變式與比較在小學數學概念教學中的運用

徐滿珍

烏申斯基說：“比較是一切理解和思維的基礎，我們正是通過比較來了解世界上的一切的。”在小學數學中有很多概念：數的概念、運算的概念、量與計量的概念、幾何形體的概念、比和比例的概念、方程的概念，以及統計初步知識的有關概念等。這些概念是構成小學數學基礎知識的重要內容，它們是互相聯系著的。只有明確牢固地掌握數的概念，才能理解運算概念，而運算概念的掌握，又能促進數的整除性概念的形成。所以掌握數學概念是構建數學認知結構的重要基礎，同時，也是發展學生智力和培養學生數學能力的前提。

一、學生概念的獲得與偏差

學生概念獲得實質上就是掌握同類事物的共同的本質特征。概念形成有兩個條件：一是學生自身的內部條件，即學生必須辨別概念的正反例證;二是教師方面的外部條件，教師必須對學生所提出的概念的關鍵特征的假設作出肯定或否定的反應，也就是說要讓學生從外界獲得反饋信息。然而，在學生獲得數學概念的過程中會受到很多因素影響，從而產生了概念獲得的偏差。在教學中，發現學生在學習數學概念時容易出現的三種錯誤情況：

1.擴大內涵，縮小外延。這主要是因為他們把概念的一些無關特征當成了本質特征，在概念的內涵中不僅包括概念的本質特征，還包括了非本質特征，從而擴大了概念的內涵，縮小了概念的外延。

例如，有些學生認為合數必須是偶數，實際上，合數可能是偶數、也可能是奇數，數的奇偶性并不是合數的本質屬性。

2.擴大外延，縮小內涵。當學生沒有把概念的所有本質特征完全包含在概念的內涵中，或者，沒有認識到本質特征，卻把非本質特征當成了本質特征，就可能擴大概念的外延。

例如，教學《梯形的認識》，教學中老師會選擇一些“非標準”的梯形讓學生辨別，幫助學生排除標準圖形所帶來的干擾，避免出現誤將“上底短，下底長，腰方向（腰相等）”等非本質特征當作本質特征的片面認識。

3.混淆概念。在學習中，學生常常會把一些相似的概念搞混淆。發生這些錯誤的根本原因在于沒有能夠清晰準確地抓住概念的本質屬性、排除概念的無關特征。

例如：數位與位數、體積與容積，減少與減少到等等相對應概念，存在許多共同點與內在聯系。

二、抓住概念的本質進行變式

“變式”是指本質屬性不變而非本質屬性發生變化。變式用以說明同一個概念的本質特征相同、非本質特征不同的一組實例。這些實例都是概念的正例，但是它們在概念的非本質特征方面有變化。

（一）圖形變式

如教學“平行四邊形面積”時，學生通過對平行四邊形的割、拼、擺，推導出“平行四邊形的底等于長方形的長”，“平行四邊形的高等于長方形的寬”，通過轉化推導出平行四邊形的面積公式。在強化概念理解的環節中，課件出示一個平行四邊形中不對應的一個高和一個底，并要求大家求出它的面積。

通過交流分析，學生明確：運用公式求平行四邊形的面積必須知道相應的底和高。運用變式可以使學生透過現象看到本質，避免學生形成思維定勢，從而真正掌握概念。

（二）符號變式

如教學“方程”時，在這個判斷是不是方程中，學生必須對“未知數”、“等式”這幾個概念十分清楚，才能形成這個判斷，并以此來推斷出下面的6道題目，哪些是方程。

（1） ?56+23=79？ ? ? ? ?（2） 23-x=67？ ? ? ?（3） x÷5=4.5

（4） ?44×2=88 ? ? ? ? （5） 75÷x=4？ ? ? ?（6） 9+x=123

三、運用比較，揭示概念的本質

小學數學教學中，有許多既有聯系又有區別、似同實異、容易混淆的問題。在教學中適時、恰當地運用比較法，引導學生加以區別，有助于突出教學重點、突破教學難點、防止知識混淆、提高辨別能力。

在數學概念教學中，發現運用比較可以幫助學生解決兩個方面的學習困難：

（一）通過比較來幫助學生明確概念的內涵和外延。

例如，在前面的“合數”概念教學中，可以引導學生分別比較所舉的每一組合數實例內部的相同點和不同點，在此基礎上，比較三組實例之間的相同點和不同點，從而概括出“合數”的本質特征和非本質特征，明確概念的內涵和外延。

（二）通過比較來幫助學生明確有關概念間的關系。

學生產生概念混淆往往是由于不能區分概念之間的異同，不明確概念之間的聯系。在對容易混淆的概念進行比較時，要抓住它們的本質區分點。

例如，“偶數”和“奇數”的本質區分點是能否被2整除;“銳角”和“鈍角”的本質區分點是大于還是小于“直角”或“90度角”。

四、變式與比較相兼，融會貫通

在變式的運用中，還應該注意培養學生的比較能力。幫助學生通過比較找出事物的本質特征和非本質特征，并在此基礎上加以概括，以奠定概念的基礎。通過已知條件和問題的變化，進行變式和比較，讓分散的知識點趨于系統化，掌握概念間的本質關系，揭示解題規律，幫助學生學會模型判斷。

例如：在“長方體和正方體”教學中，因為教學內容較為抽象，邏輯思維性強，在實際生產、生活中用途廣泛的一種基礎知識，由于受各方面的制約和影響，在學習過程中，常常會出現一些共性錯誤。所以教師的主要任務是幫助學生建立棱長、表面積、體積的模型，能分辨實際問題中，需要求什么內容。

模型1：V=abh

變式一：已知一個長方體游泳池的長是15米，寬10米，深2米，在池底鋪上一層碎石，已知碎石厚0.2米。 問游泳池實際能蓄水多少？（在運用體積模型中，找到模型相對應的高）

變式二：在一個棱長為24厘米的正方體魚缸中放入一石塊（石塊完全侵入水中），水面上升了1.5厘米，這個石塊的體積是多少立方厘米？（上升部分水的體積就是石頭體積）

模型2：C=（a+b+h）×4

一個長方體長5厘米，寬3厘米，高2厘米，它的棱長和是多少？

變式一：用彩色絲帶包扎一只長7分米，寬5分米，高2分米的紙箱（連接部分忽略），這根絲帶最少長多少？

模型三：S=（ab+ah+bh）×2

長方體的長是12厘米，寬8厘米，高5厘米，它的表面積是多少？

變式一：一盒餅干長20厘米，寬15厘米，高30厘米，現在要在它的四周貼上商標紙，這張商標紙的面積是多少平方厘米？

變式二：把一個棱長2分米的正方體切成兩個體積相等的長方體，其中一個長方體的表面積是多少平方分米？

學生通過對具體材料、問題的比較，不僅能夠較好地理解數學知識，而且能夠深化數學思維。小學生的比較能力是隨著其年齡和知識的增長、智力水平的發展而逐步提高的。培養學生的比較能力，還要考慮不同年級學生的思維水平，結合具體材料由淺入深、由簡單到復雜地提出比較的要求。

在小學數學教學中，教師應該充分考慮如何運用“變式”，幫助學生通過“變”與“不變”的比較，從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規律，讓所學的知識點融會貫通，加深對知識的理解;逐步清晰地認識和把握數學內容，分析數學問題，促使學生主動學習，學會學習;進而提高學生對數學概念的運用技能。