三角函數(shù)及解三角形在高考中的地位和應(yīng)對(duì)策略

江建忠

【摘要】《考試說明》中提到解數(shù)學(xué)問題常用的數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)在夯實(shí)“雙基”的同時(shí)，認(rèn)識(shí)各種思想或方法的適應(yīng)性，抽象概括出解決問題的有效地?cái)?shù)學(xué)思想與方法，這樣，可以提高解決問題的能力。運(yùn)算求解能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合，是中學(xué)數(shù)學(xué)中要求培養(yǎng)的重要能力。對(duì)應(yīng)用意識(shí)的考查主要采用解決應(yīng)用問題的形式，要求學(xué)生能理解對(duì)問題陳述的材料，并對(duì)所提供的消息資料進(jìn)行歸納、整理和分析，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型；應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)方法解決問題，并加以驗(yàn)證；能用數(shù)學(xué)語言正確地表述和說明。

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù) 解三角形 高考地位 應(yīng)對(duì)策略

1、近三年福建省、新課標(biāo)全國卷、新課標(biāo)全國卷I的考情

年份

考題

考點(diǎn) 文理科 2014 2013 2012

三角函數(shù)圖象與性質(zhì)、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系 理科 福建第16題

新課標(biāo)全國卷I第6題 福建第20題 新課標(biāo)全國卷

第9題

文科 福建第7、18題

新課標(biāo)全國卷I第2題 福建第9題

新課標(biāo)全國卷I第9題 福建第8題

新課標(biāo)全國卷

第9題

和差公式、倍角公式、三角恒等變換及其綜合應(yīng)用 理科 新課標(biāo)全國卷I第8題 新課標(biāo)全國卷I第15題 福建第17題

文科 新課標(biāo)全國卷

第6、16題 福建第20題

正、余弦定理及面積公式的應(yīng)用 理科 福建第12題

新課標(biāo)全國卷I第16題 新課標(biāo)全國卷

第17題

文科 福建第14題 新課標(biāo)全國卷I第10題 福建第13題

新課標(biāo)全國卷

第17題

正、余弦定理的綜合應(yīng)用 理科 福建第13題

新課標(biāo)全國卷I第17題

文科 新課標(biāo)全國卷I第16題

2、《考試大綱》要求：

三角函數(shù)：（1）任意角的概念、弧度制：①了解任意角的概念，②了解弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化；（2）三角函數(shù)：①理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，②能利用單位圓則的三角函數(shù)線推導(dǎo)出 的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式，能畫出 的圖象，了解三角函數(shù)的周期性，③理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間 上的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大值和最小值以及與 軸的交點(diǎn)等），理解正切函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)的單調(diào)性，④理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式： ，⑤了解函數(shù) 的物理意義，能畫出 的圖象，了解 對(duì)函數(shù)圖象變化的影響，⑥了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問題。

三角恒等變換：（1）和與差的三角函數(shù)公式：①會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式，②能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式，③能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，（2）簡(jiǎn)單的三角恒等變換：能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換（包括導(dǎo)出半角公式）。

解三角形：（1）正弦定理和余弦定理：掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題；（2）應(yīng)用：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題。

3、命題分析：

綜合近3年的福建省、新課標(biāo)全國卷、新課標(biāo)全國卷I高考試題，發(fā)現(xiàn)高考命題在本專題呈現(xiàn)以下規(guī)律：

（1）從考題題型來看：一般一道選擇題或填空題，再加一道解答題；從考查分值來看，大約17分左右。

（2）從考查知識(shí)來看：主要考查三角函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、和差角公式、倍角公式、輔助角公式以及正余弦定理，突出對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、數(shù)學(xué)建模思想以及應(yīng)用能力的考查。

（3）從命題思路上主要有：①利用三角恒等變換化簡(jiǎn)與求值；②函數(shù) 的圖象與性質(zhì)及圖象變換的考查；③三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)及三角恒等變換與平面向量的交匯考查；④正、余弦定理的考查；⑤正、余弦定理與應(yīng)用問題，向量及圖象與性質(zhì)的交匯考查。

（4）縱觀近3年福建省、新課標(biāo)全國卷、新課標(biāo)全國卷I高考試題，可以看出，在2015年三角函數(shù)及解三角形問題考查的重點(diǎn)仍然可能是三角函數(shù) 的圖象與性質(zhì)的確定與應(yīng)用，以及正、余弦定理的應(yīng)用問題，試題的難度大多屬于基礎(chǔ)題與中檔題。

4、命題規(guī)律：

本專題常以三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式、和差角二倍角公式為基礎(chǔ)考查三角函數(shù)的值域、最值、單調(diào)性、周期性等問題，而解三角形則以正弦定理、余弦定理為依托考查三角形度量問題。

5、應(yīng)對(duì)策略：

根據(jù)近3年福建省、新課標(biāo)全國卷、新課標(biāo)全國卷I的高考命題特點(diǎn)和規(guī)律，在復(fù)習(xí)本專題時(shí)，要注意以下幾個(gè)方面：

（1）從三角函數(shù)定義出發(fā)，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值，結(jié)合三角函數(shù)的圖象，準(zhǔn)確掌握三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性、最值等三角函數(shù)的性質(zhì)，并能正確地描述三角函數(shù)圖象的變換。

（2）以兩角差的余弦公式為基礎(chǔ)，掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，倍角公式以及它們的正用、逆用、變形應(yīng)用，并能正確應(yīng)用這些公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求證與證明。

（3）從余弦定理、正弦定理的公式出發(fā)，結(jié)合三角形的面積公式，靈活地求解三角形中的邊角問題以及三角形中邊角互化、判定三角形的形狀等問題，同時(shí)注意在實(shí)際應(yīng)用問題中正、余弦定理的應(yīng)用，注意求解三角形問題時(shí)，三角形則隱含條件。

（4）以向量為載體，運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)量積，結(jié)合三角形公式靈活地求解三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)。

（5）重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用：①轉(zhuǎn)化與化歸思想：在三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)求值的三角恒等變換，及利用正、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化的過程中，轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用比較廣泛，因此在復(fù)習(xí)過程中要強(qiáng)化該思想方法的應(yīng)用意識(shí)。②數(shù)形結(jié)合思想：在研究三角函數(shù)的最值（值域）及簡(jiǎn)單的三角函數(shù)零點(diǎn)問題，方程或不等式問題時(shí)，要強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。