圓錐曲線離心率的求解

魏源

摘 要：圓錐曲線離心率的求解，是當今高考必不可少的一個考點，在學生的學習和教師的教學中都存在一些困惑，為此筆者結合近些年的高考動向及各省市的高考試題研究分析，利用方程思想去解決圓錐曲線離心率的問題，收到了較為理想的效果。

關鍵詞：圓錐曲線；離心率；求解

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）08-201-02

圓錐曲線離心率的求解是當今高考的一個重點，也是一個難點，近些年來，各地高考對圓錐曲線的求解的認識及解決策略有著大量的研究，也取得豐碩成果，但筆者就今年高考動向及各省市高考試題分析發現利用方程思想，以及圓錐曲線的幾何性質與數形結合的思想，對于解決圓錐曲線離心率問題，起著積極而有效的作用。

一、關于離心率的考點的幾點認知

從近幾年高考動向分析，圓錐曲線離心率關鍵考點在于圓錐曲線的定義和標準方程及離心率與準線方程，結合個省市高考試題看，對圓錐曲線求解的認識及解決的主要問題在于求圓錐曲線的離心率的值和求離心率的取值范圍，所以筆者在教學中，盡力將方程思想與圓錐曲線的幾何性質、數形結合起來，起到良好的教學效果。

二、離心率問題的解決的幾種辦法

從近幾年全國及各省市高考試卷的分析發現，對于圓錐曲線離心率問題解決主要由以下幾種辦法：

（1）直接求出a，c.求解e

（2）利用公式，求出整體e

（3）利用第二定義法

（4）構造a，c齊次式，解出e

三、抓住圓錐曲線離心率問題解決的核心

作為高考重點和難點的圓錐曲線離心率問題，理所當然的被高中教師及學生高度關注，有關這方面的研究及論文在網上隨處可見，也還有求離心率的相關資料書籍可到處查尋，但關于離心率的求解問題一直困擾在同學們心中，每次的問題都不一樣，學生遇到這類題的時候，就只得望而生畏，毫無頭緒，無法得到準確而滿意的解答，所以，筆者近年積極加強這方面的研究和思考，主要從相關省市高考試題入手，努力探尋圓錐曲線離心率問題解決的核心，為學生打開思維之門。比如：從重慶這幾年的高考試卷中分析得到，離心率的常見考法，就是建立方程思想來解決求值以及范圍。下面我從以下案例來進行分析：

案例1：設F1，F2分別為雙曲線 ﹣ =1（a>0，b>0）的左、右焦點，雙曲線上存在一點P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|·|PF2|= ab，則該雙曲線的離心率為（ ）

本題來自2014重慶理科數學8題，主要考點雙曲線的簡單性質，難度屬于中檔題，很多網站考點分析都是說用的第二定義來求離心率，學生并不熟悉的焦半徑公式。

解：不妨設右支上P點的橫坐標為x

由焦半徑公式有|PF1|=ex﹣a，|PF2|=ex+a，

∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|·|PF2|= ab，

∴2ex=3b，（ex）2﹣a2= ab

∴ b2﹣a2= ab

∴a= b，

∴c= = b，

∴e= = .

這類型的題目的主要是讓學生善于思考問題，那么教師應該思考的問題是離心率的核心是什么，即如何建立a，c之間的關系，如果找到這個關系，也就能解決離心率了，離心率不是一個雙曲線具體的方程，是刻畫圓錐曲線的共性的東西，有利于反應圓錐曲線的圖像性質，所以教師只需要建立方程就把問題解決了，而且明顯是第一定義來建立方程，下面就是方程的思想解法：

解：不妨設雙曲線上有一點P，那么P點應該滿足雙曲線的定義

∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|·|PF2|= ab，

∴||PF1|-|PF2||=2a

左右平方，通過重新配方可得

∴（|PF1|+|PF2|）2﹣4|PF1|·|PF2|=4 a2

將條件代入上式中，可得一個關于a，b的方程

∴9b2﹣4a2=9ab然后易得e= = .

案例1的反思：兩種思路去解題，很多老師為了學生能夠解決，給他們總結了很多方法，不僅讓問題得到解決，還加重了學習的負擔，關鍵在于沒有從問題的核心思考；第二種解題明顯快速切入主題，找準要害，直接建立方程，得到了答案，所以只要找準了方程，離心率的值可以很快的求出，根據這一思想，其實離心率的范圍也是一樣，把方程的思想推廣到不等式上面即可。

案例2：雙曲線C： 的左、右焦點分別為 ，P為雙曲線C的右支上一點， 為 的內心，記 的面積分別為 ，若 ，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（ ）

分析：雙曲線的取值范圍的求解和求值有相同的理論基礎，題目中很明顯有一個不等式，那么離心率的范圍要借助題目中的不等式來解決，那就得表示出不等式，一切問題都解決了。

解 設 ，內切圓的半徑長為

則 ，

由題可得

≥ 即 ≥

≥ 即 ≤

.

案例2反思：本題是2015重慶理科二診13題，看起來本題毫無頭緒，但是仔細去雕琢它，發現其核心思想是把不等式表示出來，然后通過去約分，本題就不再那么困難了。

四、探本求源是解決問題的關鍵

通過以上案例，不難發現：所有求離心率的方法似乎可以萬法歸一，即建立方程，緊密結合圓錐曲線離心率和數形特點去解決其求值和取值范圍，能夠取得滿意的效果。同時，在解決此問題時，告訴人們：任何知識問題的存在，都有其根本原因的，問題解答者，不能光去追逐問題的解決辦法，應更多的去思考產生這個問題的根本原因是什么，探本求源是解決問題的關鍵，只有挖掘了問題產生的根本原因，才會得到快速解決問題的關鍵因素，及問題的核心要素，比如離心率的核心就a，c之間的關系，找到了問題的核心，問題就能迎刃而解了。