邢成云老師“冪的運算性質”教學設計

冪的運算性質有四條：同底冪的乘法、同底冪的除法、冪的乘方、積的乘方，都是基于冪的運算，教材上安排了4個課時，零打碎敲，重起爐灶，無形中浪費了課堂啟動起來的現場資源，使得思維脈絡得不到有效延伸，缺失了思維的連貫性。鑒于此，把這4課時內容進行了整合，把本節課安排在有理數的乘方的第三課時，借助乘方的概念，步步推進，完成冪的運算性質的整體構建，然后再利用1課時，適度演練，鞏固成果，完成這一單元的教學。

1.開放創新，提出問題

問題1：給出三個數2，3，4，任取其中兩個數進行運算，你能寫出使運算結果最大的算式嗎？

發現乘方運算變大的可能性大，估計可能會出現23，24，32，34，42，43中的一個或幾個，至此，師生可共同復習回顧上一節課學習的乘方的意義以及底數、指數、冪的概念。

[設計意圖]教師提供給學生開放性的小問題，意在引導學生回顧有理數的四則運算和有理數乘方的概念。因為底數、指數、冪等概念是理解本節課同底數冪的基礎，而這些概念是剛剛學習過的，學生在潛意識中不難想到乘方運算。

問題2：請同學們思考：：

（1）到現在為止，我們已經研究了有理數的哪些運算？是怎樣研究的（這些運算研究的基本思路怎樣）？

加、減、乘、除、乘方，從低級到高級，并注意了互逆關系的使用；

（2）對照有理數的運算，猜想一下，冪的運算有哪些？

應該也有加、減、乘、除、乘方等運算；

（3）在學習有理數的內容時，主要體現了哪些思想方法？分類思想、類比思想。

[設計意圖]一是通過問題串激活原有認知結構中的知識，為新知學習奠定知識、思想等方面的基礎；二是新知與舊知無論從內容、形式或研究方法上都有類似性，所以通過問題2明確研究思路，搭建認知框架。

2.借力乘方，拾級而上

借力前面數的運算，再設置兩個題組，從特殊到一般推進，從底數、指數均為數，到其中之一為字母，一直延伸到全部字母化，拾級而上，逐層遞進，獲得同底數冪的運算法則，而后以此為起點，通過系列化的問題，完成冪的乘方、積的乘方的建構。

（1）同底數的乘法運算（底數、指數有一類是字母的）：

a3·a4=？b2·b4=？m2·m3=？2m·2n=？

問題：計算完成后借助觀察提出什么猜想？略。

（2）同底數的乘法運算（底數、指數均為字母的）：

am·an=？

am·an = （aaa…a）·（a·a·a…a）（______的意義）

___個a___個a

= a·a·a…a （乘法結合律）_____個a

= am+n （_______的意義）

問題1：你能歸納出一般結論嗎？

一般地，若字母m、n都是正整數，則am·an = am+n（m、n是正整數）

問題2：你能類比上式猜出am÷an=___，并驗證你的猜想嗎？

可通過a4÷a2=？等進行具體化驗證，而后再進行一般性驗證。

追問：同底數冪的除法運算法則用文字表述為什么呢？

類比同底數冪的乘法運算，可敘述為：同底數冪的除法運算是底數不變，指數相減。

問題3： m、n、p是正整數，你會計算am·an·ap嗎？

根據乘法的結合律，am·an·ap =（am·an）ap = am+n·ap=am+n+p。進而把同底數冪推廣至多個同底數冪的運算。

問題4： a4·a4·a4·a4·a4·a4=？你能根據運算的結果做出猜想嗎？

……

[設計意圖]以同底數冪作基點，先行進行同底數冪中因數個數的推廣，而后從指數特殊的角度、底數因數增至兩個的角度，步步延伸，揭示出冪的另外兩條運算性質，既讓學生認識到知識的來龍去脈，更重要的是弄清它們的內在關聯，這種知識的自然生長，對促成學生的遷移能力大有裨益。

對本節而言，乘方即是新知“同底數冪”的“生長點”， 而“同底冪的除法、冪的乘方、積的乘方”，即是新知的“延伸點”，前后貫通，一脈相承，如此組織教學有效地踐行了新課程的理念，同時也是對自己教學主張的具體化闡釋。

（本文系山東省教學研究課題：全息教學論下的跨越式教學（課題編號：pt-20120126）的終結性成果）（作者單位：山東省濱州市北鎮中學初中部）■

□責任編輯 周瑜芽

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