GPS快速定位中相位模糊度動態解算的一種正則化方法

段 榮，趙修斌，龐春雷，李 媛，伍劭實

（1. 空軍工程大學 信息與導航學院，西安710077；2. 94153部隊，陜西 咸陽 712200）

GPS快速定位中相位模糊度動態解算的一種正則化方法

段 榮1，趙修斌1，龐春雷1，李 媛2，伍劭實1

（1. 空軍工程大學 信息與導航學院，西安710077；2. 94153部隊，陜西 咸陽 712200）

針對GPS快速定位中少數歷元組成的法方程存在嚴重病態性的問題，研究了GPS單頻整周模糊度快速解算的新方法：即首先采用改進 SVD分解獲得系數矩陣的精確奇異值，避免了較小奇異值抖動的影響；然后基于改進SVD分解結合法矩陣病態性特點，設計了一種改進Tikhonov正則化方法，合理構造了正則化矩陣，有效抑制法矩陣的病態性。算例表明：與LS估計-LAMBDA方法和Tikhonov正則化-LAMBDA方法相比，新方法能夠有效降低法矩陣的條件數約3個數量級，僅解算4個歷元數據，浮點解偏離真值的方差從41.89減小到1.04，可以快速獲得準確、穩定的模糊度浮點解。模糊度固定性能結果進一步表明，新方法顯著地提高模糊度搜索效率和成功率，解算成功率提高100%。

改進Tikhonov正則化；整周模糊度；病態性；SVD分解；成功率

利用GPS載波相位作為觀測值進行高精度的快速定位，如飛機精密進近著陸/著艦、編隊飛行、航天器交會對接等，其關鍵是快速可靠地固定整周模糊度[1]。整周模糊度的快速準確解算主要體現在兩個方面，一是準確浮點解的快速求解，二是固定解的快速搜索。近年來，國內外眾多學者都在致力于研究整周模糊度的快速解算，成果如[2-5]：雙頻P碼偽距法、最小二乘搜索法（LS）、模糊度函數法、快速模糊度確定法（FARA）、Cholesky分解法、ARCE算法和LAMBDA算法等。其中，Teunissen教授提出的LAMBDA算法是國際公認的理論上最為嚴密、解算最為有效的方法。上述大多算法是基于雙頻觀測值提出的，而且主要側重于搜索環節的優化改進。事實上，在觀測歷元較少的情況下，由于觀測信息不足或者衛星幾何圖形變化較小將導致法矩陣的嚴重病態，采用傳統最小二乘估計方法，或無法解算或解算結果與真實值偏差較大，不能滿足動態定位的實時性需求。為此，相關學者針對病態問題開展了浮點解快速解算方面的研究，相應方法有嶺估計法、TSVD法、歐吉坤團隊提出的修正Tikhonov正則化法及基于改進型UDVT分解的正則化方法等[6-8]。但際應用表明，嶺估計存在嶺參數確定困難問題；TSVD法直接將小的奇異值刪除將損害解估計的分辨率[7]；修正的Tikhonov正則化方法采用奇異值分解構造新的正則化矩陣，僅用5個歷元的觀測數據準確固定了整周模糊度，但其沒有考慮病態矩陣在奇異值分解過程中小奇異值擾動的影響[8][9]。

本文在前期的研究基礎上，首先對雙差方程病態性進行了分析，采用改進SVD分解獲得系數矩陣的精確奇異值，避免了較小奇異值抖動的影響，然后依據法矩陣病態結構特性，設計了一種改進Tikhonov正則化新方法，并充分結合GPS快速定位中（觀測歷元數較少）法矩陣總存在三個數值接近于0的奇異值的共同特點，合理構造了正則化矩陣，有效抑制法矩陣的病態性，獲得了更高精度且穩定的模糊度浮點解及相應的均方誤差陣，以均方誤差陣代替協方差陣并運用LAMBDA算法，可快速準確地固定模糊度。

1 常規方法及解算

1.1 雙差方程病態性分析

1.2 病態方程解算

若一個問題的解存在、惟一且穩定，則稱該問題是適定的，否則，即不滿足其中的任何一個就稱為不適定（ill-posed）[9]。不滿足解穩定的條件，則稱問題是病態的。GPS快速定位是一個典型的不適定問題。正則化方法是求解上述不適定問題的有效方法，基本思想是對不適定方程加上某種正則條件，轉化為適定方程，從而獲得準確穩定的解。常用的正則化方法有嶺估計法、截斷奇異值分解法(TSVD)、Tikhonov正則化法等。基于SVD分解的TSVD方法和Tikhonov正則化方法中，較大的奇異值及其對應的奇異值向量表示模型參數中較為確定和可靠的部分，而較小的奇異值及其對應的奇異值向量則表示不可靠的部分。TSVD法解決不適定問題的方法是直接截掉較小的奇異值及其對應的奇異值向量，從本質上刪除了模型中不可靠的部分，但此方法可能有損解估計的分辨率。

病態方程求解，最著名且比較有效的解法是Tikhonov正則化方法[9-10]，根據Tikhonov正則化原理，求解觀測方程(3)即是尋求滿足如下估計準則的解：

2 新算法

GPS快速定位中法方程系數矩陣具有共同特點，即明顯存在3個數值很小（接近于0)的奇異值，正是由于小奇異值對基線對應分量約束不夠導致無法得到準確的浮點解[8,10-11]。針對N0總存在跳躍較大的小奇異值的情況，由矩陣擾動理論結合Bauer-Fike定理[12]，在矩陣病態時進行奇異值分解，若較小的奇異值發生抖動（如10-8大小），將引起約束條件惡化導致參數向量解精度的大大降低。因此，需要通過構造新的矩陣分解，以期獲得更加精確的奇異值。本節首先采用了改進SVD分解方法，然后基于法矩陣特點給出了一種正則化矩陣的構造新方法。

2.1 改進SVD分解方法

2.2 正則化矩陣構造新方法

針對法矩陣的結構特性，本文設計了一種新的構造正則化矩陣的方法。采用2.1節改進的SVD分解方法對作奇異值分解，則有：

式中，

下面從正則化濾子函數的角度考慮本文改進Tikhonov正則化法的合理性和正確性。引入正則化濾子函數后近似正則解為：

標準Tikhonov正則化濾子函數為

由以上濾子函數比較容易得出，改進Tikhonov正則化法在段與TSVD法相同，在區間內與標準 Tikhonov正則化形式一致。因此，結合1.2節的分析可知，改進Tikhonov正則化法兼具TSVD法和Tikhonov正則化法的優點，去偽存真，既修正了較小的奇異值，不損害解估計的分辨率，又抑制了對較大奇異值修正的影響，避免了模型中可靠部分發生畸變從而增大誤差，可以獲得更為精確的正則化解。

結合GPS快速定位中（觀測歷元數較少）法矩陣總存在三個數值接近于0的奇異值的共同特點，在利用式(13)構造正則化矩陣選擇其分塊形式

式中，正則化參數可以應用L-曲線法[13]來選取，本文選取正則化參數102。

與式(4)相比，法矩陣中增加了R μ=-項。正是由于有

即得到最優的整數解估計值。

3 算例分析

為進一步驗證算法，2014年12月19日下午19時，在空軍工程大學桃園校區實驗樓樓頂利用 2個NovAtel接收機板卡進行實驗觀測，兩天線分別固定在已知基線長度為2.613 m的基線板兩端，基線仰角和方位角分別為-36.41°、102.96°。數據采集時間為 5 min，采樣率為1 s，截止高度角設為10°。整個觀測實驗中兩測站共視衛星為 PRN29、PRN3、PRN14、PRN16、PRN20、PRN25、PRN31、PRN32，選取仰角最大的PRN29號星作為基準星，可以組成7個衛星對：(29 -3)、(29 -14)、(29 -16)、(29 -20)、(29 -25)、(29 -31)、(29 -32)，通過全部數據解算得到的模糊度解為[14 -1 761 982 16 6 626 631 -1761 977 -1 761 978 -4]，以此作為整周模糊度的真實值。

為體現動態精密測量用戶對定位需求的快速性，本文選取前4個歷元的觀測數據，用以下3種方法進行模糊度解算：

方法1：本文新方法；

方法2：LS估計-LAMBDA方法；

方法3：Tikhonov正則化-LAMBDA方法。

這3種方案求解模糊度方法的結果比較如表1所示。

由表1可知，標準Tikhonov正則化法解算的模糊度浮點解比LS方法逼近真實值，LS方法由于觀測歷元數較少，法方程嚴重病態，最終無法正確固定整周模糊度。應用本文方法能夠有效降低法矩陣的條件數，改善法方程的病態性，僅解算四個歷元數據，本文改進 Tikhonov正則化方法可以得到與模糊度真實值更為接近的浮點解，繼而結合LAMBDA搜索得到了準確的整周模糊度值，具有更高的精度和可靠性。

為了更好地驗證本文算法的可靠性及準確性，本文研究了在觀測矩陣添加擾動前后本文算法與文獻[6]所提方法的解算性能比較。觀測矩陣中包含擾動相當于人為地給觀測矩陣添加一個同維數的較小的擾動矩陣，本文取法為，除第2行第2列元素，即取值0.0007外，其余元素均為零。結果比較如表2所示。

表1 三種方法解算結果的比較Tab.1 Comparison on the calculation results of the three methods

表2 觀測矩陣中添加擾動情況下的結果比較Tab.2 Comparison on the calculation results when observation matrix contains disturbance

由表2可知，在病態的觀測矩陣添加擾動后，從解算的模糊度浮點解來看，文獻[6]所提方法在添加擾動前后表現比較敏感，而本文方法在添加擾動前后模糊度浮點解變化較小，具有較好的穩定性。這是因為本文方法采用改進的 SVD分解方法獲得了較為精確的奇異值，避免了小奇異值發生抖動造成正則化矩陣不穩定，最終引起浮點解精度的損耗，說明本文算法具有較好的穩定性。

圖1 新方法解算的基線長度及其誤差Fig.1 Length of baseline and its error using new method

圖3 新方法解算的基線方位角及其誤差Fig.3 Azimuth of baseline and its error using new method

用方法1解得的模糊度固定解反代式(1)求解基線向量及基線俯仰角、方位角并與準確值進行比較得到其誤差，分別如圖1、圖2和圖3所示。

由圖1、圖2和圖3可以看出，利用本文算法解算的基線長度誤差在1 cm范圍內，俯仰角與方位角誤差也在0.4°范圍內，滿足精度要求，說明新算法具有一定的準確性。

為了進一步驗證本文改進方法在改善模糊度固定成功率方面的性能，隨機選取采集數據中連續168個歷元的觀測數據，從1～4歷元為一組，2～5歷元為下一組，可得到165組數據，分別采用方法1和方法2進行解算比較。法矩陣條件數對比圖如圖4所示。由圖4可知：通過改進算法，正則化使法矩陣條件數減小約103量級，病態性程度得到有效改善。

圖4 法矩陣條件數對比圖Fig.4 Comparison on condition numbers of norm matrix

選取模糊度精度因子（ADOP，ambiguity dilution of precision）和模糊度解算成功率作為評估整周模糊度固定性能的指標參數，ADOP 是Teunissen教授提出的用于衡量模糊度解算精度的重要指標[16]，其精度直接影響搜索空間和候選解個數，并且通過ADOP可以直接計算模糊度固定的成功率上限。ADOP計算公式為

表3 模糊度解算性能的對比Tab.3 Comparison on AR performances

模糊度解算性能對比結果如表3所示。與方法2相比，本文算法利用均方誤差陣代替協方差陣進行LAMBDA搜索，縮小了模糊度搜索范圍，在4個歷元內，ADOP值較小，表明精度較高，有效減小了模糊度搜索空間和候選值組數，提高了模糊度搜索效率。與方法2不能準確固定相比，方法1的165組數據解算都能得到比較接近的浮點解，并實現正確固定，成功概率由0增加到100%，說明本文算法能夠顯著提高模糊度解算成功率。

4 結 論

本文以模糊度解算的浮點解快速求解環節作為切入點，針對GPS高精度快速定位應用中少數歷元組成的法方程存在嚴重病態性的問題，提出了一種GPS單頻整周模糊度快速解算的方法。通過對實測數據的算例分析，得到如下結論：

① 利用改進Tikhonov正則化法，兼具TSVD法和Tikhonov正則化法的優點，去偽存真，既修正了較小的奇異值，不損害解估計的分辨率，又抑制了對較大奇異值修正的影響，避免了模型中可靠部分發生畸變從而增大誤差，通過合理構造了正則化矩陣，有效改善了法矩陣的病態性，獲得了更高精度且穩定的模糊度浮點解。

② 采用改進SVD分解獲得系數矩陣的精確奇異值，避免了較小奇異值抖動的影響，增強了算法的抗擾動能力。

③ 算法僅利用 4個觀測歷元數據即實現了模糊度浮點解的快速解算與固定，且顯著提高模糊度解算的效率和固定成功率。

本文算法在觀測4個歷元時即可快速可靠的固定模糊度及定位定姿，因此為單頻接收機在高精度快速相對定位，如精密進近著陸/著艦、編隊飛行、航天器交會對接等領域的廣泛應用，提供了新的研究思路。

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Regularization approach for dynamic resolution of phase integer ambiguity in GPS rapid positioning

DUAN Rong1, ZHAO Xiu-bin1, PANG Chun-lei1, LI Yuan2, WU Shao-shi1
(1. Information and Navigation College, Air Force Engineering University, Xi’an 710077, China; 2. Unit 94153 of PLA, Xianyang 712200, China)

In view of the ill-condition of normal matrix which is formed by few epoch observations in GPS rapid positioning, a new ambiguity resolution method was proposed, in which the modified singular value decomposition (SVD) is designed to acquire the accurate singular values of coefficient matrix, which avoids the influence of small singular value disturbance. Then an improved Tikhonov regularization method is proposed, and a regularizer matrix is constructed based on the characteristics of ill-condition matrix and modified SVD. Experimental example shows that, compared with least squares estimation and Tikhonov regularization combining with LAMBDA algorithm, the improved method has reduced the condition number of normal matrix by about 3 orders of magnitude, and has reduced the variance of float ambiguity deviated from true value to 1.04 from the original 41.89. As a result, a more accurate and stable float solution can be quickly obtained only by the L1-frequency data of four epochs, while the success rate is improved to 100%.

improved Tikhonov regularization; integer ambiguity; ill-condition; singular value decomposition; success rate

V557

：A

2015-06-12；

：2015-09-20

國家自然科學基金項目（61273049）；陜西省自然科學基金項目（2014JM8309）

段榮（1986—），男，博士研究生，從事衛星導航高精度定位研究。E-mail：duanrong0919@163.com

聯 系 人：趙修斌（1965—），男，教授，博士生導師。E-mail：zhaoxiubin926@163.com

1005-6734(2015)05-0624-07

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2015.05.012