圓錐曲線中的創新題賞析

王勇

隨著新一輪課程改革的深入和推進，高考的改革從知識立意轉向能力立意，推出了一批新穎而又別致、具有創新意識和創新思維的新題.本文采擷圓錐曲線中的創新題并予以分類賞析，旨在探索題型規律，揭示解題方法.

一、定義新的概念

例1 ?我們 把離心率為[e=5+12]的雙曲線[x2a2-y2b2=1a>0，b>0]稱為黃金雙曲線，如圖.[A1，A2]是雙曲線的實軸端點，[B1，B2]是虛軸的端點，[F1，F2]是焦點，過右焦點[F2]且垂直于[x]軸的直線交雙曲線于[M，N]兩點，給出以下幾個說法：①雙曲線[x2-2y25+1=1]是黃金雙曲線;②若[b2=ac]（[c]是雙曲線的半焦距），則該雙曲線是黃金雙曲線;③若[∠F1B1A2=90°]，則該雙曲線是黃金雙曲線;④若[∠MON=90°]，則該雙曲線是黃金雙曲線. 其中正確的說法是（ ? ）

A. ①②④ ? ? ? ?B. ①②③

C. ②③④ ? ? ? ?D. ①②③④

解析 ?對于①，由雙曲線[x2-2y25+1=1]可得，離心率[e=1+5+12=5+12]，故該雙曲線是黃金雙曲線.

對于②，[∵b2=ac，∴c2-a2-ac=0]，即[e2-e-1][=0]，又[e>1]，解得[e=5+12]，故該雙曲線是黃金雙曲線.

對于③，[∵∠F1B1A2=90°，][∴B1F12+B1A22][=F1A22，][∴b2+c2+b2+a2=a+c2]，即[b2=ac]. 由②可知，該雙曲線是黃金雙曲線.

對于④，[∵∠MON=90°]，[MN⊥x軸，][∴MF2=b2a]，且[△MOF2]是等腰直角三角形，[∴c=b2a]，即[b2=ac]，由②可知該雙曲線是黃金雙曲線.

綜上所述，本題應選D.

點撥 ?本題是一道信息遷移題，閱讀并領悟黃金雙曲線的實質是解題的關鍵.本題要求考生在不同的情境下都能熟練求解雙曲線的離心率.

二、約定新的運算

例2 ?設[x1，x2∈R]，定義運算“*”，[x1?x2=][x1+x22][-x1-x22]. 若[x≥0]，則動點[Px，x?aa>0]的軌跡是（ ? ）

A. 圓 ? ? B. 橢圓的一部分

C. 雙曲線的一部分 ? ? D. 拋物線的一部分

解析 ?[∵x1?x2=x1+x22-x1-x22，]

[∴x?a=x+a2-x-a2=2ax]，則[Px，2ax].

設[Px1，y1]，即[x1=x，y1=2ax，]消去[x]得，

[y21=4ax1x1≥0，y1≥0].

故點[P]的軌跡為拋物線的一部分，選D.

點撥 ?本題在新運算的背景下探求動點的軌跡問題，理解新運算的法則是求解的關鍵，此類題型是高考命題者慣用的擬題手法，平時應加強訓練，增強適應性.

三、調配新的組合

例3 ?已知點[F（-c，0）（c>0）]是雙曲線[E：x2a2-y2b2=1]的左焦點，雙曲線[E]的離心率為[e]，過[F]且平行于雙曲線[E]的漸近線的直線與圓[x2+y2=c2]交于點[P]，且點[P]在拋物線[y2=4cx]上，則[e2]=（ ? ）

A. [5] ? B. [5+32]

C. [5+22] D. [5+12]

解析 ?如圖，設拋物線[y2=4cx]的準線為[l]，作[PQ⊥l]于[Q]，雙曲線[E]的右焦點為[F]，由題意可知，[FF]為圓[x2+y2=c2]的直徑.

不妨設[P（xp，yp）]在第一象限，由[y2=4cx，x2+y2=c2]解得，[xp=（5-2）c]，所以[|PQ|=xp+c=（5-1）c].

易知[PF⊥PF]，直線[PF]的方程為[y=ba（x+c）]，即[bx-ay+bc=0]，于是點[F（c，0）]到直線[PF]的距離[|PF|=2bca2+b2=2b].

由拋物線的定義可知，[|PF|=|PQ|.][∴2b=（5-1）c]，[∴a2+（5-12c）2=c2]，解得[e2=c2a2=5+12]，故選D.

點撥 ?本題將直線、圓、雙曲線、拋物線組合在一起考查，令人耳目一新，是命題者智慧的結晶. 其中的“招法”可謂是“刀光劍影”，是出活題、考能力的成功之作，占據著“小題壓軸”的重要地位.

四、設置新的交匯

例4 ?在等腰梯形[ABCD]中，[E，F]分別是底邊[AB，CD]的中點，把四邊形[AEFD]沿直線[EF]折起后所在的平面記為[α，P∈α].設[PB，PC與α]所成的角分別為[θ1，θ2]（[θ1，θ2]均不為零）.若[θ1=θ2]，則點[P]的軌跡為（ ? ）

A. 直線 ? ? ? B. 圓

C. 橢圓 ? ? ? D. 拋物線

解析 ?如圖，設[B，C]在平面[α]內的射影分別為[M，N]，連接[PM，BM，CN，PN，MN].

根據直線與平面所成角的意義，

[∠BPM=θ1，∠CPN=θ2，又θ1=θ2，]

[∴tanθ1=tanθ2]，即[BMPM=CNPN?PMPN=BMCN].

又[BM⊥平面α，CN⊥平面α]，[∴BM//CN]，

又[BE//CF]，[∴∠MBE=∠NCF].

又[∠BME=∠CNF=90°]，

[∴ΔBME∽ΔCNF，∴BMCN=BECF，∴PMPN=BECF.]

在梯形[EBCF]中，[BE≠CF]，

[∴BECF]是不等于1的常數，

[∴PMPN]是不等于1的常數.

由于在平面內到兩定點的距離之比等于不為1的常數的點的軌跡是圓（阿波羅尼斯圓），所以點[P]的軌跡為圓.故選B.

點撥 ?本題主要考查空間直線與平面所成的角的概念與求解、動點的軌跡等問題，是立體幾何與解析幾何的交匯綜合題. 其中還涉及到三角知識、平面幾何知識的靈活應用，最后用課本中一道經典例題的結論（阿波羅尼斯圓）“一劍封喉”.

五、建模新的應用

例5 ?某同學設計一個如圖所示的“蝴蝶形圖案（陰影區域）”，其中[AC，BD]是過拋物線[Γ]的焦點[F0，1]的兩條弦，且[AC?BD=0]，點[E]為[y]軸上一點，記[∠EFA=α]，其中[α]為銳角.如果使“蝴蝶形圖案”的面積最小，則[α=] ? ? ? ? ?.

解析 ?由拋物線[Γ]的焦點[F0，1]得，拋物線[Γ]的方程為[x2=4y].

設[AF=m]，則點[A-msinα，mcosα+1]，

[∴-msinα2=4mcosα+1]，

即[m2sin2α-4mcosα-4=0]，

解得[m=AF=2cosα+1sin2α].

同理，[BF=21-sinαcos2α，DF=21+sinαcos2α，]

[CF=21-cosαsin2α].

所以“蝴蝶形圖案”的面積[S=SΔAFB+SΔCFD]

[=12AF?BF+12CF?DF][=41-sinαcosαsinαcosα2.]

令[t=sinαcosα，t∈0，12]，所以[1t∈2，+∞]，則[S=41-tt2=41t-122-1]，所以當[1t=2]，即[α=π4]時，“蝴蝶形圖案”的面積最小，最小值為8.

點撥 ?本題是一道解析幾何模型的應用題，難易適中，韻味十足，“蝴蝶形圖案”給人以美的享受.