在高等數學課程中開展數學實驗教學的探索與研究

高 潔，周 瑋

（1．濰坊學院 數學與信息科學學院，山東 濰坊 261061；2．濟南工程職業技術學院 基礎部，山東 濟南 250200）

在高等數學課程中開展數學實驗教學的探索與研究

高 潔1，周 瑋2

（1．濰坊學院 數學與信息科學學院，山東 濰坊 261061；2．濟南工程職業技術學院 基礎部，山東 濟南 250200）

對在高等數學課程中開展數學實驗教學的內涵、教學內容、教學設計、教學實施以及評價方法進行深入研究．結合高等數學教學內容設計了數學實驗內容，將數學實驗分為基礎實驗和建模實驗，通過具體實例說明了應用Mathematica軟件進行數學實驗的關鍵步驟，并對數學實驗的具體實施進行了詳細論述．

高等數學；數學實驗；數學建模；Mathematica軟件

高等數學是高等學校一門重要的基礎學科，是理工科大學生的必修課，它不僅是各學科共同使用的精確的科學語言，也對學生后繼課程的學習及思維素質的培養起著重要作用，它已經日益成為各學科和工程實踐中解決實際問題的有力工具．高等數學教學的根本任務就是要通過教學活動讓學生學習掌握數學的思想、方法和技巧，并能學以致用，這就使得通過高等數學的學習不僅要培養大學生具有堅實的數學理論和較高的數學技能，而且同時要提高他們自覺運用高等數學理論知識去解決相關專業中的實際應用問題的數學構建能力．

目前在許多高等院校高等數學的教學依然沿用傳統的講授式教學模式，這種模式固然可行但也存在一定的弊端：一是傳統的數學教學重理論輕應用，學生感覺枯燥無用；二是以教師講授為主的教學方式造成學生被動地學，不利于學生獨立思考和學習能力的培養；三是單純講解書本知識與專業脫節，學生體會不到數學在專業學習中的重要作用，不利于學生應用數學解決實際問題能力的培養，更不利于學生創新精神和創造能力的培養[1]．針對這種狀況，近十幾年來許多院校對高等數學課程的改革進行了一些討論和探索，提出了調整優化教學內容和體系，開設數學實驗和數學建模課的設想，還有許多文獻研究了數學建模和數學實驗的系統模式，對如何通過這門注重理論聯系實際的課程培養學生的想象力、洞察力、直覺思維、發散思維、動手能力，以及應用能力和創新能力進行了探索[2]．但是這些文獻普遍缺乏具體的實施措施和評價標準，同時由于各個學校的師資、生源、設備等條件的不同，也為數學實驗教學帶來了一定的困難．借鑒國外“從做中學”的教學模式[3]，在完成高等數學基本教學任務的同時，將數學實驗教學融入高等數學課程中，不僅在平時教學中增加數學實驗內容，還定期進行上機實驗，使高等數學課程從“學數學”向“用數學”轉變，從“理論教學”向“應用教學”轉變，從“手工計算”向“應用計算機軟件計算”轉變，充分展現數學的工具性和應用性，并在實踐中不斷總結經驗教訓，對在實驗課程中介紹哪些內容、怎樣實施、如何對學生進行評價進行了探索和研究．

1 數學實驗的內涵

數學實驗是在計算機系統的幫助下，利用數學軟件工具解決數學問題的一種教學手段，是將數學科學轉化為數學技術的主要途徑[4]．數學實驗需要在安裝數學軟件的計算機機房進行，是高等數學課堂教學的補充，它既可以作為一門獨立的課程，也可以融入到數學課堂教學中，作為課堂教學內容的一部分．數學實驗包括基礎實驗和建模實驗，基礎實驗是注重基本數學運算的實驗；建模實驗是注重解決實際問題的實驗．每個實驗專題都由實驗目的、實驗準備、實驗任務、實驗過程、思考與練習5個部分組成，其中的實驗任務是實驗專題的核心，由“基礎實驗和建模實驗”共同組成．數學實驗將數學知識、數學建模與計算機應用有機地結合起來，使數學不僅僅局限于數學的證明和計算技巧的訓練，而是更注重于借助數學軟件解決專業實際問題[5]．

2 數學實驗的教學設計

2.1 數學軟件的選取

數學實驗可選用多種數學軟件，Mathematica軟件系統是目前世界上應用最廣泛的符號計算系統之一，提供了與Matlab和Maple等著名數學軟件同樣強大的功能，主要功能包括3個方面：符號演算、數值計算和繪圖．由于Mathematica界面直觀、文件小巧，易于安裝，因此研究者將Mathematica軟件包作為主要教學內容．

2.2 數學實驗內容和高等數學教學內容的關系

將Mathematica軟件包融入到高等數學各章節的計算方法中，只要求學生掌握高等數學計算的原理和最基本的計算方法，對需要應用技巧或計算量比較大的計算，要求學生應用數學軟件解決．高等數學課時有限，將數學軟件的計算方法適時引入，不僅可以節省大量用于介紹各種計算方法和計算技巧的課時，而且可以提高解題速度和解題的準確度．學生在專業實際問題中遇到的數學計算往往數據量大，復雜度高，如果沒有數學軟件，那么沒有一定數學功底的人是算不出來的．現在學生借助計算機解決了計算問題，就可以把精力投入到分析問題的過程中[6]．在高等數學每個單元教學中增加數學建模實驗內容，就是讓學生體驗數學工具在實際應用中的作用，借助數學軟件應用數學解決實際問題，提高數學應用能力．下面以積分與應用為例說明如何結合高等數學進行數學實驗．

（1）實驗目的．

理解不定積分、定積分的概念，熟練掌握Mathematica軟件求不定積分、定積分的命令，并會運用數學軟件解決實際問題．

（2）實驗準備．

Integrate[f, x]計算函數f [x]的不定積分，也可以使用BasicInput模板上的不定積分符號；

（3）實驗任務．

基礎實驗：求函數的不定積分和定積分的Mathematica軟件命令

建模實驗：暴雨期間平均降雨量問題

某地區在夏天經常受到暴雨的侵害，為了做好災害的預防工作，通過以往暴雨期間的統計資料，得出一條河流在延續了12.5小時暴雨期間的流量曲線（如圖1），暴雨覆蓋的面積是100 km2，計算在暴雨期間的平均降雨量是多少[7]？

圖1 暴雨降水量

（4）實驗過程．

基礎實驗過程是要求學生在計算機上利用Mathematica軟件運行不定積分和定積分的命令，得出結果．建模實驗則需要對實際問題進行分析，建立數學模型，再利用Mathematica軟件進行計算．

（5）思考與練習．

通過實驗體會數學軟件的運行方法，總結有幾種方法可以實現積分計算，并思考如果數學軟件命令不能求出某函數的原函數，是否說明該函數不可積，當定積分函數中含有參數，數學軟件命令能否對其求定積分．通過思考與練習熟練掌握數學軟件的應用．

2.3 數學實驗內容的課時分配

數學實驗內容包括數學基礎實驗和數學建模實驗兩部分，基礎實驗主要以數學軟件的學習和應用為主，運用Mathematica軟件進行求導、積分、求解微分方程、級數等計算．數學建模實驗是以實際問題為載體，運用數學軟件工具解決實際問題，主要培養學生的探究能力、創新能力和應用能力[8]．數學實驗具體內容和課時分配如表1：

表1 數學實驗具體內容和課時分配

3 數學實驗的教學實施

3.1 基礎實驗的教學

（1）以Mathematica的符號運算系統為依據，掌握算微積分的計算．

高等數學中微積分教學的一個重點就是極限、導數、積分的計算方法，這一部分公式多，技巧性強，雖然教師在計算技巧的講解上花費了大量的課時，學生仍然感覺學習困難．Maryland大學的M. Kathleen Heid是最早運用Mathematica調整微積分課程結構的，傳統課程的學生必須學會微積分計算技巧才能考慮更多的應用，而計算機的使用可以使學生在掌握計算技巧之前就能利用計算機解決應用問題[9]，Mathematica強大的計算功能使微積分的計算變得非常簡單，結合Mathematica數學實驗進行微積分的教學，不僅可以提高學生學習興趣，還可以提高學生的學習效率，在有限的課堂教學時間內使學生掌握更多的數學知識和計算技能．

圖2 計算（一）

圖3 計算（二）

（2）驗證高等數學中的定理公式，加深對數學知識理解．

圖4 函數圖像（一）

圖5 函數圖像（二）

再利用Mathematica解方程，得出ξ值，如圖6．

圖6 計算（三）

其中的實數解就是滿足拉格朗日中值定理的ξ，約為1.336 65．

（3）將數值計算與數學建模相結合，提高數學的應用能力．

數值計算方法是一種研究并解決數學問題的數值近似解的方法，是在計算機上使用的解數學問題的方法，數值計算方法的計算對象是微積分、線性代數、常微分方程中的數學問題，包括插值和擬合、數值微分和數值積分、求解線性方程組的直接法和迭代法、常微分方程的數值解等問題．數值計算是從理論到實際的一個重要橋梁，在計算機成為數值計算的主要工具以后，應用數學方法解決實際問題的過程變為：實際問題→數學模型→計算方法→程序設計與上機計算[10]．數值分析主要研究數學問題的數值方法和理論，數學建模通常作為應用數學的任務，數學實驗為數學建模內容的教學提供了工具．數值計算是比較復雜的算法，學生在學習上往往感覺比較枯燥，將數值計算與數學建模結合起來，對于與學生所學專業有關的問題，他們迫切地想了解如何通過數學方法獲得問題的解答，因此可以增強學生的學習積極性，應用Mathematica軟件進行計算減少了計算的復雜性，可以幫助學生順利解決實際問題，對提高學生的數學應用能力有很大幫助．

3.2 建模實驗的教學

建模實驗也稱為運用數學技術的探索性實驗，是聯系數學與實際問題的橋梁，是數學實驗從廣度和深度上的進一步深入和提高，它為學生提供了自主學習的空間，有助于學生體驗數學的價值和作用，有助于激發學生學習數學的興趣，發展學生的創新意識和實踐能力．

建模實驗內容一方面來自教材中的問題原型，另一方面來自生活和專業實際問題．數學作為思想與技術兼顧的學科主要是為了解決實際問題，而數學建模正是通過識模、析模、建模、解模、驗模的過程，將實際問題數學化，通過使用數學工具來解決實際問題[11]．

在建模實驗教學中應注重實驗的適當性、開放性和趣味性，把握好以下幾個教學環節：

（1）創設問題情境，把握問題的適當性．

高等數學實驗中的數學建模問題應盡量結合專業，結合生活實際，可以從教材中搜集素材，挖掘教材中數學問題的生活模型，也可以是專業問題，比如在學完導數應用中的最值問題時，可以引導學生討論最佳訂貨批量問題．教師創設問題情景，工廠為了生產必須儲存一些原料，如果把全年所需原料一次性購入，則不僅占用資金、占用庫存，還會增加保管成本．但是如果分散購入，則因每次購貨都會有固定成本（與購貨數量無關），而使費用增大．現在希望找到一個兩全其美的訂購原料的方案．針對這一問題要求學生建立模型并求解．在設計數學建模實驗內容時，應盡量結合學生已學的課程內容，所選問題難度適中，數值處理過程也應當較為簡單，降低數學建模的“門檻”，使數學建模任務接近大多數學生的數學水平．

（2）以小組交流學習為主，體驗數學的應用價值．

數學建模問題由于其條件和結果的開放性，需要花費較多的時間思考，因此實驗任務一般在課前就布置給學生進行準備，實驗分小組進行，一般3人一組，小組成員在課下共同搜集材料，進行建模．比如住房按揭貸款問題：某人想要購買一套價值100萬元的三室一廳商品房，他自籌了40萬元，要購房還需要貸款60萬元，他準備辦理公積金貸款，按照最新公積金貸款利率，貸款30年的年利率為4.50%，那么這個人需要具備什么償還能力才能貸款？這就需要學生自己去查詢銀行貸款的各項數據，通過計算月利率，月還款額，對模型進行求解，并將模型推廣，制定出個人住房公積金貸款萬元還本息金額表．由于大學生畢業后的頭等大事就是購房，因此通過研究這一問題可以使學生更加體會到數學的應用價值．

（3）歸納總結，深化教學目標．

指導學生歸納總結，撰寫建模論文．建模論文是學生對建模過程的濃縮和記錄，是用數學語言表述問題解決過程的基本形式，通過建模論文的撰寫，加深對數學知識的認識和理解，深化教學目標．數學建模實驗是一個從實際到數學，再從數學到實際的過程，在學生發現問題、分析問題、解決問題的整個過程中，是對學生進行的一種全面的科研實踐和訓練活動，在提高學生的綜合應用和分析能力、語言表達和科技論文寫作能力、洞察力、想象力、團結協作和創新精神等方面都起了一定的作用．

4 數學實驗的評價

數學實驗內容是開放的，學生可以做老師布置的數學實驗任務，也可以進行擴展和探究，因此數學實驗成績的評定應更具有開放性和靈活性．教師將學生成績分上機實驗成績、實驗報告成績和建模論文成績3方面進行評定．

學生成績=上機實驗成績×30%＋實驗報告平均成績× 30%＋建模論文平均成績×40%．

（1）上機實驗成績．

基礎實驗主要學習Mathematica軟件的應用，在學期結束時進行上機考試，要求學生在2課時的時間內將所學過的命令自擬題目進行運用并提交．

（2）實驗報告成績．

基礎實驗要求學生上交實驗報告，根據基礎實驗的目的，制定了實驗報告評分標準，要求學生每次上機實驗后寫出數學實驗報告．數學實驗報告評分標準如表2：

表2 數學實驗報告評分標準

（3）建模論文成績．

建模實驗要求按照建模論文格式提交建模論文，建模論文評分標準如表3：

表3 建模論文評分標準

撰寫建模論文雖然難度較大，但是可以通過小組合作完成，每個學生都能發揮自己的特長，如搜集信息、計算、分析、寫作等．這種評價其實也包含了對學生的分工合作能力、團結協作精神等情感因素的評價[12]．

5 數學實驗的教學效果

（1）提高了學生的數學學習興趣，加深了對數學知識的理解．

數學實驗課的開設為濰坊學院數學教學改革帶來了生機和活力，不僅使學生體會到了數學的應用價值，同時也提高了學生學習數學的興趣，加深了對數學知識的理解．很多學生談到了數學實驗給他們數學學習帶來的驚喜：“原來對數學不感興趣，一看數學計算就頭疼，沒想到數學實驗能用計算機學數學，原來費半天勁用那么多技巧才能算出來的極限、導數、積分等問題，現在用Mathematica一下就算出來了，真是太神奇了！并且用它解決了很多實際生活中的問題，是數學實驗使我們重新認識了數學！”

（2）數學建模活動廣泛開展．

數學實驗課程的開設使學生更多地了解到數學建模的知識，為此學校還開設了數學建模實訓課程選修課和組建了數學建模協會，得到了學生們的積極響應，為數學建模愛好者提供了一個展示才華的舞臺，激發了他們的創造力、創新力，加強了他們的實踐應用能力，培養了他們的團隊精神和拼搏精神，帶動了他們參加“全國大學生數學建模競賽”的熱情，為大學生科技創新活動開闊了新天地[13]．

6 總 結

在高等數學課程中開設數學實驗教學的研究為廣大數學教育工作者提供了新的視角，事實證明數學實驗教學是學生應用數學解決實際問題的最佳途徑，是數學教育的自身目標和社會目標的最完美結合；是培養創新型、應用型和復合型人才的最佳載體[14]．數學實驗開展以來為高等數學課程帶來了活力，提高了學生學習數學的興趣，加深了對數學知識的理解，深化了數學知識的應用，同時數學實驗課程的開設使學生們更多地了解到數學建模的知識．數學建模活動作為一項科技創新活動，受到了學生們的積極響應，為數學建模愛好者提供了一個展示才華的舞臺，激發了他們的創新力、加強了他們的實踐應用能力、培養了他們的團隊精神和拼搏精神，帶動了大學生參加“全國大學生數學建模競賽”的熱情，為大學生科技創新活動開闊了新天地．

雖然數學實驗在高等數學教育中所起的作用及價值已得到證實，但是數學實驗課如何體現“工學結合”，如何將數學知識與專業知識進一步融合還有待于研究．隨著教育教學改革的深入發展，相信這門創新性的課程一定會在培養和造就各類專門人才中發揮更大的作用．

[1] 郭迎春．實驗與教學相結合改革高等數學教育模式[J]．數學教育學報，2008，17（3）：76-77．

[2] 曾憲林，李明振．高校數學建模方法的教學策略研究[J]．數學教育學報，2012，21（6）：88-90．

[3] 劉麗穎，黃翔．美國數學教材中的“動手做”[J]．數學教育學報，2005，14（2）：53-55．

[4] 曹一鳴．數學實驗教學模式探究[J]．課程·教材·教法，2003，（1）：46-48．

[5] 周瑋．融數學實驗于高職數學教學的實踐與研究[J]．數學教育學報，2010，19（6）：79-81．

[6] 彭涓，王慶嶺．高等數學實用教程[M]．北京：北京師范大學出版社，2010．

[7] 周瑋．高等數學（工科類）[M]．北京：北京師范大學出版社，2011．

[8] 尚春虹．數學實驗教學的探索與實踐[J]．數學教育學報，2002，11（3）：66-68．

[9] 王高峽，唐瑞芬．再談美國的微積分教學改革[J]．數學教育學報，2000，9（4）：70-72．

[10] 韓旭里．數值計算與數學建模結合教學的實踐[J]．數學教育學報，2008，17（3）：74-75．

[11] 洪雙義．一種新型數學教育方式的探索——“數學建模教學”實驗小結[J]．數學教育學報，2003，12（2）：91-94．

[12] 趙建昕．提高數學建模能力的策略研究[J]．數學教育學報，2004，13（3）：50-52．

[13] 張雙德，楊燦榮．大學生數學建模競賽與高等數學教育改革[J]．數學教育學報，1999，8（3）：64-66．

[14] 王光明．高效數學教學行為的特征[J]．數學教育學報，2011，20（1）：35-38．

Exploration and Research of Developing Experiment Teaching in Higher Mathematics Course

GAO Jie1, ZHOU Wei2
(1. School of Mathematics and Information Sciences, Weifang University, Shandong Weifang 261061, China; 2. Basic Research Department, Jinan Engineering Vocational & Technical College, Shandong Jinan 250200, China)

In this paper, the connotation of developing mathematics experiment teaching in the higher mathematics course and the teaching content、teaching design、teaching implementation、evaluation method are studied. The mathematical experiment contents are designed combining with the teaching content of Higher Mathematics, the mathematics experiment is divided into basic experimental and modeling experimental, through specific examples illustrate key steps using Mathematics software for mathematical experiment, and the concrete implementation of the mathematics experiment is discussed in detail.

higher mathematics; mathematical experiment; mathematical modeling; mathematics software

G642.0

：A

：1004–9894（2015）03–0086–05

[責任編校：周學智]

2014–12–30

山東省自然科學基金項目（ZR2011AL008；ZR2012AM017）；山東省職成教“十二五”規劃課題——以提高質量為重點的高職數學教學改革創新研究（2011ZCJG056）；濰坊市科技發展計劃項目（201101133）

高潔（1971—），女，山東濰坊人，副教授，碩士，主要從事微分方程、數學學科教學研究．