運用關鍵性教學事件分析支撐中國式數學課例研究

楊玉東，王 兄

（1．上海市教育科學研究院，上海 200032；2．上海師范大學 數理學院，上海 200234）

運用關鍵性教學事件分析支撐中國式數學課例研究

楊玉東1，王 兄2

（1．上海市教育科學研究院，上海 200032；2．上海師范大學 數理學院，上海 200234）

教研制度是具有中國特色的教育體系中的一部分，數學教研組幾乎存在于每一所學校．通過一個數學教研組活動的案例，揭示數學教師如何在3輪授課的教研活動中憑借經驗有意識或無意識地運用基于“重點·難點·關鍵點”的關鍵性教學事件分析不斷地“磨課”的過程．基于該數學教研組的案例，試圖討論這種通過集體合作研討改進課堂教學的教研活動的特點，并期望教師們能夠繼承傳統教研組活動中的精髓并更加有意識地應用到數學課例分析當中．

課例研究；教研活動；關鍵性教學事件分析；重點；難點；關鍵點

世界各地的教師均被要求通過專業發展活動來提高他們的課堂教學水平．在西方，也提出了許多促進教師專業水平的活動形式，如工作坊培訓、同伴互助、教學案例研究等[1～3]．自從《教學的差距》一書中展示了日本、美國和德國的課堂教學案例以來，日本的課例研究已被廣泛地借鑒[4]，許多國際教育學者在推廣展類似日本的課例研究提升在職教師的課堂教學水平[5～6]．實際上在中國，一種非常類似于日本的課例研究活動——被稱為“磨課”的教研組活動，自20世紀50年代以來就在進行，但很少被西方學者所知曉．

盡管中國的數學教師的學歷水平遠不及西方或日本同行，一些研究已表明中國的數學教師對初等數學有深刻理解，具有足夠的數學學科教學知識并能把這類知識運用到日常教學中[7～9]．既然中國數學教師職前受到的專業訓練相對不足，卻在實踐中具有優勢，那么可能的原因就是他們得益于在校本環境中所開展的各類教研活動．下文將描述一個上海的數學教研組如何對于同一授課內容開展3次連環改進的案例，并特別關注他們如何潛意識地運用了基于“重點·難點·關鍵點”的關鍵事件分析法，以此引發研究者對教研活動中精髓方法的重視．

1 中國式課例研究的背景

與西方多數國家相同的是，中國的基礎教育學校被分為小學、初中和高中3個學段．與西方國家不同的是，中國的學生被組成一個個相對固定的“班”，同“班”的學生一整天共處一室開展學習活動，不同學科的老師游走于不同的“班”．因此同一學科的教師就自然地組成了學科教研組，如數學教研組，就廣泛存在于每一所學校．由于數學是核心課程，數學教研組的人數較多時，按照年級再被分為更小的備課組．此外還有區縣級、市級和省級的教研室，教研室的學科教研員負責指導相應學科的課堂教學和教學研究活動．這樣以來，形成了省級、市級、區縣級教研室、學校教研組、學校備課組的多級教研網絡[10]．

在多級教研網絡中，學校層面的學科教研組始終處于核心地位．中國內地自1952年開始建立學校層面的各學科教研組[12]，并明確規定了學校里學科教研組的“研究”定位：“教學研究組是教學研究組織，不是行政組織的一級．它的任務是組織教師進行教學研究工作，以提高教育質量，而不是處理行政事務”[13～14]．隨著20世紀90年代基礎教育課程改革的啟動，教研組又具有了新時期下把課程改革的理念落實于日常教學的任務[15]，學校教研組開始對實施課程改革負有責任[16]．在2003到2007年之間，這種以校為本的教研活動被教育部通過“創建以校為本的教研制度建設”工作項目在全國范圍內得到加強，近十年間全國范圍內已經興起以“校本教研”為主題詞的各種層次的教研活動[17]．這種制度保障下的最初作為改進課堂教學的集體教學研究活動，通過六十多年的發展已逐步形成中國特色的課例研究．

2 中國式課例研究所蘊含的思路和方法

在中國的教研文化中，上公開課并被他人觀察往往被視為榮譽．教研組長一般傾向于把公開課機會給組內較為年輕的老師并以此加速他們的成長，伴隨著開課活動的是課堂觀察活動和課后立即開展的研討．一般此類活動在教研組長主導下，由開課教師首先自述教學設計和感受，然后由組內其他老師自由發表意見．近期由于專業人員的介入，開始引進一些技巧性方法來提高研討活動的有效性，如前后測技術、課堂觀察技術等都是研究人員所倡導的．

在中國傳統的教研活動中，“磨課”（同一授課內容在平行班反復幾次）形式的研討活動是比較常見的一種[18]．特別是近年來隨著專業人員走進中小學課堂，這種基于教研活動的課例研究日趨精致化，開始注重采用一定的技術方法而不僅僅憑借經驗．圖1展示了一種教研活動中典型的課例研究流程，至少有3個環節：備課活動；被同行觀察的開課活動；課后集體討論式的議課活動．教研活動中通常的做法是：在參看各種材料的前提下，由某個年級的備課組首先集體討論并備課，教研組安排每次約兩課時的時間請所有的數學教師觀課并討論，然后根據討論中的建議再由備課組集體備課形成新的教學設計．無論是教研組和備課組，共同目的是通過集體的智慧來改進課堂教學并解決教學中的實際問題，研討中所有的材料都是開放的，包括教學設計、教學錄像以及觀察課堂中收集到的數據．

圖1 教研活動中的3個典型環節

在六十多年的傳統教研活動中，中國教師在潛移默化地應用著一些共通的教學法框架來討論教學設計、觀察課堂并在課后反思討論，如平常被老師們所俗稱的“重點·難點”，一般會直接出現在教師的教案里，“關鍵點”有時會以“關鍵環節”出現在教案中、但一般肯定會在口頭討論中出現，它們實際上提供了教師觀察課堂和開展課后研討的一種思維方式．

所謂“重點”是針對這節課的核心目標而言的，關乎學與教的目標，亦即什么是學生必須掌握的數學內容要點、教師要把教學重心放在哪里，反映的是數學學科本質，類似一些美國學者所說的數學的大觀念（big idea）．“難點”主要是針對學生的學習過程而言，亦即學生在學習重點時可能存在的認知方面的困難．作為教師，如果能夠清晰陳述和預期這種難點所在，才有可能在教學設計中不是簡單化用單一方式傳遞知識，而是預見性地設計教學來幫助學生豐富學習經歷．“關鍵點”是一節課在教學法角度的核心，亦即教師的教學法決策——如何引領學生經歷數學化過程、最終幫助學生克服困難和障礙達到教學目標，是上述二者的綜合考慮．此外，隨著課程改革中對學生實際學習結果的重視，近年來觀課教師會根據對學生學習過程和結果的觀察記錄，來判斷學生對于數學學習目標的掌握程度，即“學習效果”，并由此重新審視原來對于“重點·難點·關鍵點”的把握是否合理，實際上是做某種程度的教學評價．這種通過關注學生的實際掌握情況并以此為依據反饋和調整課堂教學，就形成了一個完整的如圖2所示的回路，近期被研究者概括為教學研討中的“四元分析法”[19]．

圖2 “重點·難點·關鍵點”與“學習效果”形成回路

當前西方的研究者常常引用舒爾曼的教學內容知識框架[2～3]，來強調特定學科的教師必需有效地掌握教授特定主題內容的知識[20]．中國教師有意識或潛意識所沿用的這種討論框架，正好反映了教師的教學內容知識分類中一些維度．教師要清晰地辨別出特定教學內容的這幾個“點”，不但需要教師自身對相應數學內容深刻理解，而且需要克服學生可能的錯誤概念所涉及的方法、手段以及表征方面的教學經驗．在教研組里，經驗豐富的教師往往可以清晰地描述出一節課的“重點·難點·關鍵點”，而那些經驗較為缺乏的教師經常面臨困難．教師們在教研活動中逐步學會從這樣3個角度分析教學內容和過程，從而用這種結構化的方式逐步提升了自己在備課、開課、教學反思中的專業能力．

在教研活動中，這“三點”和“學習效果”形成的回路，構成了實際教學研討的4個要素，也可以看成是引發教學討論的一系列問題：教學目標是什么（重點的分析）？學生到達學習目標需要何種條件（難點的分析）？教學過程怎樣設計能夠幫助學生克服難點并實現教學目標（關鍵點分析）？教學最終帶來了怎樣的學習結果（學習效果的分析）？ 這樣4個要素，也可以理解為目標分析、條件分析、過程分析、結果分析，因此被概括為“四元分析法”[19]．中國教師在教研活動中的集體協作是教學實踐中自然而然的一部分，它不是由來自外部的某個研究項目驅動，也不是因為外部教育理念的影響或是由感興趣的專業人員發起．只要成為學校的一名數學教師，就自然而然地成為數學教研組的成員．教研組活動中的集體協作在中國教師的職業生涯中發揮著持續的基于校園生活的專業支持作用，而且這種集體協作的文化也常常通過制度保障下的區縣、市、省級的教研室得到加強．

3 研究方法

選擇案例研究法來展示教師怎樣參與教研活動并改進課堂教學．案例研究的優勢在于可以深入分析教師之間的協作以及有利于理性建構．研究中選擇了上海近郊一所學校初中部的一個數學教研組及其教研活動作為個案．選擇這個教研組有幾個原因：第一，上海處于中國教育改革的前沿，教研活動具有一定的引領性；第二，上海的近郊區域的這所學校是中國東部地區典型的城鎮學校的代表；第三，上海參加了2009和2012的PISA測試，已經廣受國際同行的密切關注．

案例中的數學教研組所在的學校，位于上海市近郊，該區的經濟和教育水平在上海17個區縣屬中等水平，因此該區域和學校均具有一定的典型性．這所學校是社區的配套學校（既非片區的中心校、也非區域的示范校），規模不大，共有9位初中數學教師構成學校的數學教研組．其中3位老師教齡不足5年，4位教師有近10年教齡，2位教師有15年以上教齡．在本研究中，按照教齡從短到長的順序分別用T1到T9代表數學教研組里9位數學教師．案例中的教研活動，還有一位區教研室的教研員參加（用R1表示）、一位來自市級教育機構的研究者（用R2表示）．

采集了3種主要類型的數據，來反映這個數學教研組以備課、開課、議課為主要環節的教研活動．第一類數據是T1和T6基于集體反饋基礎上的教學設計和課堂實錄；第二類數據是每一輪授課中觀察者所收集到的信息，包括3個平行班的前測和后測；第三類數據是田野式筆記，用以捕捉議課活動中9位數學教師和2位研究者針對“三點”所展開的討論、爭議等內容．在中國內地（包括上海），教研活動的核心是“磨課”——改進課堂教學，因此我們把T1和T6先后執教的3輪授課作為分析的切入口．

研究中的教研組的磨課活動采用了“三次授課、兩次反思”的行動教育模式[17]，使用一些課堂觀察技術收集數據．授課內容是初中數學“有理數的乘方”，同一內容在3個平行班上了3輪．第一輪和第二輪授課由最年輕的教師T1在他平常任教的兩個班執教，第三輪授課由另一位同年級數學教師T6在她平常任教的一個班執教．數學教研組的教師在這次磨課的教研活動中分別承擔了不同的角色（表1），一些教師有意識地運用了研究者R2所提供的一些課堂觀察技巧．

表1 教師在教研活動中的協作分工

4 研究結果

4.1 第一輪磨課

4.1.1 授課過程

T1的第一次授課持續了46分鐘．他使用了一個故事情境來引入乘方的概念．

在古代，有一個聰明的大臣發明了國際象棋并獻給國王．國王非常喜歡，于是決定獎勵大臣，并讓大臣自己提出想要得到的獎賞．大臣說：“陛下，我只想得到一些大米作為您給我的賞賜．假如你在棋盤的第一個方格內放1粒米，第二個方格內放2粒米，第三個方格放4粒米，第四個方格放8粒米，然后依次類推16粒米，32粒米……直到第六十四個方格”．國王哈哈大笑，“你真蠢！只要那么點大米？”大臣不動聲色，“陛下，我只擔心您的國庫里沒有那么多大米賞賜給我．”真的沒有那么多大米作為大臣的獎勵嗎？

于是老師和學生一起寫下一些算式來計算大米的數量：

第1個方格: 1

第2個方格: 2

第3個方格: 4=2×2

第4個方格: 8=2×2×2

第5個方格: 16=2×2×2×2

……

接下來教師給出了乘方的定義，以及冪、底、指數等概念．整個概念引入過程（包括故事呈現）持續了大約3分鐘時間．然后，教師要求學生們閱讀課本上關于乘方定義的內容，持續了約5分鐘．接下來，教師讓學生做了課本上的3道用乘方形式表達同因數相乘的練習，還做了5道課本上的需要辨別底數、指數的題目．在這些做基礎練習題目的15分鐘那個時間里，T1很關注學生對乘方表達形式的讀法．在接下來的近20分鐘時間里，T1要求學生做了下面的3組計算題目并訂正學生的解答：

最后，教師通過問學生“本節課你學到了什么”來小結，持續了大約3分鐘．

4.1.2 教研組討論中的主要議題

a. 閱讀課本可以取代教師的講解嗎？

在課后教研組討論中，教研組長首先請T1陳述他的教學設計和實際施行情況．T1說：“乘方是初中階段的一種新運算．我的主要目的是幫助學生掌握冪和其他相關概念，如指數、底數等．……當然，另一個重點是讓學生能夠做乘方運算．包括我也設計了一組以10為底的計算冪的練習，讓學生試著發現規律……”

接下來教研組長請大家自由發言．T2根據她做的課堂教學結構記錄指出，建立新的概念乘方總體上只用了8分鐘．她說：“我只是感覺僅用8分鐘時間建立新概念與做乘方計算所用的時間比太少了……我擔心學生是否感覺到了學習乘方的必要性——作為一種相同因數連乘的簡便運算．即使在建立新概念的8分鐘里，教師只用了3分鐘指導而其余5分鐘靠學生自己閱讀學習”．

T8說：“作為乘方的第一節課，這節課的重心應該是放在幫助學生理解乘方是乘法的一種簡便運算，就像乘法是加法的簡便運算一樣……只是讓學生閱讀課本去知道一些名詞，底數、指數，作用不大．這些概念應該在簡化乘法運算形成乘方概念的過程中，它們的意義自然而然就出來了……”

b. 做練習可以取代概念性理解嗎？

T7談到了她在課間休息時訪談到的兩位學生的情況．“當我問是否可以解釋一下an的意思時，兩個學生均指出意思是a×a×…×a，總共有n個a相乘．但其中一個學生說，她不太懂這個故事的結尾……，也就是說她對于1+2+22+…+263計算的結果，到底是多少沒有概念．所以說老師只是給出一個數字結果18 446 744 073 709 551 615對學生來說沒有意義！學生沒有機會體驗到乘方運算可以表示一個非常巨大的數字．”T7認為，讓學生感覺到當底數大于1時、乘方的增長相對乘法而言是非常巨大的這一點非常重要．

R1也給出了他對于這節課的建議．他認為這節課應該聚焦于獲得乘方的概念性理解．他說，“一方面我們有時候會想當然地以為，假如學生做很多的練習，那么他們就自然而然地理解概念了……但這只是一種想法，作為教師應當為學生容易里理解、快速地理解概念搭建腳手架，而不僅僅是立即進行大量練習……另一方面，我們應當減少一些練習的負擔，也是課程改革中倡導的一個方向……”

這次課后討論主要討論到了上述兩個方面的問題，最后數學教研組長做了總結陳述：首先，這節課更應該突出概念形成的過程，不應把它僅僅看成一種運算；第二，在概念應用的過程中，習題的選擇要更加精心，應當針對學生易錯的地方．

4.2 第二輪磨課4.2.1 授課過程

T1的第二次授課持續了45分鐘．首先他仍然采用了第一次授課的關于國王和大臣之間的棋盤故事作為引入情境幫助學生形成乘方這一新概念．

T：棋盤上的每個方格中有多少大米呢？我們把它寫下來．

S：（齊答）1, 2, 4, 8, 16, 32…（教師把它們寫在黑板上）

當學生直接喊出乘法計算結果有困難時，教師建議不妨采用2的連乘的表達形式記錄結果．當有太多的2連乘也寫下來很繁瑣時，老師繼續建議到：

T：哦，假如我們有一個辦法寫下這么多的2就好了！

S：（一些學生知道并大喊）乘方!

T：是的，這正是今天我們將要學習的一種方法．

接下來，通過把2×2記作22，2×2×2=23，…，2×2 ×…×2=263，T1和學生一起把每個方格的大米的數量就表示出來了．然后教師給出了乘方的概念，指數和底數以及它們的含義．基于對具體數字表達出的乘方概念，T1又一般化為代數式表達的乘方an，然后問到：

T：誰知道263結果是多少？

S：（沒人回答但有人喊道）肯定非常大．

T：有多大呢?（學生無語）

T：我已經算出了從22到263所有的計算結果（T1用表格呈現出所有計算結果）…

通過觀察22，23，…，263的冪，學生感到非常驚訝，有些結果大得他們根本無法讀出來．僅僅是263的結果9 223 372 036 854 775 800就大約相當于23億5千5百萬噸大米，更不用說再把1+22+23+…+263的結果計算出來的大米了！然后教師通過詢問學生學過的正方形面積和正方體體積的計算公式，教授了關于乘方的正確讀法．整個概念的學習過程大約持續了11分鐘．

接下來的10分鐘時間里，教師使用了第一節課中設計的第二組、第三組題目作為例題練習．最后，老師用了大約1分鐘小結這節課學習的新概念．

4.2.2 教研組中討論的主要議題

a. 創建的故事情境的價值是什么?

首先，T1表達了他在這節課加強讓學生理解乘方概念的想法：“這節課我削減了一些練習題目，更多地關注學生對概念的理解……我花了更多的時間訂正學生基礎練習中的錯誤，題目看上去簡單卻對應用新概念非常重要……”接下來其他老師自由發言．T2補充到，這節課例建立概念用了11分鐘，基礎練習用了23分鐘，教學結構看上去似乎更合理．

T7說，“當我訪談學生，這節課中你印象最深的是什么時，兩個學生都說是關于國王和大臣的那個故事．他們說非常驚訝2的63次方是那么大一個數字，這點印象很深．所以，我在想一個好的情境應該如此……”T5接著說，“這節課中我嘗試了活動類型轉換記錄的方法，發現與第一節課相比，這節課中師生互動的活動遠遠比第一節課多．我在想，一個好的情境應當是能夠盡可能地激發學生和老師之間互動的情境……”

T9認為，一個好的情境創設應當是瞄準教學目標但不僅僅是引發興趣．R2圍繞情境這個話題談到，“一節課中創設的情境，不同的老師使用大概有3種層次．第一層，一些教師僅僅把它看成是激發學生學習熱情或者興趣的工具，但情境可能并沒有與學習的內容有密切的關系．但我們不能確信這種激發出的熱情或興趣是否能夠持續一整節課，因為它往往激發的是外部動機……第二層次，情境與學習內容有密切關系，是學生學習的動因．這種情境不僅僅激發學生的熱情和興趣，也是從情境開始作為學習新內容的出發點……但最有價值的情境，即第三層次，我們怎樣運用這個情境作為學習整節課的一條線索？當然，這個情境同時也可以具有第一和第二層次的功能……”

b. 學生的思維怎樣被大問題驅動?

當談到情境的價值時，討論的內容似乎離開了這節課具體的內容．T3結合她做的提問回答記錄說：“在我對T1的提問記錄中，發現問題的類型很多樣……總體上這節課有接近70個問題．假如這節課能夠按照剛才說的用國王和大臣的故事情境貫穿下去，我想所有的教師提問可能可以組織成幾個最重要的大問題．”

T6說，“……下次是我上課，我希望下節課可以用一些大問題來組織教學……毫無疑問，從后測的結果來看，我認為第三次授課中將需要一個主干問題，強調底數……”R2說，“是的，即使在一節課的45分鐘時間里教師問了近70個問題，也可能是正常的．但我們需要保持清醒，哪些問題是這節課里最最重要的．學生的思維活動應該被這一系列最重要的大問題來驅動……”

第二次課后討論得到了這樣一些共識：作為情境的故事應當貫穿于這節課，而不僅僅是作為激發動機的一個引子；整節課應當設計為用幾個主干的大問題來驅動學生的學習過程．

4.3 第三輪磨課

4.3.1 授課過程

第三次授課由T6施行，持續了大約47分鐘．教學過程中使用了一份設計的工作單，上面有7個主干問題作為學生整節課學習的線索．

問題1：國王的國庫里足夠的大米嗎？（用時約17分鐘）

T6使用了與第二次授課相同的故事情境激發學生興趣，并在計算大米的過程中引入了新概念．當學生們對于第64格大米的數量的計算結果感到震驚時，他對學生說：

國王對于乘方能夠表示非常大的數目感到驚訝時，他也感到很尷尬，他居然沒有那么多的大米來獎勵大臣．但國王非常好學也很好奇這種新的乘方運算，他想弄清楚關于乘方的一些問題．然后他引出了下列問題．

問題2：底數究竟是什么？（約12分鐘）

問題3：an有多少個零（a=10 or 0.1）？（約6分鐘）問題4：(-1)n和0哪一個大？（用時約3分鐘）

問題5：乘方有逆運算嗎，如( )2=25？（約1分鐘）

當上面的問題解決后，T6說：“國王感覺到弄清楚上面的問題后，他已經對乘方有的新的認識，于是他召見了大臣．”由此引出這節課的下一個主干問題．

問題6：國王能夠逆轉局勢嗎？（約6分鐘）

T6接著陳述了下述故事：

國王對大臣說：“我很抱歉不可能傾國庫所有大米回報你．但正如你看到的，我這里倒是有一個一米長的金手杖，從我的先輩哪里繼承而來．我決定在7天后把它賞賜給你，但從今天起我每天拿走手杖的一半．”大臣很高興，他將會得到手杖的一部分，盡管他直覺肯定剩得不多了．那么七天后到底大臣能夠得到金手杖的多少呢？

學生通過計算發現，只剩1/128了，算下來還不到8毫米．他們再次驚訝，原來當底數是正數但比1小的時候，乘方的值下降起來也很快！

問題7：你注意到乘方運算有何特點？（約2分鐘）

就這樣，這節課從問題1到7作為整個教學的主線貫穿下來．

4.3.2 教研組中討論的主要議題

a. 對學習目標來說有多少練習算足夠？

在課后討論中，T6首先談到了他的想法和課堂里的做法．“看上去這節課在教學流程上非常清晰……這是因為這節課是用工作單上設計的主干問題驅動的”，他說，“但我只是覺得與前面的第一次和第二次授課相比，這節課學生做的練習不夠．這些練習對學生掌握乘方來說足夠嗎？我這個班上的學生與其他兩個班的學生相比成績會達到相同程度嗎？”他的想法顯示出他的擔心．

T2也表達了同樣的擔憂，因為用于運算練習的時間大幅下降了．她說：“……在這節課里，問題1可以被看作概念建立階段，問題2是應用概念的基礎練習．這兩大主干問題花費了29分鐘，接近課的三分之二時間．看上去T6加強了乘方中相關概念的學習，這的確是學習目標，但作為一線教師，我也對學生將來在測驗中的分數有相同的擔心……”

T8不這么認為．在他迅速瀏覽了學生的后測結果后，他說：“盡管后測的數據還沒有來得及統計出來，但我粗略地看了學生在后測中的情況，T6所授課班級的學生與第二節課班上的學生相比至少有大致相同的學習效果……不管怎樣，我認為作為學生學習乘方的第一節課，應該把重點放在強調概念性理解上．至于乘方的運算結果冪，并非第一次學習乘方的主要任務，后面我們仍然有課時可以跟進……”

b. 應當激發何種層面的思維水平？

課后討論中的另一個焦點是關于問題3，“乘方有逆運算嗎，如( )2=25？”．一些老師認為應該在學完整個乘方運算一章內容后再提及．一些老師認為有必要在第一次學乘方時就提出類似的問題做埋伏．

T6說，“當我和T1老師設計這節課教案時，我們覺得乘方第一節課還是有必要提出這樣一個后續課程要學的伏筆，給予學生對于乘方及其逆運算的整體觀念．”T9也支持類似的想法，他覺得這個問題在這節課里只占用了1分鐘時間，是值得的．

R1提出了他對于這個問題的想法．他說：“……在小學階段，孩子們基于日常生活經驗學習了加法，很快他們學習了它的逆運算減法．當一個加數被反復相加的時候，重復相同加數的加法太累了，于是乘法作為一種加數相同加法的簡便運算被介紹進來．后來，又學習了乘法的逆運算，除法……乘方作為相同因數乘法的簡便運算，被引入了學生的學習過程．類似地，它的逆運算也一定是存在的……所以問題3作為后續內容的鋪墊，本質上給予了學生從數學角度認識各種運算怎樣一次次演化而來的線索……”R2也做了類似補充：“……盡管第一次學習乘方概念，我們沒有必要給出學生乘方逆運算的術語，但作為教師應該幫助學生建立概念之間的聯系……我個人甚至認為，T6老師可以在問題3上還可以多花一點點時間，特別是學生在回答之后，教師應當激發學生從以前學過的各種運算之間的關系來思考這個方向……”

5 結果討論

在教研活動中對3次磨課的描述已經讓我們更加清晰地看出了每一次授課的變化，也可以通過比較3次磨課再次回顧和討論課堂教學到底改進在哪里．

5.1 更多地聚焦學生的概念性理解

回顧《有理數的乘方》3次授課，可以看到在教學結構中有一些共同的環節：（1）用棋盤故事作為情境建立概念；（2）應用新概念的基礎練習；（3）計算乘方的冪的練習；（4）由教師做出課堂小結．假如把3次授課用這樣4個環節的時間分配表達出來，可以用圖3呈現．

圖3 3次授課的共同環節及時間分配

從圖3中可以看出，每后一次授課，教師花了更多時間用以幫助學生建構概念．第一次授課建立概念雖用8分鐘時間，實際上只有3分鐘用于創設故事情境并引入概念而后面5分鐘讓學生自己閱讀課本．第二次授課中建構概念的時間已經擴展到11分鐘，第三次授課中則多達17分鐘（幾乎占授課總時長的三分之一）用以幫助學生理解乘方的概念．

如果再具體考察棋盤故事情境是如何建立概念的過程，就會發現3節課的不同．在第一次授課里，故事情境的作用僅僅是激發學生興趣并獲得連乘這種形式，然后很快地在3分鐘時間里一般化為乘方的an表達形式．第二次授課中，故事情境擴展為讓學生經歷概念化的過程，被用作一個問題情境：教師和學生共同計算棋盤上每一格中的大米，當他們在計算乘法結果遭遇困難時，教師建議使用相同因數連乘的表達形式；當連乘的表達形式再次遇到表達形式的困難時，即有太多的2連續相乘，然后教師引進了新的運算——乘方概念．在第二次授課中，故事情境更像是一種問題解決過程，在解決情境中提出的問題的過程中新的概念自然涌現．在第三次授課中，故事情境不僅僅表現為問題解決中導入新概念，更是被用作整節課里貫穿到其他系列問題的引子．通過擴展情境，如國王想要學習關于乘方的更多知識，學生還體會到了乘方的結果冪可以增長得很快、也可能下降地很快．這種使用方式在第三次授課中更有利于學生深刻地理解乘方．

5.2 練習雖然減少但更加精致

在中國內地，學生的計算能力總是被看成是學生學習數學的成功表現．T1在起初第一次授課的設計中，也定位于通過分層的計算練習讓學生逐步加深對乘方的理解．第一次課后的教研組討論，教師們大多認同作為乘方的第一課時不應過多強調乘方計算，而應當把概念性理解放在優先地位：假如學生深刻理解了乘方的意義，計算在學生掌握乘法運算的前提下應該不是問題，所以計算乘方運算的結果冪，不應該成為引入課的主要方向．

計算冪的任務數量在每后一次授課中不斷下降：第一次授課中有21道題目，第二次授課中有13道題目，第三次授課總共有8道題目．而且，即使是那些需要計算冪的題目，在設計時也精心地考慮了更加聚焦于新學概念（如底數）的辨別．通過精心設計的練習題目，學生可以掌握運用乘方的關鍵特征，特別是在底數為負數、分數、或負分數的情況下．用于基本計算的練習時間也從第一次授課到第三次授課在減少．第一次授課中，總共有35分鐘時間用于概念性的基礎練習和計算冪的練習，第二節課有33分鐘，第三節課只有28分鐘．時間的減少量看上去很緩慢，沒有很大的差異，但考慮到練習題目的數量也在減少，那么就意味著學生在每道精心設計的題目上可以停留更多的時間．

教研組里一些老師擔心像第三次授課中那樣少的練習數量，是否能夠足以保證學生的學習效果不低于第二次授課，因為第三次課中題目數量減少了太多．對此，可以通過比較兩個班前測和后測的數據來看學生的學習結果．第二次授課和第三次授課的班級在該年級屬于平行班，意味著這兩個班在先前的期末考試中成績表現相近．

表2 第二次和第三次授課兩個班的前后測結果

說明：第二次授課的班有45人，第三次授課的班有47人

從前測的結果來看，第三次授課的班在前測的3道題目的表現上明顯要弱于第二次授課的班，這說明第二次授課班的學生相對第三次授課班的學生有較好的基礎．但是從后測3道題目的結果來看，除了后測Q1題目表現上第三次授課班略遜于第二次授課班的學生，在涉及概念性理解的Q2和Q3題目上，第三次授課班的學生學習效果要明顯好于第二次授課班的學生．看來，正如T6所說，強調概念性理解而削減不必要的練習，并不會降低授課的效果．第三次授課班的學生，考慮到其起點基礎略遜于第二次授課班的學生，實際上表現出對于乘方意義和相關概念的更深刻的理解．

5.3 教學在大問題的驅動下更加結構化

根據T3的觀察記錄，三次授課中教師都問了很多數量的問題．T3把每節課里教師問的部分問題分成兩類：“小問題”——那些延伸出的或者擴展理解的細節性追問；“大問題”——那些直接導向新內容探索的主干問題．表3是根據T3老師的記錄整理出來的問題數量．

表3 教師在3次授課中的問題類型和數量

自從中國的課程改革施行以來，那種以教師講授為中心的傳統的教學形式一直廣受批評，更多的中國教師現在課堂里采用師生間“問—答”互動的形式．T5的教學活動類型觀察記錄也驗證了這種改變．在20世紀末，甚至在上海的一項課堂觀察的案例研究中，有研究者發現邊問邊答的形式正取代教師講解，一位老師在一節45分鐘的課里問了大大小小105個問題[21]．研究者因此指出課堂教學由“滿堂灌”變為“滿堂問”，過多的瑣碎問題往往把本來具有挑戰性的問題變成了師生間一唱一和的問答游戲．而且表層的瑣碎問題，往往對學生來說局限了他們的思維空間，反而無助于他們思維能力的發展．近期，研究者們開始倡導使用那些與數學學習內容本質相關聯的核心問題、大觀念來驅動教學[22～23]．

對于每后一次授課中問題數量的減少（無論是大問題還是小問題），研究者把它看作是教研組在集體討論中不斷強調用大觀念來組織教學的結果．特別是在第三次授課中，教師設計的工作單上的7個大問題幫助學生在新舊知識之間建立了聯系．其中的問題5（乘方有逆運算嗎，如( )2=25？）更是幫助學生從數學學科角度整體聯系起了運算及其逆運算的演化過程．正如T7所訪談的學生談到的，“給我印象最深的是這節課的故事，我感覺到數學與生活不是那么遙遠”，“乘方來自以前學過的知識，它是為了解決新的問題，我非常喜歡這節課”．T9是教研組里經驗最為豐富的老師，直接指出這節課幫助學生理解了乘方是相同因數連乘的簡便運算，正如乘法是相同加數連續相加的簡便運算一樣．這種對乘方的深刻理解，從第一輪磨課后的教研活動中，就為整個教研組確定了這節課的教學目標和重點．

6 結論和展望

盡管大多數中國數學教師學歷水平不如西方或日本同行，但中國的數學教師仍然具有較為深刻的對初等數學的理解，有較豐富的數學學科教學知識，并且在教學中連貫地運用這些知識[7～9]．中國數學教師所具有的實踐優勢，很可能的一個原因就是他們大量地卷入到這種校本教學研究網絡中的各種教研活動當中，并且在潛移默化地應用著基于“重點·難點·關鍵點”的關鍵性教學事件分析的思維方式．在中國式課例研究中，還有一種“以小見大”生成關鍵性教學事件的思維方式[10，24]，這里不再贅述．

“相觀而善之，謂摩”[25]．從傳統文化的角度看，中國教師能夠坦然開課并接受來自同行的觀察討論．盡管中國的教師在教研組中的相互協作已經有六十多年的歷史，有制度保障下的時間和空間，但這種教研活動仍然也有一些問題存在．如，教師之間的合作和討論往往更多地依賴經驗，教研活動中的協作質量常常取決于教研組長的領導水平，學科內容取向的教研組內的協作同時也隔斷了教師與其他學科和學段之間的聯系，等等．

考慮到中國內地獨特的教育背景，盡管上海的這個教研活動案例反映的中國式課例研究具有典型性，但研究者還是要指出這篇文章中所描述的備課、開課、議課等教研活動僅僅適用于具體的上海課堂，并不能武斷地推理到整個中國內地都是這樣的面貌．實際上，上海的數學教研活動案例反映了自1990年代數學課程改革以來的一些新特征，但大多數中國內地的數學教研組并非完全一樣．

總之，文中案例研究提供了初步的證據來驗證研究者的假設，即教師在教研活動中獲得了持續改進他們課堂教學實踐的能力．當然，研究者也認識到案例研究的局限性．無論怎樣，這項研究提供給了數學教育工作者一種對中國式課例研究的理解．盡管西方同行也強調同行互助是比簡單地參加工作坊更有效的學習方式[26～27]，但這種方式缺乏來自研究者的有力的理論和專業支持[4]，特別是在中國的課程改革背景下更需要這種支持．作為研究者，這里只是想把這種存在于教研制度中的默會知識顯性化出來，并讓更多教師有意識地運用到課例研究中并提高教學分析的能力．一項好的研究不一定要來自于假設檢驗式的演繹，希望更多的研究者可以從優秀的實踐中做歸納式研究、而不僅僅是批評實踐，也許這正是伯納德·霍奇森所說的“中國面臨的挑戰與機遇”[28]．［參 考 文 獻］

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Employing Crucial Incidents Analysis to Support Chinese Mathematical Lesson Study

YANG Yu-dong1, WANG Xiong2
(1. Shanghai Academy of Educational Sciences, Shanghai 200032, China; 2. Shanghai Normal University, Shanghai 200234, China)

Teaching Research Organization is a part of China-characteristic educational system and mathematics Teaching Research Group (TRP) almost exists in every school in China. By a case study of a mathematics TRG activities, the improving process of three lessons on a same topic was presented, which is based on crucial incidents analysis method, so called Key Point, Difficult Point and Critical Point, consciously or unconsciously used by frontline teachers. In view of the case of TRG, features of this kind of collective discussion to improve lessons were summarized and the author expected more and more Chinese teachers could inherit the pith in traditional TRG activities and intentionally employ it in mathematical lesson studies.

lesson study; teaching research group activities; crucial incidents analysis; key point; difficult point; critical point

G420

：A

：1004–9894（2015）03–0040–08

[責任編校：周學智]

2015–02–19

教育部重點課題——數學問題情境創設的有效性研究（GIA117010）

楊玉東（1975—），男，甘肅武威人，博士，副研究員，從事數學教師教育方向研究．