該算法對部分響應長度較長的CPM 性能較差且實現復雜度較高。文獻［12-13］提出了一種基于前導碼元輔助的載波頻率恢復算法，通過對已知頻譜特性的前導碼元進行離散傅立葉變換獲得CPM 信號的載波頻率誤差的估計值，但是前導碼元序列的引入造成了額外信號帶寬的使用。文獻［14］針對單指數CPM 信號提出了一種非數據輔助的載波頻率估計算法，但并不適用于Multi-h CPM 信號。

本文在文獻［14］的基礎上，提出了一種適用于Multi-h CPM 信號的非數據輔助的載波頻率估計算法。基于最大似然準則，通過對載波頻率和調制指數同步偏差的邊緣聯合似然函數化簡，獲得了Multi-h CPM 信號載波頻率的估計，并給出了Multi-h CPM 信號載波頻率估計算法的修正Cramer-Rao 限。該算法對全響應和部分響應Multi-h CPM 信號均能實現有效的載波頻率估計，而且對符號定時偏差和調制指數同步偏差不敏感。

1 Multi-h CPM 信號模型

式中:Es為信號碼元能量;T 為碼元間隔寬度;α=(α0，α1，…，an)為發送的M 進制信息符號序列，即αn∈{±1，±3，…，±(M－1)}。調制指數hn－=kn－/p，kn－和p 是互素整數且hn－在每個碼元周期內保持不變，多個調制指數{h0，h1，…，hNh－1}以Nh為周期循環變化，n－表示n 模Nh的運算。

2 非數據輔助的載波頻率估計

AWGN 信道中傳輸后的Multi-h CPM 接收信號的復基帶信號可以表示為:

式中:n(t)為接收端功率譜密度為N0的零均值復高斯白噪聲;τ 為符號定時偏差，它主要由發送端與接收端的時鐘偏差引起;ζ 為調制指數同步偏差，其值取自于一個離散的有限集合Γ={0，1，…，Nh－1}，其物理意義為:由于非完整接收，造成發送信號與接收信號的調制指數周期循環變化的起始時刻不一致;θ 為信道引入的隨機相位;f 為數字下變頻后殘留載波頻率。

根據最大似然定理，在觀察間隔0 ≤t ≤L0T內(L0為觀察的符號間隔長度，且L0是Nh的整數倍)，未知參數和的聯合似然函數可表示為:

將式(5)代入式(4)，則式(4)可改寫成:

式中:I0( )·表示第一類零階修正貝塞爾函數，且在低信噪比下滿足式I0( x) =1+x2/4。

利用文獻［14］中的方法將式(8)展開，并去除所有可能的無關項，則Multi-h CPM 信號的關于載波頻率和調制指數同步偏差的邊緣聯合似然函數可表示為:

式中:r(k)為數字離散化后的接收信號;Ts為接收端的采樣周期，且N=T/Ts。

式中:

需要指出的是，當q(Δt，t)的值趨近于0 時，需通過求極限來求得F［Δt，t］的值。

對于Multi-h CPM 信號，由于其各個調制指數使用概率相等，對式(9)求的數學期望:

為了便于表述，令:

將式(14)代入式(13)，則Multi-h CPM 信號的載波頻率的似然函數可表示為:

圖1 給出了M=4，L=3，h=(4/16，5/16)升余弦成形的ARTM Tier2 信號的g(k)波形圖。

圖1 ARTM Tier2 信號的g(k)波形圖Fig.1 Pulse of g(k)for ARTM Tier2

從圖1 可以看出:g(k)是以k=0 奇對稱的實函數，且Multi-h CPM 信號的g(k)是一個物理不可實現的非因果濾波器，把g(k)向右平移ND個采樣點將其轉變成物理可實現的因果濾波器，則g(k)被限制在0 ≤k ≤2ND 內。例如對于ARTM Tier2 信號，D 取4。通過向右平移g(k)，式(15)可改寫為:

令式(17)等于零，則Multi-h CPM 信號的載波頻率誤差信號e［n］可表示為:

式中:n=floor(k/N)表示第n 個碼元符號。

式中:γ 為迭代步長，且γ=4BLT/kd，BLT 表示歸一化等效環路噪聲帶寬，kd為鑒頻增益，即鑒頻算法的S 曲線的斜率。

圖2 為本文算法的ARTM Tier2 信號的鑒頻S 曲線。

圖2 ARTM Tier2 信號的鑒頻S 曲線Fig.2 S-curves for ARTM Tier2

考慮到實際應用中可能會出現的多普頻率及其變化率，可用e(n)作為誤差信號控制一個二階數字鎖相環實現對其跟蹤，則f^的迭代更新方程可以表示為:

式中:C1和C2是二階數字鎖相環的環路參數，其值將直接影響到環路的收斂時間及的估計精度，在實際中往往需要根據系統的邊界條件做出合理的選取。

在時域上，載波頻率體現為載波瞬時相位的累加求和，則載波瞬時相位可以表示為:

圖3 給出了文中算法的實現框圖。首先將經過下變頻的接收信號r(k)一方面以采樣速率Ts送入到上支路與沖激響應為g(k－ND)的濾波器中進行濾波和求共軛;另一方面經過ND 個采樣周期延遲的下支路信號與上支路的輸出進行兩兩相乘，并送入到誤差提取模塊中得到載波頻率誤差值e(n)，該誤差值經過環路濾波實現對隨機噪聲的抑制和的迭代求解，然后將載波頻率估計值送入到VCO 中生成載波瞬時相偏φ( k) ，最 后VCO 輸 出 的e－jφ()k 與 接 收 信 號r( k) 兩兩相乘，實現對載波頻率恢復。

圖3 Multi-h CPM 信號的載波頻率估計算法的實現框圖Fig.3 Implementation scheme of non-data aided carrier frequency estimation for Multi-h CPM

3 性能分析及仿真

3.1 修正的Cramer-Rao 限

修正的Cramer-Rao 限(MCRB)是評估載波頻率恢復算法性能的常用方法，它給出了載波頻率估計算法性能的下限［7］。在AWGN 信道下，Multi-h CPM 信號關于載波頻率f 的MCRB 限可表示為:

式中:s(·)表示Multi-h CPM 信號;If={α，θ，τ，ζ}表示需要通過求數學期望去掉的未知參數矢量。

對式(22)中的分母項求If的數學期望，可得:

且令歸一化等效噪聲帶寬BLT=1/ ( 2L0)并代入式(23)，則Multi-h CPM 信號的關于載波頻率f的MCRB 限可表示為:

3.2 性能仿真

利用Matlab 軟件對文中算法進行仿真，Multi-h CPM 的調制參數根據不同的仿真方案選擇，符號速率為5 M Baud/s，多普勒頻率為1 MHz，多普勒頻率一階變化率為200 kHz/s，其中環路濾波器為二階數字鎖相環，過采樣倍數N 取4，歸一化等效環路噪聲帶寬BLT=5×10－3，信道為加性AWGN 信道，估計結果用歸一化頻率誤差方差(Normalized frequency error varince square error，NVAR)衡量，即:

圖4 給出了幾種不同調制模式下的Multi-h CPM 信號的非數據輔助的載波頻率估計的性能曲線和MCRB 限。從圖4 中可以看出，對于不同的部分響應長度L、成形脈沖形狀和調制指數的Multi-h CPM 信號，本文算法均有較好的仿真結果。但隨著信噪比的增加，本文算法的估計性能卻達到了一個錯誤平層，這主要是由本文算法的似然函數形式和CPM 信號自身特點引起的。一方面CPM 信號通過引入碼間串擾(ISI)提高了其頻譜效率;另一方面似然函數中的∑k1∑k2r(k1)×r*(k2)項相當于又引入了一項ISI，從而造成了一個固定干擾項。在低信噪比階段，噪聲是主要的干擾，而在中高信噪比階段，ISI 變成主要的干擾，由于ISI 是固定存在的，不會隨著信噪比的增大而減少，從而造成其估計性能幾乎與信噪比無關。總體來看，該算法在符號信噪比為5 dB 時，三種信號的載波頻率估計歸一化頻率誤差方差能達到10－3數量級。在實際應用中其性能是較為優異的。

圖4 不同調制模式下的Multi-h CPM 信號的載波頻率估計性能Fig.4 Performance of proposed algorithm for several formats of Multi-h CPM

圖5 給出了在不同的符號定時偏差、符號定時抖動方差和調制指數偏差時，ARTM Tier2 信號的載波頻率估計性能的比較。從圖5 中可以看出，與無符號定時偏差和調制指數同步偏差相比，當ζ=1，τ=0.5T 且定時抖動方差高達0.1 時，其載波頻率估計的性能基本沒有惡化，即本文算法對符號定時偏差、符號定時抖動方差和調制指數偏差不敏感。因此，在實際應用中可在符號定時同步之前用本文算法實現其載波頻率的恢復，從而避免了對載波頻率敏感的符號定時同步算法在載波頻率影響下建立同步時間過長甚至失鎖的問題。

圖5 存在符號定時偏差和調制指數同步偏差時，ARTM Tier2 信號的載波頻率估計性能Fig.5 Performance of proposed algorithm for ARTM Tier2，when existing symbol timing offset and modulation index timing offset

4 結束語

提出了一種適用于Multi-h CPM 信號的非數據輔助的載波頻率估計新算法，它從單指數CPM信號的非數據輔助的載波頻率估計算法出發，推導出了Multi-h CPM 信號的載波頻率估計算法。然后為了有效地界定該文中算法的性能，推導給出了Multi-h CPM 信號的載波頻率估計性能的MCRB 限，最后進行了計算機仿真驗證。仿真結果表明:該算法同時適用于全響應和部分響應的Multi-h CPM 信號，載波頻率估計的性能良好，且對符號定時偏差和調制指數同步偏差不敏感。且本文算法的實現相對簡單，可以快速、準確地進行載波頻率估計，適合于Multi-h CPM 信號的軟件無線電系統。

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