經歷活動過程，感悟數學思想

蘇小龍

一、經歷“動手實踐”過程，感悟數學思想

課堂上學生開展的折、擺、拼等學具的操作，量、剪、畫等工具的使用，觀察、演算、推導等推理活動，以及“綜合與實踐”活動都是學生獲取數學知識和方法的常用手段。教學通過情境創設把現實生活中的現象抽象為數學問題，再通過動手實踐直觀地再現了數學知識形成的過程，師生、生生間互動交流，學生獲得的基礎知識和基本技能更扎實，更具有人文性；積累的基本活動經驗更豐富，更富含生命意義；感悟數學基本思想自然更深刻，也更具有價值。

[教學片段一]

1.議一議。

圓能不能轉化成我們學過的圖形？以前我們是怎樣推導平面圖形的面積公式？

2.分一分，拼一拼。

把圓分成若干（偶數）等份，剪開后，用這些近似于等腰三角形的小紙片拼一拼，你能發現什么？

3.比一比，猜一猜。

依次展示4等分、8等分、16等分的圓拼成的圖形，請學生說一說拼出的是什么圖形？

師：同樣是近似的平行四邊形，誰拼的平行四邊形更像一些？

師：通過觀察和比較，你有什么發現？

生：我發現平均分的份數越多，拼成的平行四邊形就越像！

師：如果接著往下分，拼成的圖形結果會怎樣？

生：會更像平行四邊形。

生：長方形。

師：我們請電腦來幫忙驗證一下你的推測。

課件演示從32等分至128等分的圓拼成的圖形。

生：拼成的圖形接近長方形。

“圓”作為一種由曲線圍成的圖形，與學生現有的經驗中由直線段圍成的圖形（如長方形、平行四邊形等）差別比較大，通過教師精心設計的分一分、拼一拼、比一比、猜一猜等活動溝通了不同知識之間的聯系，促成了不同數學思想方法之間的遷移，達到喚醒“轉化”這一數學思想方法的目的。學生根據4等分、8等分、16等分拼圖的經驗，已經能夠初步發現規律：分的份數越多，每一份越小，拼出的圖形就越像平行四邊形。接下來在操作的基礎上，學生進行合理的想象與推測，并使用課件的演示適時驗證“無限逼近”長方形的動態過程，讓他們充分地感悟了“極限思想”。

二、經歷“獨立思考”過程，感悟數學思想

數學思考是數學課程目標的重要方面。自古以來，獨立思考一直是數學學習的重要方式，因此也是數學培養學生創新能力的核心。學會思考最重要的內容是學會“數學地思考”，也就是要學會數學抽象，學會數學推理，更要學會數學思維。

[教學片段二]

1.認真觀察。

將圓剪拼成近似的長方形的示意圖。

2.獨立思考。

長方形的長和寬與圓的周長和半徑有什么關系？

3.自主推導。

完成學習報告單。

我的發現：如果圓的半徑為r，長方形的長近似于（ ），寬近似于（ ）。因為長方形的面積=（〓）×（〓），所以圓的面積=（〓）×（〓）。如果用S表示圓的面積，那么圓的面積計算公式就是（ ）。

學生借助學具剪一剪、拼一拼，成功地把圓轉化成近似的長方形，積累了豐富的感性經驗，但數學學習不能僅僅停留在動手操作層面上，更應當讓學生經歷觀察、分析、推理等數學思維活動。因此，教師“這個近似的長方形的長和寬與圓的周長和半徑有什么關系”這句話，將學生的思維引向深入。學生通過認真觀察教材中的轉化示意圖，追溯圖形轉化過程中變與不變的關系，采用演繹推理的方法自主發現和推導出圓的面積計算公式，并加以符號化。學生經歷從動手操作到觀察示意圖，再到推導公式并用字母表示的全過程，這樣處理逐步升華了操作與思維的關系，催化了學生的數學建模意識，滲透了模型思想。

三、經歷“合作交流”過程，感悟數學思想

“學會與他人合作交流”是課程目標對學生的具體要求，也是學生未來走向社會，學會與他人合作共贏的啟蒙。在數學學習過程中，“合作交流”不僅是一種重要的學習方式，更是一種良好的學習習慣，在獲取知識和感悟數學思想的過程中起著不可或缺的作用。教師要善于營造民主、和諧、愉悅的教學氛圍，從而形成師生合作參與、和諧共鳴的場面，最大限度地發揮學生的主體性。其一，學生要學會表達自己的想法，對他人的想法進行補充；其二，學生要善于傾聽他人的觀點和做法，以及從別人對自己的觀點和做法的評價中吸收正確的成分，完善自己的觀點和做法。合作交流帶來了學生的數學思想、觀點和方法在“憤悱”狀態中的相互碰撞、啟發與補充，最終得以彼此完善。

[教學片段三]

師：這個近似的長方形的長和寬與圓的周長和半徑有什么關系？你是怎么知道的？

生：把圓分一分、拼一拼，就變成了近似的長方形，它們的面積是相等的。長方形的寬相當于圓的半徑，長相當于圓的直徑。

生：我認為長方形的長不可能相當于圓的直徑，因為從圖上可以看出長度明顯不同。長方形的長應當相當于圓的周長。

師：為什么？

生3：把一個圓分成16等份，其中的長方形的長只有其中的8等份，應為周長的一半。

師：大家聽清楚了嗎？如果用字母r表示圓的半徑，怎么表示圓的周長的一半？

生：可以用表示。

生：如果用r表示圓的半徑，其實就是πr。

師：現在你會推導出圓的面積公式嗎？

生：我認為圓的面積公式是S=πr2。長方形的長相當于圓周長的一半，寬相當于半徑，因為長方形的面積=長×寬，所以圓的面積=πr×r=πr2。

通過對探究結果進行合作交流，學生在此前動手操作的基礎上，進行觀察、討論、辨析與修正，學生在由此引發的頭腦風暴中，自我突破了教學難點和關鍵——長方形的長相當于圓周長的一半，自主完成圓的面積公式推導，完成圓面積計算方法的建模，體會模型思想與符號化思想。

數學思想與數學知識之間的關系可比之謂種子的胚與芽的關系，在適宜的條件下，胚粗芽壯，種苗則破土而出，數學思想的培養也是如此。學生只有經歷長時間的探索過程和不斷的體驗才能獲得數學思想的真正感悟。

（作者單位：福建省漳平市實驗小學）endprint