貝特朗悖論之爭的終結

張 敏，何小亞

（華南師范大學 數學科學學院，廣東 廣州 510631）

貝特朗悖論之爭的終結

張 敏，何小亞

（華南師范大學 數學科學學院，廣東 廣州 510631）

貝特朗悖論之爭主要有5種類型，爭論的本質體現在4個方面．貝特朗悖論產生的原因是原問題缺少具體的等可能性假設之條件．幾何概型的等可能性假設必須明確地給出，它無法通過直覺獲取，也不能通過實踐驗證．從直觀的、直覺的、現實世界的角度去看數學世界的內容是引起貝特朗悖論爭論的本質原因．深刻理解這些觀點對幾何概率教學有重要的指導作用．

貝特朗悖論；幾何概率；樣本空間；等可能性假設

1 導 論

1.1 研究背景

人們對概率的研究有悠久的歷史．從16世紀開始，意大利的一些學者就開始研究擲骰子等賭博中的一些簡單問題．1812年，法國數學家拉普拉斯撰寫了《分析概率論》這一著作，概率的古典定義在書中被首次完整而系統地提出．作為對古典定義的補充和推廣，在無限樣本空間背景下的幾何概率也得到了廣泛的應用．

正當古典概率和幾何概率在各自的研究范圍內迅猛發展時，1899年，法國數學家貝特朗（Joseph Bertrand, 1822—1900）提出一個“簡單”的問題：在半徑為R的圓內任作一弦，求其長超過圓內接正三角形邊長的概率．按照幾何概率的定義進行計算，竟然可以求得3個不同的概率，這與概率的性質是背道而馳的．這就是著名的“貝特朗悖論”，矛頭直指幾何概率概念本身．貝特朗悖論說明原來關于概率的定義帶有很大的局限性，迫切需要一種公理化體系改造概率論．1933年，前蘇聯數學家科爾莫戈洛夫提出了概率的公理化體系，迅速獲得舉世的認可，使得古典概率和幾何概率具有了更加嚴密的邏輯基礎，像“貝特朗悖論”這類自相矛盾的問題也得到了合理的解釋．

1.2 問題提出

公理化體系下的概率定義和古典定義以及幾何定義有明顯的不同．公理化定義[1]只解決“什么是概率”的問題，但并不解決“如何確定概率”的問題．貝特朗悖論的3種不同的解答，是從不同的角度分析問題，所確定的3個不同概率均滿足公理化定義的3個公理化性質，因此，在公理化體系下，都被認為是正確的．關于貝特朗悖論的爭論似乎可以平息了，然而，爭論真的結束了嗎?

隨著中國高中數學新課標的實施，作為解決實際問題的一種有用工具，概率成為高中數學的必修內容[2]，并且越來越受到重視[3～6]．古典概率和幾何概率是高中概率學習的重點[7]，其中幾何概率更是難點．即使有公理化體系的解釋，作為幾何概率的一個典型問題，貝特朗悖論卻一直是廣大一線教師們討論的熱點問題．

比如，同一個隨機事件為何會有3個不同的概率？是否違背了概率是隨機事件客觀屬性這一性質？3種解法能否統一？3種解法是否都正確理解了原題意？是否還有另外的解法存在？

因此，關于貝特朗悖論的爭論遠遠沒有結束，教師們的疑惑仍然沒有消除．這里旨在分析目前國內高中教學中關于貝特朗悖論問題的各種爭論，剖析各種爭論的實質，希望廣大一線教師們在貝特朗問題上有正確的理解，不再困惑重重．

2 貝特朗悖論的經典解法

首先，關于幾何概型和幾何概率，有如下定義[1]：

若隨機試驗滿足以下兩個條件：（1）試驗的樣本空間中的基本結果有無窮個且不可數，充滿某個區域；（2）每個基本結果是等可能出現的，即任意一點落在度量相同的子區域內是等可能的．則這樣的隨機試驗稱為幾何概型．

在貝特朗問題提出時，貝特朗就提出了3種經典的解法：

假設事件E表示“在半徑為R圓內任作一弦，其長超過圓內接正三角形邊長”．

圖1

圖2

圖3

解法3：如圖3，圓內弦的位置被其中點唯一確定．在圓內作一同心圓，其半徑僅為大圓半徑的一半，則當弦的中點落在小圓內，弦長才能超過內接正三角形的邊長．

3 各種爭論觀點的歸納

由此看到，貝特朗問題之所以出現3種不同的答案，是因為人們觀察隨機試驗的基本結果的角度不同，同時對基本結果的等可能性假設也有不同的理解．

然而，仍然有不少學者對此持懷疑態度，并根據自己對問題的理解以及自己特有的思維方式，鐘情于其中的某種解法，想方設法尋找其他解法的瑕疵，推翻其他解法的合理性，從而認為貝特朗悖論并不奇，答案其實是唯一的．

3.1 認為解法1唯一正確

貝特朗悖論的關鍵在于題干中的一個條件：在圓內任作一條弦．對任意的不同理解造就了這個看似簡單的問題成了“悖論”．如果認為弦是由兩端點決定，任意作弦就應該先隨機確定兩端點在圓上的位置，這時需要假設兩端點在圓上等可能分布．持這種觀點的學者徐明[8]，許麗麗[9]將會認為解法1是正確的．而如果按照解法2和解法3所認為的等可能性假設，卻無法推出兩端點在圓上等可能分布，故認為解法2和解法3是錯誤的．

另一種觀點認為[10]，因為解法1避開了“圓心”，故只有解法1才是正確的．在解法2中，假設任意弦的中點在與弦垂直的直徑上是等可能分布的．在解法3中，假設所有弦的中點在圓中等可能分布．對于圓中的弦，除了直徑外，均有唯一的弦中點與弦對應．而圓心，卻是所有直徑共同的中點，即這個中點特別“厚”，因此認為弦的中點在某直徑或在圓內是等可能分布是不成立的．

石啟亮[11]通過隨機模擬的方法，按照解法1的假設，認為解法1的答案才是正確的．

3.2 認為解法2唯一正確

黃晶晶[12]認為解法2才是正確的．其主要觀點基于一個假設：弦是由點組成的，長的弦需要更多的點，故任一弦出現的概率與其長度有關．由此計算得到解法2才是正確的．而解法1和解法3的情況，若按該假設重新計算，也能得到解法2的答案．

3.3 認為解法3唯一正確

張曉強[13]認為，因為其他兩種解法把弦重復計算了，故只有解法3是正確的．甚至可以把其余兩種解法通過剔除重復計算的弦而修改為解法3的答案．

李貴俊[14]，孫桂秋[15]，楊培恒[16]認為，在貝特朗悖論的3種解法中，有的解法對作弦有限制．比如解法1要求先固定弦的一端，解法2要求先規定弦的方向．而原題要求在圓內任意作弦，故作弦時附加的這些條件是不合理的．而解法3沒有這些特殊要求，因此解法3才是符合題意的作弦方法．

3.4 認為3種解法都不對發現了其它的“唯一正確”的解法

有學者認為3種經典解法均有值得商榷的地方，故創造出有別于3種解法的新解法，并且認為更合理，甚至認為他們的解法才是唯一正確的解法。主要有以下兩種：

圖4

圖5

這種解法的本質是：在解法一的基礎上，不再預先固定弦的一端，而讓弦的兩個端點隨機獨立選取．這時的試驗結果是弦的兩個端點的位置，并假設兩個端點各自在圓周上等可能分布．用二維點(α,β)表示試驗結果，其中α表示OC按逆時針方向旋轉至OA所經過的角度，β表示OC按逆時針方向旋轉至OB所經過的角度，C是圓周與x正半軸的交點．0≤α≤2π，0≤β≤2π．

解法5（李文明[18]）：在半徑為R的圓上隨機取弦，每取一弦，記錄其長度，這時試驗的結果可認為是弦的長度．記弦的兩端點分別為A，B，則弦AB的長度的取值范圍為[0,2R]．半徑為R的內接等邊三角形的邊長為，故只有那些弦長大于的弦才符合要求．見圖6．

圖6

4 剖析各種爭議的實質

由此看來，貝特朗悖論至少有5種解答．這5種觀點各執己見，堅持認為自己的才是正確的，因為都能找到其它解法的瑕疵．下面，從幾何概型的基本要素（樣本空間的構造和作弦的等可能性）對以上爭議進行深入的分析．

4.1 各種解法中樣本空間的構造的合理性分析

樣本空間中的元素是試驗的基本結果．貝特朗悖論的題意是要求在圓內任意作弦，直觀看來，試驗的結果應該是做出的弦．但是幾何概率問題中試驗的基本結果應該用“點”來描述，這個點根據實際情況可以是一維數軸上的點，也可以是二維平面上的點，或者是三維空間上的點．故求解貝特朗問題的首要任務是要把做出的弦轉化成相應的“點”，即樣本空間的元素．而弦和點之間應存在對應關系．上述的5種解法均從各自的角度把試驗的結果轉化成樣本空間中的“點”．

另外，當對作弦附加了條件，比如指定弦的端點（解法1）和指定弦的方向（解法2），會否縮小樣本空間？

圓內任一條弦，總是由弦在圓上的兩個端點決定，而且也必然垂直于某一條直徑．

解法1中，在圓周上任取一點，作為弦的一端，然后討論弦的另一端點的位置．根據圓的對稱性，以及取點的任意性，固定一端點后所作的弦的性質與固定其他點所作的相應弦的性質相同，當然包括概率這個性質．故雖然表面上看起來解法1的樣本空間比解法3的樣本空間要小，但所求的概率是合理的．

解法2中，預先任意確定弦的方向，考慮在這個方向上的弦的性質．由于這個方向也是任意的，在這個方向的弦的性質與其他方向上的弦的性質相同．因此雖然樣本空間比解法3的樣本空間小，但所求的概率也是合理的．

4.2 各種解法中作弦的等可能性分析

究竟哪種方法真正等可能地作弦？這是最困擾人們的問題．實際上，古典問題和幾何問題的一個最大區別，在于可數和無限不可數的問題．其中幾何問題上涉及的無限不可數問題是很抽象的問題．若根據古典的思想，用弦的數量多少或者點的數量多少來解決問題，是不正確的．

在古典概型中，由于試驗基本結果是有限的，當樣本空間確定后，試驗基本結果的等可能性是可以驗證的．但是，幾何概型卻并非如此．

在幾何問題中，當樣本空間確定后，試驗結果的等可能性質卻需要明確假定．而且由于試驗結果的無限性，這種假定無法驗證．這是人們最容易忽視和無法理解的問題．

貝特朗悖論問題恰恰是缺少了相應的等可能性假定，題干只要求在圓內任意作弦，至于弦在圓內是按何種方式等可能分布，是沒有提及的，才導致如此多的“解法”．

因此，這并不算一種悖論，只是一道條件不充分的數學題，不同的人為了“解”它而添加不同的條件，將其改造成各種不同的可解的問題而已．解法1和解法4強調弦由端點決定，假設端點在圓上等可能分布；解法2強調弦由其中點決定，并假設弦中點在與弦垂直的直徑上等可能分布；解法3強調弦由其中點決定，假設中點在圓內等可能分布．解法5假設弦長是等可能分布的．

這是各種不同的等可能假定，是不能夠互相轉化的．比如，當認為弦由端點決定，假設端點在圓上的等可能分布時，必然使得另外幾種情況的等可能性假設失效．當作不同的假定后，計算的結果也就不同了．

所以，這幾種方法實際上都做到了真正的等可能取弦．

4.3 關于圓心的說明

圓心，這個特殊點，在貝特朗悖論爭論中擔任了重要角色．在解法3中，假設弦的中點在圓內等可能分布．但是圓心這個特殊的弦中點確實比其他弦的中點“厚”，因為它是所有直徑的共同中點．而圓內的其他點都只是某一條弦的中點．這時假設弦的中點在圓內等可能分布的這種等可能性假設是否合理？答案是肯定的．

古典概型和幾何概型均有對試驗基本結果的等可能性要求．古典概型的等可能性要求試驗的每一個基本結果出現的可能性大小相同．但是幾何概型的試驗結果是無限不可數的，其等可能性條件的實質并不是要求每一個試驗的基本結果出現的可能性大小相同．

幾何概率的計算公式已表明，幾何問題的概率是由試驗結果所構成的測度所決定，單個試驗結果的測度為0，甚至有限個試驗結果的測度之和也為0，因此，幾何問題中的每一基本試驗結果出現的概率必相同——概率為0．這和概率為零的事件并非一定是不可能事件是相同道理的．

由此可見，考慮每一個基本試驗結果的可能性大小并沒有意義．幾何概型中的等可能性強調的是試驗結果落在度量相同的子區域內是等可能的，不管該區域的形狀如何．

因此，圓心的特殊性質并不影響概率的計算，也不影響等可能性假設．一種極端的想法是甚至可以把圓心挖掉，少了這個圓心不會影響任何事件概率計算的正確性．

4.4 關于作弦的概率與弦長有關的假設

有人認為，由于圓內的所有點是等可能分布的，而不同長度的弦由于含有不同數量的點，因此作不同長度的弦是不等可能的，作長的弦比作短的弦概率大．這種說法并不合理．

弦雖然是有限長度的線段，但是不同長度的弦所包含的點均是無窮多個，這屬于實無限思想的范疇．在實無限領域，可以證明不同長度的兩條線段中的點存在一一對應的關系．德國數學家康托爾（Cantor, Georg Ferdinand Ludwig Philipp, 1845—1918）甚至成功證明了一條直線上的點能夠和一個平面上的點一一對應，也能和空間中的點一一對應．從這種意義上說，不同長度的弦包含的點其實是一樣多的，故認為作弦的概率與弦長有關的假設是不合理的．

5 結 論

5.1 貝特朗悖論并不奇

貝特朗悖論確實不奇，這并不是指它應該有唯一的答案，而是指它其實是一道開放性的，條件并不充分的題目，當把題目補充完整后，答案就唯一．這個不充分的條件正是關于弦的等可能性分布的假定．只是有的人對任意作弦的方式有個人偏好，因此傾向于某種等可能性假設，而偏向于某種解法．而實際上，這種假定甚至還不限于本文所提及的5種，所以貝特朗悖論的答案非但不唯一，甚至是有無數個解．當然，當等可能性條件補充完整后，貝特朗問題的解就唯一了．

5.2 幾何概率問題中的等可能性假設是一種數學假設并無法驗證

雖然幾何概型和古典概型在確定概率時都要求試驗結果滿足某種等可能性條件，但是古典概型中的等可能性條件是可以驗證的，而幾何問題中的等可能性假設必須明確給出，并且無法通過直覺獲取也不能通過實踐驗證．

幾何問題涉及的是無限不可數問題，試驗結果通常是用點、線、面、體等幾何元素表示．“點”動成“線”，“線”動成“面”，“面”動成“體”，也就是說幾何世界是由“點”構造出來的，但“點”是沒有大小的東西，它在現實世界中是不存在的．數學源于現實，脫胎于現實，但它已經完全超越現實，在數學世界與現實世界之間存在著不可逾越的鴻溝．從直觀的、直覺的、現實世界的角度去看數學世界的內容是引起貝特朗悖論爭論的本質原因．

[1] 茆詩松，程依明，濮曉龍．概率論與數理統計[M]．北京：高等教育出版社，2011．

[2] 《國家高中數學課程標準》制訂組．《高中數學課程標準》的框架設想[J]．數學教育學報，2002，11（2）：36-41．

[3] 孫名符，謝海燕．新高中數學課程標準與原教學大綱的比較研究[J]．數學教育學報，2004，13（1）：63-66．

[4] 李俊．學習概率中認知的發展[J]．數學教育學報，2002，11（5）：1-5．

[5] 藺云．哲學與文化視角下概率統計課的育人功能[J]．數學教育學報，2002，11（2）：24-26．

[6] 藺云．珍視概率統計課程中思辨數學的教育價值[J]．數學教育學報，2010，19（3）：18-21．

[7] 鐘志華．對高中新課程中概率教學的認識[J]．數學教育學報，2006，15（1）：82-85．

[8] 徐明．“幾何概型”教學釋疑——兼談“貝特朗概率悖論”[J]．數學通訊，2009，（6）：15-17．

[9] 許麗麗．由貝特朗問題談幾何概型中的等價轉化[J]．教育教學：福建基礎教育研究，2011，（8）：30-31．

[10] 蘇同安．都是圓心惹的禍——“貝特朗悖論”新說[J]．中學數學高中版，2010，（1）：64．

[11] 石啟亮．解讀貝特朗_Bertrand悖論[J]．數學教學，2005，（10）：32-34．

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[13] 張曉強．貝特朗“奇”論不奇[J]．牡丹江教育學院學報，2009，（4）：108．

[14] 李貴俊．貝特朗（Bertrand）悖論的探討[J]．丹東紡專學報，2001，（4）：50-51．

[15] 孫桂秋．貝特朗奇論并不奇[J]．工科數學，1992，（2）：91-92．

[16] 楊培恒．關于貝特朗奇論的討論[J]．陜西師大學報：自然科學版，1990，（4）：76-77．

[17] 陳作清．關于貝特朗奇論的新見解[J]．西北民族學院學報，1998，（1）：64-65．

[18] 李文明．關于貝特朗悖論的探索與進展[J]．中學數學研究，2013，（2）：47-50．

The End of Bertrand Paradox Debate

ZHANG Min, HE Xiao-ya
(School of Mathematics Science, South China Normal University, Guangdong Guangzhou 510631, China)

The debate of Bertrand Paradox mainly concludes five types and the essence of the debate lies in four aspects. The reason of Bertrand Paradox is the lack of explicit equal- possible hypothesis. Equal-possible hypothesis must be given definitely. It can neither be acquired by instinct nor be confirmed by practice. The essential reason of the debate of Bertrand Paradox is that we understand the mathematics world in visual, intuitive and real perspectives. Deep understanding about these views has great influence on geometric probability teaching.

Bertrand Paradox; geometric probability; sample space; equal-possible hypothesis

G40-055

：A

：1004-9894（2015）03-0051-04

[責任編校：張楠]

2015-01-08

教育部哲學社會科學研究重大課題攻關項目——我國高中階段學生核心素養的模型及指標體系研究（13JZDW009）

：張敏（1977—），女，廣東陸豐人，講師，博士研究生，主要從事數學素養及概率統計教學研究．