數學直覺思維

孟憲玲

數學教學由于長期直覺思維得不到重視，學生在學習的過程中認為數學是枯燥乏味的，對數學的學習缺乏取得成功的必要的信心，從而喪失數學學習的興趣。過多地注重邏輯思維能力的培養，不利于思維能力的整體發展。培養直覺思聯想、類比、歸納、猜測之后對所研究的事物作出一種比較迅速的直接的綜維能力是社會發展的需要，是適應新時期社會對人才的需求。

一、對數學直覺思維的認識

1.直覺是發明的源泉。偉大的數學家、物理學家和天文學家彭加勒說：“邏輯用于證明，直覺用于發明。”前蘇聯科學家凱德洛夫更明確地說：“沒有任何一個創造性行為能離開直覺活動。”直覺思維就是指人們不受邏輯規則約束直接領悟事物本質的一種思維方式。數學直覺思維是直接反映數學對象、結構以及關系的思維活動。思維者不是按部就班地推理，而是對思維對象從整體上進行考察，調動自身的全部知識經驗，通過豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設，猜想或判斷，跳過若干中間步驟或放過個別細節而直接把握研究對象的本質和聯系。

2.數學直覺思維的表現形式是以人們已有的知識、經驗和技能為基礎，通過觀察、合判斷，它不受固定的邏輯約束，以潛邏輯的形式進行。關于數學直覺思維的研究，目前比較統一的看法是認為存在著兩種不同的表現形式，即數學直覺和數學靈感。這兩者的共同點是它們都能以高度省略、簡化和濃縮的方式洞察數學關系，能在一瞬間迅速解決有關數學問題。

3.數學直覺思維具有個體經驗性、突發性、偶然性、果斷性、創造性、迅速性、自由性、直觀性、自發性、不可靠性等特點。迪瓦多內說：“任何水平的數學教學的最終目的，無疑是使學生對他要處理的數學對象有一個可靠‘直覺。”在教育過程中，教師如果把證明過程過分的嚴格化、程序化，用僵硬的邏輯外殼掩蓋住直覺的光環，學生們只能把成功歸功于邏輯的功勞，而喪失了“可靠的直覺”，那將是我們教育的失敗。

4.數學直覺思維能力的提高有利于增強學生的自信力。成功可以培養一個人的自信，直覺發現伴隨著很強的“自信心”。從馬斯洛的需要層次來看，它使學生的自我價值得以充分實現，也就是最高層次的需要得以實現，比起其它的物資獎勵和情感激勵，這種自信更穩定、更持久。布魯納認為學習的最好刺激是對教學材料的興趣。

二、數學直覺思維的培養

在課堂教學中，數學直覺思維的培養和發展是情感教育下的產物之一，把知情融為一體，使認知和情感彼此促進，和諧發展，互相促進。敏銳的觀察力是直覺思維的起步器；‘一葉落而知天下秋的聯想習慣、科學美的鑒賞力是直覺思維的助跑器；強有利的語言表達能力是直覺思維的載體。

1.注重整體洞察，培養學生的整體直覺思維和觀察能力。直覺思維不同于邏輯思維，直覺思維是綜合的而不是分析的，它依賴于對事物全面和本質的理解，側重于整體上把握對象而不拘泥于細節的邏輯分析，它重視元素之間的聯系、系統的整體結構，從整體上把握研究的內容和方向。觀察是信息輸入的通道，是思維探索的大門。沒有觀察就沒有發現，更不能有創造。中學數學教學中圖形的識別，規律的發現以及理解能力、記憶能力、抽象能力、想象能力和運算能力等都離不開觀察。在觀察之前，要給學生提出明確而又具體的目的、任務和要求。指導學生從整體上觀察研究對象的特征，比如對于三角問題指導學生從角、函數名和形式進行觀察，注意幫助學生養成自問和反思的習慣，努力培養學生濃厚的觀察興趣。

2.重視解題教學，注重培養學生數形結合思維。華羅庚說過：“數缺形時少直覺，形缺數時難入微。”通過深入的觀察、聯想，由形思數，由數想形，利用圖形的直觀誘發直覺，對培養學生的幾何直覺思維大有幫助。教師應該把直覺思維在課堂教學中明確提出，制定相應的活動策略。重視數學思維方法的教學，諸如：換元、數形結合、歸納猜想、反證法等，通過方法論的分析使數學中的發明、創造活動成為“可以理解的”、“可以學到手的”和“可以加以推廣應用的”，以思想方法的分析去帶動具體知識內容的教學.

3.注重引導學生進行合理猜想，培養歸納直覺思維。歸納直覺是一種非邏輯思維，它需要有“理智的勇氣”、“精明的誠實”、“明智的克制”。在數學解題中，運用歸納直覺，雖然是冒風險的，但仍然值得重視。猜想是由已知原理、事實，對未知現象及其規律所作出的一種假設性的命題。在我們的數學教學中，培養學生進行猜想，是激發學生學習興趣，發展學生直覺思維，掌握探求知識方法的必要手段。作為一個教師，我們不僅應當注意“保護”學生已有的猜想能力和直覺能力，而且應更加注意幫助學生學會合理的猜想方法，并使他們的直覺思維不斷得到發展和趨向精致.“引”學生大膽設問；“引”學生各抒己見；“引”學生充分活動。讓學生猜想問題的結論，猜想解題的方向，猜想由特殊到一般的可能，猜想知識間的有機聯系，讓學生把各種各樣的想法都講出來，讓學生真正“觸摸”到自己的研究對象，推動其思維的主動性。為了啟發學生進行猜想，我們還可以創設使學生積極思維，引發猜想的意境，可以提出“怎么發現這一定理的？”“解這題的方法是如何想到的？”諸如此類的問題，組織學生進行猜想、探索，還可以編制一些變換結論，缺少條件的“藏頭露尾”的題目，引發學生猜想的愿望，猜想的積極性。對于學生的大膽設想應給予充分肯定，對其合理成分及時給予鼓勵，愛護、扶植學生的自發性直覺思維，以免挫傷學生直覺思維的積極性和學生直覺思維的悟性。

4.注重滲透數學審美觀念，培養審美直覺思維。美的意識能喚起和支配數學直覺。縱觀古今，數學上的許多發現和創舉無論從宏觀還是微觀上看無不遵循美的創造規律。難怪數學大師阿達瑪認為，數學直覺的本質是某種“美感”或“美的意識”。 美感和美的意識是數學直覺的本質。龐加萊畢生追求“簡單與宏遠”，愛因斯坦看重宇宙的“統一與和諧”。美學是科學家譜寫科學理論“詩篇”的一條紅線。數學中主要包括簡潔美、和諧美、對稱美、奇異美以及數學思想美、數學家的情感美，在美的享受中啟迪人們的心靈，引起精神的升華。法國數學家和天文學家拉普拉斯從牛頓力學中“感受到數學的完美性”，英國數學家和哲學家羅素從歐幾里德《幾何原本》中“讀出音樂般的美妙”，在課堂教學中，引導學生發現美是提高學生審美能力的有效途徑之一。同時巧妙的語言表達如一個恰當的比喻也可使學生廣開思路，回味無窮。

5.注重滲透數學的哲學觀點，加強在其它學科中應用的意識，提高信息處理能力。直覺的產生是基于對研究對象整體的把握，而哲學觀點有利于高屋建瓴地把握事物的本質。這些哲學觀點包括數學中普遍存在的對立統一、運動變化、相互轉化、對稱性等特點。

數學是一門滴水不漏的學科，許多直覺洞察的空隙必須要用邏輯推理來填補。 對于直覺與非形式的強調是無可非議的，但是我們并不能以此去取代數學證明，而只能作為后者的必要補充；而“如果在解決問題的過程中總是滿足于不加證明的猜測，他們很快就會忘記在猜測與證明之間的區分”，而后者甚至可以說比根本不知道如何去解決問題更糟。直覺思維與邏輯思維同等重要，偏離任何一方都會制約一個人思維能力的發展，伊思.斯圖爾特曾經說過這樣一句話，“數學的全部力量就在于直覺和嚴格性巧妙的結合在一起，受控制的精神和富有靈感的邏輯。”受控制的精神和富有美感的邏輯正是數學的魅力所在，也是數學教育者努力的方向。