基于擾動觀測器的電動助力轉向系統用永磁同步電機魯棒預測電流控制

張 虎，張建偉，郭孔輝，李 洋

(吉林大學 汽車仿真與控制國家重點實驗室，長春130022)

0 引 言

電動助力轉向系統(Electric power steering，EPS)以其高效、節能和安裝方便等優點正逐漸取代液壓助力轉向系統成為汽車動力轉向系統的發展趨勢。EPS 的助力電機主要有直流有刷電機、直流無刷電機、永磁同步電機和感應電機。相比于其他幾種助力電機，永磁同步電機以其高能量密度、高轉矩慣量比、高可靠性和轉矩脈動小等優點越來越多地應用到EPS 中［1］。

目前常用的EPS 用永磁同步電機電流控制策略為基于矢量控制的同步坐標系下的PI 控制。但是矢量控制僅實現了dq 軸電流的靜態解耦，動態過程中交叉耦合項的存在會影響電流跟蹤性能。為此，文獻［2-3］提出了前饋解耦、反饋解耦、內模解耦和逆系統解耦等各種解耦方法來提高電流動態性能。此外，傳統PI 電流控制調節時間長且容易超調，很難兼顧EPS 系統對電流響應的快速性和穩定性的要求。

除傳統的PI 電流控制外，滯環控制、無差拍控制等方法也被廣泛應用于永磁同步電機電流環的控制。滯環控制響應迅速且對電機參數不敏感［4］，但其控制的電流波紋大且開關頻率不定，不適用于EPS 系統。無差拍電流控制能夠在有限拍時間內無差跟蹤目標電流值，響應快速且無超調，但其控制性能依賴于精確的電機模型，另外，與其他控制方法一樣，其穩定性受控制延遲的影響，因此在實際應用中應對無差拍控制進行改進。針對控制延時問題，文獻［5-6］提出將延時放到電機模型中并對電機電流進行向前一步預測的方法消除系統延時對穩定性的影響。針對電機電感參數攝動問題，文獻［7-8］提出采用狀態觀測器預測下一時刻電機電流，并通過調整狀態觀測器的增益擴展了系統穩定性對模型電感誤差的容許范圍。但上述方法并未考慮其他電機參數攝動及擾動對系統魯棒性能的影響。文獻［9］采用參數在線辨識的方法來消除電機參數波動對系統性能的影響，但辨識過程繁瑣且辨識結果受采樣噪聲的影響。

針對上述問題，本文首先利用反饋解耦消除了電壓交叉耦合項對系統動態性能的影響。在此基礎上建立了考慮系統延時和擾動的電機解耦模型。分析了系統延時、電機參數攝動和其他系統擾動對無差拍電流控制器動態性能和穩態性能的影響，提出了一種由無差拍控制器、電流狀態觀測器和自適應擾動觀測器構成的魯棒預測無差拍電流控制(ARPCC)算法，電流狀態觀測器用于保證無差拍控制系統的穩定性，自適應擾動觀測器用于提高系統的跟蹤精度。然后對所提控制器的無差拍性能和穩定性進行了分析，并在一臺460 W的EPS 永磁同步電機上對所提控制算法的有效性進行了試驗驗證。

1 永磁同步電機的數學模型

1.1 永磁同步電機基本模型

忽略磁路飽和、磁滯和渦流的影響，假設定子三相繞組對稱且繞組電流在氣隙中產生的磁動勢為正弦分布，則在同步dq 軸坐標系下，表貼式永磁同步電機電流動態方程可以表示為:

式中:id、iq、ud和uq分別為電機dq 軸的電流和電壓;R、L 和ψ 分別為電機定子電阻、定子電感和轉子磁鏈;ωe為電角速度。

由式(1)可知，矢量控制僅實現了dq 軸電流的靜態解耦，在動態過程中，由于交叉耦合項ωeiq和ωeid的存在造成兩軸電流相互影響，使dq 軸電流控制精度降低，動態過程變慢［2］。因此要實現電機良好的動、靜態性能，必須先對交叉耦合項進行補償，本文采用反饋解耦的方法來消除交叉耦合項對系統性能的影響。令:

式中:i =［id，iq］T;v =［vd，vq］T;ac=－R/L，bc=1/L。

由式(3)可知，dq 軸電流狀態方程被解耦為兩個完全相同的單輸入、單輸出一階慣性環節。上述狀態方程式(3)的解為:

考慮到逆變器零階保持特性，令t0=kT，且t=(k+1)T，則式(4)可以離散化為:

1.2 考慮延時及擾動的永磁同步電機模型

圖1 為數字電流控制器的時序圖，理想的控制器采樣、計算和控制量的輸出都是在采樣時刻kT 完成的。但實際上，從電流控制開始到控制結束存在兩個采樣周期的延時。第一個延時用于電流等信號的采集及控制算法的計算，逆變器的零階保持特性引入了第二個延時［5］。

圖1 數字電流控制器時序圖Fig.1 Timing sequence of the digital current controller

此外，系統運行過程中，電機參數攝動、電機轉子位置信號和電流信號的擾動、蓄電池電壓波動、逆變器非線性和電機的未建模動態都會影響電流控制器的魯棒性能，因此本文將其統一作為系統擾動處理，其表達式為:

在狀態方程(3)的解中引入延時td=T 和式(6)所述的不確定性擾動，并令id(t)=i(t－td)則有:

將t0=kT－td和t=(k+1)T 代入式(7)得:

假設在采樣周期內擾動d(t)不變且施加在

電機上的電壓保持恒定，并令dd(t)=d(t－td)則有:

由式(8)(9)可得考慮延時及擾動的永磁同步電機離散模型為:

2 無差拍電流控制的動態分析

無差拍電流控制能夠在有限拍的時間內實現電機電流對給定電流的無差跟蹤［10］。當延遲時間滿足td?T 時，即忽略采樣和計算延時，電機電流動態方程可由式(5)表示，令i(k +1)=iref(k)，則無差拍控制率可以表示為:

由式(5)(11)得無差拍電流控制框圖，如圖2 所示。

圖2 無差拍電流控制框圖Fig.2 Block diagram of the deadbeat current control

當忽略采樣和計算延時時，無差拍電流控制能夠在一個采樣周期內實現電機電流對給定電流的無差跟蹤。但實際上當延遲時間與控制周期相當時，由數字控制本身不可避免的延時也會降低系統的穩定裕度。圖3 為考慮延時的無差拍電流控制框圖。

由控制框圖3 可知，考慮延時的無差拍電流控制閉環傳遞函數為:

由式(13)可知，當β=1 時，閉環傳遞函數簡化為T(z)=1/(z2－z+1)，系統的兩個閉環極點都位于單位圓上，系統穩定裕度大大降低。系統穩定的條件為:0 ＜β ＜1。因此延時的存在使系統的無差拍控制性能劣化。

由上述分析可知，無差拍電流控制器的穩定性受到系統延時和電感參數攝動的影響。另外，電機參數攝動、各采樣信號的擾動、逆變器非線性和電機模型中的未建模動態等擾動也會影響電流控制的魯棒性能。

圖3 考慮延時的無差拍電流控制框圖Fig.3 Block diagram of the deadbeat current control with time delay

3 基于擾動觀測器的魯棒預測電流控制算法設計及分析

為了補償采樣和計算延時以及系統擾動，提高系統的穩定性和控制精度，本文在無差拍電流控制基礎上增加電流觀測器和擾動觀測器。電流觀測器預測電機電流補償系統延時并通過調整觀測器增益擴展系統穩定性對電感攝動容許范圍，從而提高系統的穩定裕度。擾動觀測器可以估計包括電機參數變化、車載蓄電池電壓波動、逆變器非線性以及其他一切擾動的綜合作用［11］，從而提高系統的魯棒性能。

3.1 魯棒預測電流控制算法設計

假設系統擾動dd(k)已知，為了補償采樣和計算延遲，提高系統穩定性，將式(10)超前一個采樣周期，并且令id(k+2)=iref(k)得電流控制系統的無差拍控制率:

之所以稱之為預測控制是因為需要預測下一時刻的電機電流id(k+1)和擾動dd(k+1)。

k+1 時刻的擾動dd(k+1)可以利用拉格朗日差值公式預測得到:

本文采用狀態觀測器預測k+1 時刻的電機電流id(k+1)。電流觀測器的差分方程為:

系統帶寬和收斂速度取決于觀測器極點的位置。此狀態觀測器的極點為，為了保證系統的穩定性，狀態觀測器增益值應滿足0 ＜Lso＜2。

3.2 自適應擾動觀測器設計

本文采用基于李雅普諾夫穩定理論的自適應觀測器估計系統擾動dd(k)，由狀態方程式(10)構造自適應觀測器的參考模型如下:

則其可變模型可以表示為:

構造如下李雅普諾夫函數:

式中:λ 為大于零的實數。

由李雅普諾夫穩定理論［12］可知，要使系統全局漸進穩定必須滿足:

對式(20)李雅普諾夫函數求導得:

由式(22)得系統擾動自適應率為:

自適應率的離散化形式為:

3.3 魯棒預測電流控制的無差拍性能及擾動觀測器穩定性分析

由式(14)(16)得魯棒預測電流控制框圖如圖4 所示。

圖4 魯棒預測電流控制框圖Fig.4 Block diagram of the robust predictive current control

由控制框圖4 知，魯棒預測電流控制開環傳遞函數為:

假設β ≈1，則系統的閉環傳遞函數為:

由式(26)可知，對于任意的狀態觀測器增益Lso，魯棒預測控制都是兩個采樣延時的無差拍控制，即電機電流經過兩個控制周期后實現對給定電流的無差跟蹤。其閉環特征方程為(z+Lso)(z－1)+Lsoβ =0，由July 判據可知，當β ∈［0，(1+Lso)/Lso］時系統穩定。減小觀測器增益Lso能夠在不改變無差拍性能的前提下擴展對電感不確定的容許范圍，增加了系統的穩定裕度。

為了確定式(24)中的自適應增益λ 的取值范圍，引入離散域李雅普諾夫函數:

則自適應律能夠使觀測器穩定的條件為:

由式(27)為正定二次型函數知，要使式(28)成立只需滿足:

將式(19)(24)(27)的離散式代入式(29)得:

此外，由于實際的系統擾動都是在一定范圍內變化的，為了保證自適應觀測器的有界穩定性，將估計的擾動(k)限制在內。

4 仿真及試驗結果分析

對提出的基于自適應擾動觀測器的魯棒預測電流控制(ARPCC)算法的性能進行仿真和試驗驗證。仿真和試驗驗證用轉向助力電機參數如下:額定功率為460 W;額定轉速為1050 r/min;額定轉矩為4.2 N·m;額定電流為113 A;定子電阻為0.0143 Ω;定子電感為66.2 μH;轉子磁鏈為0.00618 Wb;極對數為4。由于算法是基于矢量控制的，故采用SVPWM 調制方法，電流的采樣和控制周期均為50 μs。

4.1 仿真結果及分析

仿真環境為Matlab/Simulink，本文所提出的ARPCC 算法中狀態觀測器增益Lso=0.5，擾動觀測器增益λ=0.4。

圖5 給出了文獻［7］提出的魯棒預測電流控制(RPCC)算法和本文提出的ARPCC 算法忽略逆變器非線性而電阻增大80%時的q 軸電流控制效果。其測試工況為:q 軸目標電流設為頻率為1 Hz、幅值為113 A 的正弦電流信號，負載為4 N·m 以模擬EPS 原地轉向工況(工況1)。圖中和Δiq_ARPCC分別表示q 軸目標電流、RPCC 算法控制誤差和ARPCC 算法控制誤差，由圖5 可知，RPCC 控制器電流穩態誤差隨電流的增大而增加，最大達到3 A 左右，而本文提出的ARPCC 控制器無論電流大小都沒有穩態誤差。

圖5 電阻增加80%兩種控制算法的仿真結果Fig.5 Simulation results of two control algorithms

圖6 給出了兩種控制算法忽略逆變器非線性而磁鏈降低50%時的q 軸電流控制效果。其測試工況為:電機轉速在0.02 s 時從靜止階躍到1000 r/min，電機目標電流從0 A 階躍到30 A 以模擬較高車速下EPS 快速轉向工況(工況2)。從圖6 可以看出，RPCC 算法電流穩態誤差隨電機轉速升高而增大，最大達到2 A 左右，而本文提出的ARPCC 算法靜態誤差幾乎為零。

圖6 磁鏈減少50%兩種控制算法的仿真結果Fig.6 Simulation results of two control algorithms

圖7 為電機參數準確、逆變器死區時間為2 μs 時，在工況1 下兩種控制算法的電流跟蹤效果。由圖7 可知，本文提出的ARPCC 算法能有效地抑制由逆變器非線性引入的擾動，而RPCC 算法不能抑制此擾動。

圖7 考慮死區時間兩種控制算法的仿真結果Fig.7 Simulation results of two control algorithms with deadtime

圖8 為兩種控制算法在蓄電池電壓波動時在工況1 下的電流跟蹤效果，由于在工況1 下由EPS 引起的蓄電池電壓波動較明顯，且隨電流的增大而減小。因此，假設蓄電池電壓的波動波形如圖8 中VBus所示。從圖8 可以看出:RPCC 算法的穩態誤差隨著蓄電池電壓的降低而增大，而本文提出的ARPCC 算法沒有穩態誤差。

圖8 蓄電池電壓波動時兩種控制算法的仿真結果Fig.8 Simulation results of two control algorithms with a fluctuation in the power supply

4.2 試驗結果及分析

試驗環境如圖9 所示，試驗平臺由以TI 公司的TMS320F28335 DSP 作為主控芯片的電流控制器、EPS 用永磁同步電機和一臺加載電機組成。

圖9 試驗平臺Fig.9 Experimental platform

圖10 為傳統的PI 控制算法與本文提出的ARPCC 算法的控制效果。理想情況下，本文提出的ARPCC 算法可以在兩個采樣周期內跟蹤目標值，然而受蓄電池電壓(12 V)限制實現無差跟蹤的時間有所延長，但從圖中可以看出:調整PI 參數使傳統PI 控制算法與ARPCC 算法有相當的響應速度時，PI 控制算法與ARPCC 算法相比有較大超調。

圖10 傳統PI 控制與ARPCC 控制的瞬態過程Fig.10 Dynamic process of the PI control and ARPCC

圖11 考慮死區時間兩種控制器的試驗結果Fig.11 Experimental results of two control algorithms with deadtime

圖11 給出了電機參數準確但不對逆變器死區進行補償時，RPCC 算法與ARPCC 算法在目標電流為50 A 恒定值下的控制效果，如圖11 所示，由于RPCC 算法沒有考慮逆變器非線性的擾動，電流跟蹤的穩態誤差大約在2 A 左右，而本文提出的ARPCC 算法很好地抑制了上述擾動，電流跟蹤不存在穩態誤差。

本文在電機三相繞組中各串聯阻值為10 mΩ的導線以模擬助力電機長時間大電流運行工況下，因繞組溫度升高引起的電機電阻的增加。圖12 給出了補償逆變器非線性但電機電阻增加70%時(即每相串聯一條10 mΩ 導線)，兩種控制算法在工況1(目標電流幅值100 A)下的試驗結果，由圖12 可以看出:由于RPCC 算法在計算控制率時電機參數使用的是標稱值，因此在電機電阻增大時，RPCC 控制算法不可避免地出現了穩態誤差，且穩態誤差隨著電機電流的增大而增大。相反，本文提出的ARPCC 算法對電機參數變化引起的擾動進行了相應的估計和補償，因此即使在電機電阻變化時也不會產生靜態誤差。

圖12 電阻增加70%兩種控制算法的試驗結果Fig.12 Experimental results of two control algorithms

圖13 模型磁鏈增加50%時兩種控制算法的試驗結果Fig.13 Experimental results of two control algorithms

因降低電機永磁體磁鏈值比較困難且有可能導致其退磁，故本文將電機模型中的磁鏈增大50%以模擬實際電機磁鏈減小。圖13 給出了補償逆變器非線性但ψ^ =1.5ψ 時兩種控制算法在工況2 下的試驗結果。如圖13 所示，當電機轉子磁鏈減小時，RPCC 算法電流跟蹤出現穩態誤差，當轉速達到1000 r/min 時，穩態誤差大約2 A 左右，而本文提出的ARPCC 算法電流跟蹤誤差在較短時間內即收斂到0。

5 結束語

無差拍電流控制算法的穩定性受控制延時和電機電感參數變化的影響;而電機參數的變化和系統其他擾動影響無差拍控制的魯棒性能。本文提出的ARPCC 算法在保證無差拍電流控制快速響應性能的前提下，通過引入狀態觀測器并改變觀測器增益提高了系統的穩定性，通過引入自適應擾動觀測器并對擾動進行補償消除了電流環的靜態誤差。仿真和試驗結果表明:本文提出的ARPCC 算法比傳統的PI 電流控制響應速度更快，比RPCC 算法有更高的電流跟蹤精度，因此更適于EPS 電流環的控制。

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