從一題多解看導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用

賀水英

導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用是高考中的重點考查內(nèi)容，最近五年都作為壓軸題來考查，具有很高的區(qū)分度，所以難度很高。但不管題型如何變化，情境模型如何設(shè)置，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用都可以歸納為考查：導(dǎo)數(shù)的幾何意義;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值這三個方面。下面就2014年全國卷（Ⅱ）文科21題的多種解法來淺談導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用。

2014年全國卷（Ⅱ）文科數(shù)學(xué)：

21題：已知函數(shù)，曲線在點處的切線與軸的交點橫坐標為

（Ⅰ）求

（Ⅱ）證明：當時，曲線與直線只有一個交點。

解法一：（Ⅰ）

曲線在點處的切線方程為

由題設(shè)得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

設(shè)

由題設(shè)知 ? ? ?當時

在上單調(diào)遞增，而，

在上有唯一實根

當時，令，則

當時，

當時，

在上沒有實根

綜上可知，在上有唯一實根。

即曲線與直線只有一個交點。

解法二：（Ⅰ）同解法一。

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知

設(shè)

（1） 當，即時，恒成立

在上單調(diào)遞增，而

圖象在上與軸有唯一交點。

（2） 已知，當，即時

令

當時，在上單調(diào)遞增。

在上與軸有唯一交點。

當時， ?;

在上與軸無交點。

綜上在上與軸有唯一交點。

即曲線與直線只有一個交點。

解法三：（Ⅰ）同解法一。

（Ⅱ）設(shè)

（1） 當時，恒成立。即在與軸無交點。

（2） 當時，

恒成立 ?在上單調(diào)遞增。

而

在上有唯一實根

綜上可知，在上有唯一實根。

即時，曲線與直線有唯一交點。

本題的第Ⅰ問考查的是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，難度較小。

第Ⅱ問考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在定區(qū)間的最值。

方法一：構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)后，根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)時，恒成立。因而結(jié)合函數(shù)零點存在性定理求出兩個函數(shù)值得出函數(shù)圖像在上與軸有唯一交點;當考慮時，把分為和是否有交點的問題。因在時，恒成立。因而只需利用導(dǎo)數(shù)求出即可。

方法二：構(gòu)造函數(shù)后，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這是導(dǎo)數(shù)在解決該類問題的常用方法，當時，因恒成立，因而只需找出一正一負兩函數(shù)值即可。觀察的表達式，易得 ，當考慮時，易得的圖象呈現(xiàn)形的走勢，因有第一種情況的討論，從而把定義域劃分為與兩個區(qū)間，從而只需證明，即可。

方法三：解法三是解法一與解法二的結(jié)合。難度在于如何想到將進行因式分解。當把進行部分因式分解后，部分可以明顯看出恒成立，所以問題就變成了，時與只有一個交點的問題，即用單調(diào)性結(jié)論函數(shù)零點的存在性定理即可證明。

不管何種方法和技巧來解決此題，問題的關(guān)鍵還是利用導(dǎo)數(shù)來確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值來證明恒成立問題。