基于2D電阻抗成像的位置誤差和相對數量指數的后處理方法

何為，賀中華

重慶大學 電氣工程學院，重慶 400044

基于2D電阻抗成像的位置誤差和相對數量指數的后處理方法

何為，賀中華

重慶大學 電氣工程學院，重慶 400044

本文提出了一種基于2D電阻抗成像的位置誤差和相對數量指數的后處理方法，用于多種電導率分布的確定、組織成分的識別以及位置信息的確定。此外，還介紹了一種基于現有兩種重建算法的混合正則化算法，并將三種重建算法重建的結果進行了比較。結果證明，這種后處理方法可以提高2D電阻抗成像的位置精度和空間分辨率，使得電阻抗成像適用于臨床檢查和過程監測。

電阻抗成像；一步牛頓法；正則化算法；數量指數；位置誤差

0 前言

電阻抗成像技術（Eletrical Impedamce Tomography，EIT）通過在體表放置電極注入激勵電流并檢測電壓以獲得電導率的分布圖像[1]。很多研究表明EIT在醫學的應用前景廣闊[2-4]。然而，EIT成像的固有缺點包括空間分辨率低、檢測精度低和可重復性差，妨礙了EIT的臨床應用。此外，EIT測量時的微弱干擾可導致完全不同的電導率分布圖像[5]。這種病態的逆問題通常采用正則化算法來求解，以獲得盡可能接近真實值的電導率分布。

本文提出了一種基于二維EIT的位置誤差和相對數量指數的后處理方法，以提高EIT的空間分辨率和位置精度。另外，為求解病態的逆問題，在現有正規化算法的基礎上，提出了一種混合正則化算法。由于骨組織的電學特性相對復雜，故選擇了一種三種電導率分布的簡化的小腿模型來進行分析，以驗證所提出的后處理方法和混合正則化算法。由于該模型有助于進一步了解骨組織的電性能和邊界電壓的關系，使得采用EIT診斷骨密度成為可能[6]。

1 方法

1.1 建立模型

本文采用一種簡化的二維人體小腿模型。人體小腿實際上有五種組織，包括皮膚、脂肪、肌肉、骨密質和骨髓。在仿真模型中，只考慮到了脛骨和三種組織，即肌肉、骨密質和骨髓。該簡化模型及其三種組織電導率分布，見圖1。各組織在20 kHz下的電導率值為皮膚：0.0002 S/m，脂肪：0.0240 S/m，肌肉：0.3448 S/m，骨密度：0.0205 S/m，骨髓：0.0028 S/m[6]。肌肉和骨髓的電導率設定為常數。Dinc等[7]表明骨密度從0.3332 g/cm3降至0.1666 g/cm3對應骨礦物質流失，是典型的骨質疏松，因此假定骨密質電導率從0.0205 S/m降至0.01025 S/m，以此代表骨質疏松。但是這種骨密質的電導率變化與典型骨質疏松的骨密度變化之間對應關系還不確定。

圖1 含三種電導率分布的簡化的小腿模型。（a）用COMSOL仿真的初始電導率分布；（b）用Matlab仿真的電導率分布，其中圓環部分（代表骨密質部分）電導率發生改變。

采用全電極激勵方式，每個電極環繞2D模型的邊界均勻放置。該模型檢測電極有16個，分布在半徑為2.8cm的圓上，則相鄰兩電極之間的角度為22.5°。電導率異常區域（目標區域）為直徑為2.4cm的外環和直徑為0.8cm的內環圍繞而成的圓環形區域。

1.2 測量策略

在相對驅動模式下目標區域內部有較高的靈敏度，因此采用相對驅動模式[8]。由徑向相對的電極對注入電流，由除注入電流電極對外的相鄰電極測量電壓。當電極數為16個時，共有192（16×12）個電壓測量值。

1.3 重建算法

為了提高重建圖像的穩定性，需要克服隨時間變化的電導率擾動引起的微小的測量電壓變化。邊界測量電壓是電導率分布的函數，表示為。線性近似表示為，可用低階泰勒級數表示，其中代表離散的電導率矢量，表示靈敏度矩陣。計算在時間間隔上的電導率差異[5]。

1.3.1 一步牛頓誤差重建算法和正則化算法

在一步牛頓誤差重建算法（NOSER）中，正則化矩陣是一個簡單的對角矩陣[9]，該NOSER算法表示為：

正則化算法的通用表達式為：

1.3.2 混合正則化算法

NOSER重建2D圖像效果比較好，但它對病態逆問題的信號噪聲很敏感。正則化算法對微弱噪聲不敏感，然而它會使邊界平滑化模糊化。因此，將這兩種重建算法結合起來，條件數減小，推測混合正則化算法（Combined Regularizoction，CR）能改善重建圖像質量[11]。CR算法可以表示為：

1.4 后處理方法

該后處理方法用于提高2D EIT重建圖像的質量。在重建過程中所需對兩個參數進行分析：位置誤差和相對數量指數。

1.4.1 位置誤差

異物的位置定義類似于質心，即位于重建圖像中的半振幅集合的“質量中心”，在此物質的重建異常電導率代替物質的密度，半幅度集合是指重建圖像中那些異常電導率大于最大異常電導率的一半的所有元素。重構圖像的PE越小，與目標對象的中心越接近。異物在成像區域內的位置被定義為如下關系式[14]

1.4.2 數量指數

數量指數（Quantity Index, QI），通常也可看作圖像指數，用于評估范圍內由于異物引起的電導率相對變化。

1.4.3 后處理過程

后處理過程的步驟如下：

第一步，基于上述3種不同的重建算法重建2D圖像。

第二步，根據式（7）～（8）算出2D品質因數和位置誤差，并以2D圖像顯示。

第三步，若重建出電導率變化值小于某個閾值，或者超出某個范圍，式（10）中的值將作為新的重構電導率值。的值由重建電導率（）除以相對品質因數值（）所得。

2 數值仿真

數值仿真包括模型的建立，采用軟件COMSOL Multiphysics 4.2進行正問題仿真，采用Matlab（版本：7.11.0）進行電壓分析、參數評估和重建圖像。

2.1 正問題仿真

如圖1所示，最大圓、中間圓和最小圓的半徑分別等于2.8cm、2.2cm和1.8cm，由三個圓分隔開的三塊區域的電導率分別為0.3448 S/m、0.0205 S/m和0.0028 S/m。電流源注入和電壓測量采用16電極的全電極模型。激勵源電流為5mA，頻率為20 kHz。

2.2 數據預處理

對該模型進行有限元網格剖分，得到3136個三角元網格和1625個網格節點。仿真模型的正則化參數λ為9.4277×10-11，NOSER的正則化參數設定為0.3。

2.3 仿真結果

采用三種算法重建2D圖像來進行比較，以此檢驗后處理方法和混合正則化算法是否能獲得更好的重建圖像。2.3.1 條件數

一個矩陣（H）的條件數表示該矩陣對噪聲的靈敏度，條件數越大說明逆問題的病態性越嚴重。矩陣（H）的奇異值分解（SVD）中，U和V分別是左、右邊的向量，是由H的奇異值由大到小排列而成的奇異值矩陣。H的條件數表示為。

CR算法的條件數比其它兩種重建算法都要?。ū?）。因此，推測CR重建的效果更好。

2.3.2 定性評價

進行后處理方法的第1步，分別采用3種重建算法重建出圖像，如圖2所示。雖然所有的重建算法都能顯示相對正確的電導率異常位置，但其邊緣都不太清晰。正則化算法和混合正則化算法重建的電導率異常部分的圖像近似成圓形，如圖2（b）和圖2（c）所示，對應電導率變化的骨密質部分和背景（肌肉）之間的對比較明顯。三種重建算法的2D重建圖像都比骨密質部分的實際尺寸偏小，而在形狀上相似，均是環形。

在圖2中，三種算法都不能確定骨髓對應的那部分圓形區域電導率是否變化，用深藍色表示，可以理解為電導率異常變化很大，也可以理解為這個圓形深藍色區域的初始電導率本身就很低。圖2重建的圖像與在正文中描述的只有兩種電導率分布的模型極其相似，故圓形深藍色區域不能判斷為初始電導率本身就很低的骨髓部分。因此，這種較復雜的3種電導率分布模型，不能區分和識別骨密質和骨髓的確切位置和邊緣，降低了重建圖像的分辨率。

圖2 三種重建算法的重建結果。（a）一步牛頓誤差重建算法；（b）正則化算法；（c）混合正則化算。

2.3.3 位置誤差

接著進行后處理方法的第二步，重建出2D位置誤差和相對數量指數的圖像，見圖3～4。從圖3可以看出，當電導率異常區域（即目標區域）和檢測電極所在的邊界之間的距離越遠時，位置誤差也就越大，原因是電導率異常區域離檢測電極所在的邊界越遠，電流密度分布越低，因而算法靈敏度變差，使得位置誤差增大。盡管結果顯示三種重建算法重建出的不同位置的位置誤差呈現出非線性，但其百分比均低于5％。NOSER算法的最大位置誤差值（用深紅色表示）比其它兩種重建算法的都要小，且NOSER算法產生位置誤差的區域范圍也要小。

圖3 三種重建算法的位置誤差。（a）一步牛頓誤差重建算法；（b）正則化算法；（c）混合正則化算。

圖4 三種重建算法的相對數量指數。（a）一步牛頓誤差重建算法；（b）正則化算法；（c）混合正則化算。

2.3.4 相對數量指數

由圖4可看出，三種重建方法的相對數量指數在骨髓對應的區域變化顯著。而圖3中盡管顯示出電導率異常區域出現了較小的位置誤差，而邊界比較模糊。將圖4與圖2和圖3比較，從圖4不僅看出環狀骨密質的重建圖像，更能清晰地看到骨髓的真實輪廓。骨髓的電導率比較低，在這里相對數量指數數值也很小，用深藍色表示，其最小值在-800左右。經分析主要有兩個原因影響電導率的分布：第一，骨髓的導電性低，僅為肌肉的0.812％，比骨密質也要低得多，因此，注入骨髓的電流非常小，檢測電極很難反映出骨髓的實際電導率。骨髓的電導率實際上不變，但所有的重構圖像顯示出變化非常大（用深綠色表示）；第二，從目標區域到檢測電極所在的邊界的距離也影響電導率分布,骨髓區域內部相對數量指數不恒定，由中心到邊界逐漸變化。從圖4看出，CR重建的相對數量指數深藍色部分區域最小，說明骨髓對應區域內由于異物引起的電導率變化的范圍也最小。

表1 雅可比矩陣的條件數（=0.3,=9.4277×10-11）

表1 雅可比矩陣的條件數（=0.3,=9.4277×10-11）

矩陣H雅可比矩陣一步牛頓誤差重建算法正則化算法混合正則化算法計算式條件數1.568×10202.789×10135.077×10132.532×1012

在進行后處理方法第三步之前，先建立另一個仿真模型，只有兩種電導率分布，如圖5（a）所示，這有助于理解為什么在式（9）中要選擇更新的電導率。在這個模型中，是一個圓內全部區域電導率異常，而不是圖1所示的一個圓環面內電導率異常。重建圖像、位置誤差圖像和相對數量指數圖像分別如圖5（b）～（d）所示。將圖5和圖2、圖3比較，可以看出這兩種模型的重建圖像與位置誤差圖像均相似，無法區分這兩種模型。幸運的是與圖4比較，可發現相對數量指數圖像差異十分顯著。從圖4不僅可以清晰地看到骨髓所對應的第三種電導率分布，而且相對數量指數的最小值約為-800，而圖5看不到骨髓所對應的輪廓線和圖形，并且相對數量指數的最小值僅約為-40。因此，很容易區分圖1與圖5（a）兩種不同電導率分布的模型。如果選擇一個適當的閾值，例如-40，采用式（10）處理并更新電導率，重建電導率分布，就能顯示出真實的電導率分布。

圖5 采用后處理法更新電導率前建模驗證。（a）只有兩種電導率分布的模型，圓形區域內電導率異常；（b）重建圖像；（c）位置誤差圖像；（d）相對數量指數圖像，采用混合正則化算法。

后處理方法的最后一步是采用更新后的電導率值再次重建2D圖像。采用三種重建算法的重建結果如圖6，可以看出，骨髓部分（用深紅色顯示）的電導率沒有改變且形狀保持不變，骨密質的重建形狀為環形，但出現了位置偏差，若以骨髓成像部分作為參照物，位置偏差的大小顯而易見。與圖5（b）中的只有兩種電導率分布的重建結果比較，差異很顯著，從而很容易分辨出是兩種電導率分布還是三種電導率分布。

圖6 采用后處理方法更新電導率后的重建結果。（a）一步牛頓誤差重建算法；（b）正則化算法；（c）混合正則化算。

3 討論

與現有的2D 電阻抗成像相比，經本文提出的后處理方法重構出的2D 電阻抗成像更加接近于真實目標，并且在復雜的電導率分布模型中也能檢測出隱藏的電導率分布。這種方法簡單，計算量小，很容易應用到復雜的電導率分布模型中，比如人的小腿模型。結果表明，這種后處理方法還能對多種電導率成分進行準確識別。因此，該方法有較大的應用前景。不足的是，經這種后處理方法重建的2D電阻抗圖像仍然顯示出明顯的位置偏差，而且重構目標的邊緣不清晰。在今后的研究中，要根據位置偏差的有利信息進行位置校正，以獲得更接近真實的EIT圖像。

4 結論

盡管本文提出的CR的條件數比其它算法更小，但三種重建算法的重建圖像看來，混合正則化算法的優勢不明顯?？傮w來說，EIT圖像重建是一個非線性和病態的逆問題。逆問題的屬性決定了解的不穩定性。下一步的研究將嘗試采用其它重建算法，如總變差正則化算法[15]，以改善成像質量?？傊院蟮难芯糠较驊粩鄡灮吞岣逧IT重建圖像的空間分辨率、穩定性。

致謝

本文工作得到了中國國家自然科學基金（編號：51377186）和973計劃（編號：2014CB541600）的資助。

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A Post-Process Method for 2D-EIT-Based Position Error and Relative Quantity Index

HE Wei, HE Zhong-hua
School of Electric Engineering, Chongqing University, Chongqing 400044, China

This paper proposed a post-process method for 2D-EIT-based（Two Dimensional Electrical Impedance Tomography）PE（Position Error）and relative QI（Quantity Index）, which was intended to identify the distribution of multiple electrical conductivity, organ compositions as well as position information.Additionally, an integrated TR（Tikhonov Regularization）based on two present construction algorithms was also introduced and compared.According to the results, this post-process method could improve the placement accuracy and spatial resolution of 2D EIT, which made EIT applicable for clinical examinations and process monitoring.

electrical impedance tomography；newton’s one-step error reconstruction；tikhonov regularization；quantity index；position errors

TM934.7

A

10.3969/j.issn.1674-1633.2015.07.003

1674-1633（2015）07-0008-05

2015-06-28

國家自然科學基金（51377186）；國家973計劃（2014CB541600）。

作者郵箱：hzh186@cqu.edu.cn