抽象函數常見題型解法

劉彥軍

抽象函數是指沒有給出函數的具體解析式，只給出了一些體現函數特征的式子的一類函數。由于抽象函數表現形式的抽象性，使得這類問題成為函數內容的難點之一.抽象性較強，靈活性大，解抽象函數重要的一點要抓住函數中的某些性質，通過局部性質或圖象的局部特征，利用常規數學思想方法（如化歸法、數形結合法等），這樣就能突破“抽象”帶來的困難，做到胸有成竹。另外還要通過對題目的特征進行觀察、分析、類比和聯想，尋找具體的函數模型，再由具體函數模型的圖象和性質來指導我們解決抽象函數問題的方法。

一、定義域問題

多為簡單函數與復合函數的定義域互求。分兩大類：

1.已知的定義域，求的定義域

其解法是：若的定義域為，則在中，，從中解得的取值范圍即為的定義域。

2.已知的定義域，求的定義域

其解法是：若的定義域為，則由確定的的范圍即為的定義域，也就是說的值域就是的定義域。

例1. 已知函數的定義域為，求的定義域.

分析：該函數是由和構成的復合函數，其中是自變量，是中間變量，由于與是同一個函數，因此這里是已知，即，求的取值范圍.

解：的定義域為，，.

故函數的定義域為.

例2.若的定義域為，求的定義域.

解：由的定義域為，則必有解得.

所以函數的定義域為.

二、解析式問題

一般使用替代法。如果把x和-x分別看作兩個變量，怎樣實現由兩個變量向一個變量的轉化是解題關鍵。通常情況下，使一個變量在關系中“消失”，進而保留一個變量，是實現這種轉化的重要策略。

例3. 已知f（x）是偶函數，g（x）是奇函數，且f（x）+g（x）=，

求f（x），g（x）的表達式.

三、單調性問題

一般采用賦值法，抽象函數所滿足的關系式，應看作給定的運算法則，則變量的賦值或變量及數值的分解與組合都應盡量與已知式或所給關系式及所求的結果相關聯。直接利用函數單調性的定義證明，進一步解決不等式問題。

例4. 設f（x）定義于實數集上，當時，，且對于任意實數x、y，有，求證：在R上為增函數。

證明：在中取，得

若，令，則，與矛盾

所以，即有

當時，;當時，

而

所以

又當時，

所以對任意，恒有

設，則

所以

所以在R上為增函數。

四、奇偶性問題

抽象函數的奇偶性的判斷需利用函數奇偶性的定義，找準方向，巧妙賦值，合理，靈活地變形配湊，找出與的關系。

例5. 已知函數對任意不等于零的實數都有，試判斷函數f（x）的奇偶性。

解：取得：，所以

又取得：，所以

再取則，即

因為為非零函數，所以為偶函數。

五、周期性問題

判斷一個函數是否為周期函數;一是根據定義，二是記住一些重要的結論：如果函數對定義域中任意滿足或等，則是周期函數，是一個周期等等，根據這些條件可以快速獲得周期。

例6. 設f（x）是定義在R上的奇函數，且f（x-2）=- f（x），給出下列四個結論：

①f（2）=0;

②f（x）是以4為周期的函數;

③f（x）的圖像關于直線x=2對稱;

④f（x+2）=f（- x）

其中所有正確命題的序號是___________。

解析1：（1）因為y= f（x）（x∈R）是奇函數，所以f（-x）=- f（x）

令x=0，得f（-0）=-f（0）

所以f（0）=0

又已知f（x-2）=- f（x）

令x=2，得f（0）=- f（2）

所以f（2）=- f（0）=0

故①成立。

（2）因為f（x-2）=- f（x），所以

由x-（x-4）=4（兩自變量相減得常數）

所以f（x）是以4為周期的周期函數。

故②成立。

（3）由f（x+2）= f（-x）得：（x+2）+（-x）=2（兩自變量相加得常數）

所以f（x）的圖像關于直線x=1對稱。而不是關于直線x=2對稱。

故③是錯誤的。

（4）由（2）知，f（x）應滿足f（x+2）= f（x-2）

而f（x-2）=-f（x）

所以f（x+2）= -f（x）= f（-x）

故④成立。

綜上所述，應填①②④。