談高中數學課本習題功能

田素欣

摘 要：波利亞在《怎樣解題》中說：“解題是一種實踐性的技能，好比說就像游泳一樣，在學游泳時，你模仿別人的做法，用手和腳的動作來保持頭部位于水面之上，最后你通過操練游泳學會了游泳。

關鍵詞：高中數學；習題

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）08-240-01

課本上的例習題不是題目的簡單堆砌，而是典型的、精選的、具有代表性的題目，我們不但應該會做，而且還應該對課本例習題進行反思，既要反思解題過程，又要反思教材一定會通過例習題向我們傳達些什么，因此，我們應該充分發揮課本的例習題功能。

一、示范功能

例題是連接理論知識與問題之間的橋梁，示范性強，如對解題的思路指導，解題步驟的表達，書寫的格式，圖例表格的繪制等均有一定的規范要求，復習時應該重視教材例題的示范作用，充分挖掘其內涵和外延，做到事半功倍的復習效果.

例、《數學。第二冊（上）》P27“例1：已知都是實數，且求證：。”

本題課本給出了三種證法：即綜合法、比較法和分析法，而每一種證法都給出了詳細解答步驟，書寫格式十分規范，能給學生很好的示范作用，如，用分析法證明時“要證，只需證明，即只需證明。…①由于因此①式等價于…②，將②式展開、化簡，得…③因為都是實數，所以③式成立，即①式成立。原命題得證。”同時，解題思路也清晰自然，本題用了三種證法說明了證明不等式的方法是多種多樣的，啟示我們要根據不等式的特點靈活地選擇恰當的證法，一般地說，如果能用分析法尋找出證明某個不等式的途徑，那么就能用綜合法證明不等式，同時，還啟發我們是否能用比較法來證明。

二、模型功能

波利亞在《怎樣解題》中說：“解題是一種實踐性的技能，好比說就像游泳一樣，在學游泳時，你模仿別人的做法，用手和腳的動作來保持頭部位于水面之上，最后你通過操練游泳學會了游泳。在學習解題時，你必須觀察和模仿別人在解題時的做法，最后你通過解題學會了解題。”課本上的有些例習題能給我們提供模型或者結論的功能，如果我們能在理解的基礎上熟記相應的模型和結論的話，將會使我們提高思維的效率。

例、《數學。第二冊（下）》P67第6題：“正方體ABCD-A1B1C1D1的個頂點都在球O的球面上，球半徑R與正方形的棱長有什么關系？”

本題的解答并不困難（答案：），但如果我們稍加推廣的話，如：一個正四面體的四個頂點在一個球面上，那么將其補形后的正方體也必在同一個球面上；或者，三條側棱兩兩垂直且長度相等的三棱錐，可以視為內接于球O的正方體的一個“角”，補形后將會給所研究的問題帶來方便；還或者是若有三個面兩兩垂直，則可以拓展為長方體或正方體，如此等等，因此，如果我們在理解的基礎上再以此為模型，那么，將會提高我們的思維效率。

三、聯系功能

學生在第一次學習高中數學時，是以知識點為主線索，由老師依次傳授講解的，由于后面的相關知識還沒有學到，不能進行縱向聯系，所以，學生學到的往往是零碎的、散亂的知識點，而在高三總復習時的主線索是知識的縱向聯系與橫向聯系相結合，以章節為單位，將零碎的、散亂的知識點串聯起來，并將它們系統化、綜合化，側重點在各個知識點之間的融會貫通，因此，我們要注意課本上例習題的前后聯系作用，合理利用，提高復習效率。

例、《數學。第二冊（上）》P82“第11題：求函數的最大值和最小值。”

一般地，如果要求函數的最大值和最小值呢？則可以利用橢圓的參數方程轉化成點（）與點（5，3）所連線段的斜率來處理，也可以利用正弦（或余弦）函數的有界性或△法來解，還可以將其轉化為圓的參數方程來處理，因為只需將系數提出即可。這樣，前后聯系可以將零碎的、散亂的知識點串聯起來，并將它們系統化、綜合化，對這類求最值的問題有了更深刻的認識。

四、歸納功能

波利亞曾說過，我們需要有一種“歸納的態度，…，要求隨時準備把觀察結果提高為一般性的原則，并隨時準備根據具體觀察的結果對最高的一般性原則進行修正。”因此，課本中的例習題不僅要讓學生弄懂、會做，而且還要學生注意解題方法的歸納和整理，探索它們的應用規律，使學生自覺重視加強知識間的縱向發展和橫向聯系，注意引導學生利用例習題不斷總結每個公式、定理的主要用途，開拓解題思路，加強學習中的反思，進而在探索中培養能力，發展智力。

例、《數學。第二冊（上）》P133B組第1題：“設是橢圓（）上一點，分別是點M與點的距離。求證：，，其中是離心率。

該題的證明要結合橢圓的第二定義來完成，其結論就是橢圓的焦半徑公式，當然，如果用橢圓的第一定義來證明，則顯得比較繁雜。同樣地，雙曲線和拋物線也有相應的焦半徑公式。一般地，如果橢圓上的點到焦點的距離與到準線的距離或離心率有關時，往往宜用第二定義，例如，類似下面一些問題都可以這樣解決：（1）若橢圓內有一點P（1，-1），F為右焦點，橢圓上有一點M，則的最小值是________。（本題好像無從下手，但是，若從橢圓的第二定義入手，發現“2”是橢圓離心率的倒數，由定義知是點M到橢圓右準線的距離，則的最小值是點P到右準線的距離，答案為3。

在高三復習時，我們總是期望通過重新審視課本上典型的例習題，能從中歸納得出些什么結論或者什么規律，真正做到“溫故而知新”，例如，《數學。第二冊（上）》P88B組第3題：“把函數在及之間的一段圖象近似地看作直線，且設，求證的近似值是”本題如果我們站在“極限”的高度來看待這個問題，將會“看”到其本質是給出了“以曲代直”求近似值的一種方法，“能根據要求對數據進行估算，并能進行近似計算”是高考“運算能力”的要求，而這種“新視野”是講解新課時所無法體驗的，因為當時還沒有學習“極限”的相關知識。這種前后聯系，歸納總結課本例習題的功能，帶給我們的是數學“美”的享受。