讓數學美走進數學課堂

邢道玉

數學之美，已有無數論述。大數學家如龐加萊等一再指出，數學有簡約美、和諧美、奇異美、冷峻美等，顯示出冰冷的美麗。數學美學是關于數學是關于數學審美活動的科學。數學審美既存在于數學創造之中，又存在于數學教育之中，尤其是數學教育，其中充滿數學美的體驗。凡接受數學教育的人都不同程度地接受到數學美的熏陶。然而，讓數學美走進數學課堂并非僅僅靠專家學者的呼吁和論證就能做到，更重要的是依靠我們廣大中學數學教師使其落實。法國藝術家羅丹說：“生活中不是缺少美，而是缺少發現。”本人結合教學實踐對高中數學中的美及其價值做初步探討。

1 數學概念及定理中的“美”

1.三角函數是中學數學的重要內容之一，這部分知識往往給初學者以內容繁雜，公式眾多，變幻莫測的感覺。如果用美學的眼光審視，三角函數幾乎處處都閃耀美的光彩。三角函數的概念中就隱藏數學中的美。

設是一個任意大小的角，角的終邊上任意一點P（x，y），它與原點的距離為r（r>0）.則

這六種三角函數都是以角為自變量，以比值為函數值的函數，這與高中階段學習的其它基本初等函數冪函數、指數函數、對數函數相比較，顯示了三角函數的特殊性——奇異美；這六種三角函數中有三對的比值成倒數關系，定義中包含了均衡美；三角函數值均可用單位圓中的有向線段表示出來，從而使人們能直觀形象的感覺到函數值隨自變量變化而變化的情況，這由說明了三角函數的定義具有簡潔美和形象美；三角函數是以角的終邊上一點的坐標來定義的，它是三角與代數，三角與幾何的內容相互融合，定義本身隱含著和諧美；三角函數建立的理論基礎是和諧的相似三角形，從抽象的比值易于觀察的三角函數，應用幾何中最美的圖形——圓。由此可見，三角函數的定義為三角的發展奠定了一個美得根基。

2.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。即：

定理顯示了統一美；無論什么形狀的三角形它都成立，要解決三角形中邊角的關系就會想到余弦定理。定理的變形顯示了定理簡捷美、和諧美、對稱美；三邊輪換公式總成立，對于初學者便于記憶。定理的變式變得很協調，對稱，一邊為角而公式的另一邊為邊。應用中便于化簡，一邊由角化邊一邊由邊化角。勾股定理也只不過是它的特例，它是勾股定理的一般形式。

2 勾股定理中蘊含的數學美

勾股定理對它的欣賞含有四個維度：外表直觀之秀，內涵深刻之慧，文化底蘊之濃，理性思考之精。首先是直觀之美：趙爽之圖、與外星人作無文字交流之圖，簡潔明快，賞心悅目。其次是內涵之美；條件僅僅是直角三角形，卻有直角邊平方之和等于斜邊的平方。它還是幾何、代數、三角交匯之中心點，細細琢磨，體現了和諧之妙、智慧之美。第三是人文之美，勾股定理在數學歷史長河中，依附于不同文化，進行過大量的證明，顯示了人類文明的共同追求。2002年在北京舉行的國際數學家大會以趙爽作為會標，實現了古代和現代的數學巧妙的對接。最后，則是理性之美。好的數學一定是具有拓展、變形、升華的發展通道。勾股定理的觸角伸向勾股數的研究，以至聯系到20世紀末才解決了費馬大定理。

2 函數圖象中和幾何圖形的數學美。

1.圖象之美。

的圖象關于原點對稱，的圖象關于軸對稱，它們形似起伏的波浪，周而復始地伸向兩方；與的圖象均關于原點對稱，它們分別是由被互相平行的直線多支相同的曲線所組成。它們形狀似飛流的

瀑布上下立地頂天。

正弦性函數的圖象正弦曲線的發展，它內含了一組組和諧有序的美麗的圖案，這些圖案不僅讓人賞心悅目，而且也使人浮想聯翩。因為通過圖象之間的觀察比較，可使人們從形的角度進一步認識到不同三角函數之間的內在聯系，而且也為弄清一般函數圖象的變換規律提供了依據。

2.數學欣賞，往往從欣賞幾何圖形外表的美觀開始，然后一步步地欣賞數學內涵的美妙。這需要別具慧眼，用數學的眼光進行構思。圓和球，是最美的幾何圖形。它有無限多的對稱軸；任意角度旋轉都對稱；任意直徑為軸的反射對稱。所以它既是軸對稱圖形又是軸對稱圖形。畢德哥拉斯有句名言：“一切立體圖形中最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓形。”而圓和球形正是幾何中對稱美的杰出體現。圓是關于圓心對稱的，也是關于過圓心的任意一條直線對稱。球形既是點對稱，又是線對稱，還是面對稱。正是由于幾何圖形中有這些點對稱、線對稱、面對稱，才夠成了美麗的圖案，精美的建筑，巧奪天工的生活世界，也給我們帶來豐富的自然美和多彩的生活美。中國古代有天圓地方一說。太極圖就是“以圓象道體。”佛經中更有“圓通”“圓覺”的說法。

哪里有數學，哪里就有美。每一個公式就是一首詩，數學中的和諧、統一、對稱美、簡單美及奇異美都是客觀世界美的特征在數學中的反映。數學美內涵豐富，美學思想方法有助于數學創新能力的提高，有助于數學的發明和發現。在數學教學中要充分挖掘美的因素。字母表示數字，文字語言簡化成符號語言，體現了數學的簡潔美，黃金分割的美，圖形的對稱美，圓錐曲線的和諧統一美等不斷地提示展現給學生。以數學中蘊含的美去感染學生，培養他們審美的意識，陶冶他們審美的情操，激發學生追求數學美的意愿，提高學習數學的興趣。