慣導平臺自標定中安裝誤差可觀性分析

許永飛，張士峰

（國防科學技術大學 航天科學與工程學院，長沙 410073）

慣導平臺自標定中安裝誤差可觀性分析

許永飛，張士峰

（國防科學技術大學 航天科學與工程學院，長沙 410073）

針對慣導平臺連續翻滾自標定中安裝誤差標定精度不高這一現狀，提出了一種解決方案。通過對慣性器件的輸出誤差模型和安裝誤差的分析，建立了系統的姿態動力學方程和觀測方程，利用輸出靈敏度理論分析了系統的可觀性，指出加速度計安裝誤差可觀性較差是影響標定精度的主要原因。利用 Kalman濾波中的估值方差矩陣計算了安裝誤差之間的相關系數，計算結果表明可觀性差是由安裝誤差之間的線性相關性造成的，并確定了具體的不可觀參數。以加速度計輸入軸為基準建立平臺坐標系可以減少安裝誤差項，使所有的安裝誤差的變得可觀。最后的仿真結果表明在新的方案下，安裝誤差的估值偏差小于5"，標定精度得到了顯著提高。

慣導平臺；安裝誤差；可觀性；輸出靈敏度；相關系數

慣導平臺廣泛應用于艦船、潛艇、戰略彈道導彈等需要長時間為載體提供高精度導航參數的場合。而慣性儀表的精度在很大程度上決定了慣導平臺的使用精度。由于各種因素的制約，慣性儀表會存在各種誤差，從而影響慣導平臺的導航精度。因此各項誤差進行標定和補償就顯得尤為重要[1]。

對于慣導平臺的誤差模型，美國的 Frazier J. Helling等以液浮陀螺慣導平臺為背景建立了包含63項誤差的誤差模型[2]。該模型物理意義明確，具有較強的工程實用性。

對于慣導平臺的標定，常用的有多位置自標定[3-4]和連續旋轉自標定[5-7]兩種方法。多位置標定實現起來簡單，運算量小，易引入器件的安裝誤差以及對準誤差等誤差因素且能夠標定的誤差系數有限。連續旋轉自標定實現起來復雜，但能夠標定出更多的誤差系數。在連續旋轉自標定中，旋轉軌跡的可觀性分析及旋轉軌跡的優化是重點和難點，在文獻[7-8]中，PWCS理論、Lie導數、奇異值分解、輸出靈敏度等方法被用于系統的可觀性分析。

作者在基于文獻[2]中的誤差模型開展慣導平臺連續旋轉自標定的研究時發現，當考慮12項慣性器件安裝誤差時，安裝誤差標定結果不理想。靈敏度分析表明，安裝誤差存在不可觀的問題，但不能確定具體的不可觀參數。在此基礎上，本文從隨機變量的相關性出發，通過相關系數分析指出安裝誤差不可觀是由不同安裝誤差之間的線性相關性造成的，需要舍棄三項加速度計安裝誤差才能保證所有的安裝誤差都是可觀的，且舍棄的安裝誤差必須符合一定的規律：即應保證平臺坐標系的一根坐標軸沿一個加速度計的輸入軸方向。

1 基本理論

1.1 基本坐標系及轉換關系

圖1 平臺幾何構成示意圖Fig.1 Platform geometry

圖2 陀螺儀安裝誤差Fig.2 Platform-gyro coordinate geometry

圖3 加速度計安裝誤差Fig.3 Platform-Accelerometer geometry

平臺系到各慣性器件坐標系之間的轉換矩為

平臺坐標系到平臺基座坐標系之間的坐標轉換矩陣為

1.2 慣導平臺誤差模型

通過框架角建立慣導平臺的動力學模型。框架角速率與平臺角速率之間的關系為

老年教育屬于服務型、社會性教育，對老年人的管理也是以人為本，本著關心、關愛和尊重老人的基本原則，最大限度滿足老年人對興趣愛好和教育內容的需要。老年大學和教育機構盡力為老年人提供便利舒適的教育環境，悉心、耐心、周到地為老年人提供優質和滿意的服務。比如，將有共同愛好的老年人集中起來，互相交流溝通，找到精神的寄托，讓老年人的子女安心工作，也填補了老年人因子女不在身邊而牽掛思念的空閑時間，對于建立幸福家庭，發展社會文化事業起到了積極的作用［3］。

1.3 系統動力學方程與觀測方程

將前文提到的所有的誤差系數及三個框架角作為狀態變量，則系統的非線性動力學方程可以表示為

式中：W(t)表示系統干擾，為零均值的高斯白噪聲。

選取三個加速度計的輸出作為觀測量，則系統的觀測方程為

式中：m(t)為測量噪聲。

1.4 靈敏度分析理論

如果系統用狀態方程來描述，這時的靈敏度問題通常用所謂的軌跡靈敏度來處理，它是表征參數變化對狀態影響的屬性。具體來說，如果系統在額定參數時的額定方程為（假設參數為r維的）

式(15)與式(18)組成了狀態靈敏度方程，不管原來的狀態方程是否為線性的，狀態靈敏度方程一定是線性的：

2 考慮12項安裝誤差時的標定結果

在連續旋轉自標定中，慣導平臺的翻轉路徑的設計是重點和難點，參考文獻[7]的思路對旋轉路徑進行設計，根據設計結果對平臺施加指令力矩，采集加速度計的輸出，然后采用擴展卡爾曼濾波（EKF）方法對測量數據進行處理，獲得誤差系數的估計值。表 1給出了考慮12項安裝誤差（常規方案）時的標定結果。

從表1中可以看出陀螺和加速度計的零次項、一次項誤差系數都獲得了非常好的估計結果，但12項安裝誤差的估計結果較差，因此需要分析原因，給出解決這一問題的方法，以提高標定精度。

表1 考慮12項安裝誤差時的標定結果Tab.1 Calibration result of error parameters under conventional scheme

3 安裝誤差可觀性分析

在旋轉路徑優化時，采用了系統的總可觀測性矩陣的秩及其奇異值作為優化目標函數，這個目標函數并不能反映具體某個狀態變量的可觀測度。參數的輸出靈敏度反映了參數在某個時間段內的激勵程度，而參數輸出靈敏度之間的相關特性也反應了激勵的互相關特征，通過分析不同參數的輸出靈敏度之間的聯系可以進一步分析具體參數的可觀測性。

圖4給出了加速度計安裝誤差的輸出靈敏度，從圖中可以看出6個加速度計的安裝誤差的輸出靈敏度存在兩兩近似互相關的情況，這表明需要去掉3個加速度計安裝誤差才能完全可觀，這解釋了加速度計安裝誤差估計結果較差的原因，但具體舍棄哪些安裝誤差還無法確定。圖5給出了陀螺安裝誤差的輸出靈敏度，從中可以看出每項安裝誤差都得到了充分的激勵，且不存在近似互相關的情況。因此，需要從別的途徑入手解釋陀螺安裝誤差估計結果不理想的原因。

圖4 加速度安裝誤差輸出靈敏度Fig.4 Output sensibility of accelerometer misalignment angle

事實上，在Kalman濾波中，濾波方差陣除了可以用來分析濾波效果外，還可以用來分析各狀態變量之間的相互影響關系。不同狀態變量之間的相關系數可以通過下式得到

從表2中可以看出，陀螺安裝誤差之間的相互影響程度更大，而加速度計安裝誤差之間的相互影響關系要小一些。通過進一步的分析可以發現，6個陀螺安裝誤差之間的相關關系很大程度上是因為與3個加速度計安裝之間的相關關系造成的。因此考慮在連續旋轉自標定中舍棄這三項誤差。

圖5 陀螺安裝誤差的輸出靈敏度Fig.5 Output sensibility of gyro misalignment angle

表2 安裝誤差之間的相關關系Tab.2 Correlation among misalignment angles

4 改進方案的標定結果

根據上述結論，在連續旋轉自標定中略去3項加速度計安裝誤差即以X加速度計的輸入軸為基準建立平臺坐標系（改進方案）。依然采用與原方案一致的旋轉路徑、誤差系數真值及濾波初始條件，圖6給出了在新的方案下慣性器件安裝誤差的標定結果。

從圖6中可以看出，采用改進方案后，慣性器件安裝誤差的標定結果得到了顯著提高，估計誤差小于5"。更進一步的分析與仿真表明，以任何一個加速度計的輸入軸為基準建立平臺坐標系，安裝誤差的標定結果都能獲得很好的估計結果。

圖6 新方案下安裝誤差標定結果Fig.6 Estimation results of misalignment angles under improved scheme

5 結 論

本文對慣導平臺連續旋轉自標定中慣性器件安裝誤差標定結果不理想的原因進行了分析，結果表明這是由于安裝誤差之間的線性相關性造成的。解決這一問題的方法是以加速度計的輸入軸為基準建立平臺坐標系。另外利用相關系數分析來確定不可觀的狀態變量，這為可觀性分析提供了新的思路。

（References）：

[1] Seong-hoon P W, Farid G. A triaxial accelerometer calibration method using a mathematical model[J]. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 2010, 59(8): 2144-2152.

[2] Frazier J. Hellings. Application of extended Kalman filtering to a dynamic laboratory calibration of an inertial navigation system[R]. AD-763718, 32-38.

[3] Zhang H L, Wu Y X, Wu W Q, et al. Improved multi-position calibration for inertial measurement units [J]. Measurement Science and Technology, 2010, 21(1): 015107.1-11.

[4] 包為民, 申功勛, 李華濱. 慣性平臺在系統中多位置翻滾自標定方法[J]. 北京航空航天大學學報, 2011, 37(4): 462-465. Bao Wei-min, Shen Gong-xun, Li Hua-bin. Investigation on inertial platform multi-position rolling self-calibration [J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2011, 37(4): 462-465.

[5] 丁智堅, 蔡 洪, 楊華波, 等. 浮球式慣性平臺連續翻滾自標定自對準方法[J]. 國防科技大學學報, 2015, 37(3): 148-154. Ding Zhi-jian, Cai Hong, Yang Hua-bo et al. Continuous self-calibration and self-alignment method for floated inertial platform[J]. Journal of National University of Defense Technology, 2015, 37(3): 148-154.

[6] 曹淵, 張士峰, 楊華波, 等. 慣導平臺誤差快速自標定方法[J]. 宇航學報, 2011, 32(6):1281-1287. Cao, Yuan, Zhang Shi-feng, Yang Hua-bo, et al. Research on rapid self-calibration method for inertial platform[J]. Journal of Astronautics, 2011, 32(6): 1281-1287.

[7] Cao Yuan, Cai Hong, Zhang Shi-feng, et al. A new continuous self-calibration scheme for a gimbaled inertial measurement unit[J]. Measurement Science and Technology, 2012, 23(1): 015103.1-12.

[8] Li Chan, Zhang Shi-feng, Cao Yuan. One new onboard calibration scheme for gimbaled IMU[J]. Measurement, 2013, 46(8): 2359–2375.

[9] 孟衛鋒, 袁愛紅, 賈天龍, 等. 高精度慣性平臺十六位置自標定方案[J]. 中國慣性技術學報, 2015, 23(2): 150-155. Meng Wei-feng, Yuan Ai-hong, Jia Tian-long, et al. 16-position self-calibration of high-accuracy inertial platform[J]. Journal of Chinese Inertial Technology, 2015, 23(2): 150-155.

Observability analysis of IMU’s misalignment angles in self-calibration for inertial platform

XU Yong-fei, ZHANG Shi-feng
(College of Aerospace science and engineering, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

An improved scheme for inertial platform is proposed to solve the problem that the calibration accuracy for the misalignment angles is not high in the continuous rotation self-calibration. Combining with the output error model and misalignment angles of the inertial device, an attitude dynamic model and observation equations are established. The system’s observability is analyzed based on the theory of output sensitivity. According to the analysis, it is the low observability of the accelerometers' misalignment angles that mainly affects the calibration accuracy. Correlation coefficients are calculated with the estimation error covariance matrix in the Kalman filter, and the calculation results indicate that the low observability is caused by the linear correlations. A new scheme is proposed by establishing the platform coordinate system based on the input axis of one accelerometer, which can reduce the number of the misalignment angles and make all the error parameters observable. Simulation results show that the estimation error of the misalignment angles is less than 5" and the calibration accuracy is significantly improved by the improved scheme.

inertial platform; misalignment angle; observability; output sensitivity; correlation coefficient

V441

A

2015-06-03；

：2015-09-21

航天科技創新基金（CASC201105）

許永飛（1988—），男，博士研究生，主要研究方向為慣性導航。E-mail：xyf_xyf2008@126.com

聯 系 人：張士峰（1971—），男，教授，博士生導師。E-mail：zhang_shifeng@hotmail.com

1005-6734(2015)05-0575-05

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2015.05.004