圓錐曲線中的共性問題

馬海俊

一、考查橢圓、雙曲線離心率

橢圓、雙曲線的離心率考查有兩種形式：一種是計算離心率.關鍵是建立一個關于[a]，[b]，[c]的方程，通過這個方程只要能求出[ca]或[ba]即可，不一定具體求出[a]，[b]，[c]的數值. 第二種是求離心率的范圍.關鍵是確立關于[a]，[b]，[c]的不等式，確定[ca]的范圍.

例1 ?（1）已知橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左、右頂點分別是[A，B]，左、右焦點分別是[F1]，[F2].若[|AF1|]，[|F1F2|]，[|F1B|]成等比數列，則此橢圓的離心率為 ? ? ? .

（2）已知[F1，F2]是橢圓和雙曲線的公共焦點，[P]是它們在第一象限的公共點，且[∠F1PF2=π3]，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數之和的最大值為（ ? ）

A. [433] B. [233] ?C. 3 ? D. 2

解析 ?（1）橢圓的頂點為[A（-a，0）]，[B（a，0）]，焦點為[F1（-c，0）]，[F2（c，0）]，所以[|AF1|=a-c]，[|F1B|=a+c]，[|F1F2|=2c].因為[|AF1|]，[|F1F2|]，[|F1B|]成等比數列，所以有[4c2=（a-c）（a+c）=a2-c2]，即[5c2=a2]，所以[a=5c]，故離心率[e=ca=55].

（2）法一：設橢圓標準方程為[x2a2+y2b2=1]（[a>b>0]），雙曲線準方程為[x2a12-y2b12=1]（[a1>0，b1>0]），由題意知，[a>a1>0]，半焦距為[c]. [P]為第一象限點.

由橢圓、雙曲線定義得，

[|PF1|+|PF2|=2a]，[|PF1|-|PF2|=2a1]，

故[|PF1|=a+a1]，[|PF2|=a-a1].

因為[∠F1PF2=π3]，由余弦定理得，

[4c2=（a+a1）2+（a-a1）2-（a+a1）（a-a1）]，

故[4c2=a2+3a12].所以[4=a2c2+3a12c2，]即[4=1e2+3e12].

由柯西不等式得，

[4×43=（1e2+3e12）（12+（13）2）≥（1e+1e1）2].

所以[1e+1e1]的最大值為[433].答案為A.

法二：由法一知，[4=a2c2+3a12c2]，

令[1e=2cosθ]，[3e1=2sinθ]，

則[1e+1e1=2cosθ+233sinθ][=433sin（θ+β）]，

其中[tanβ=3]，

所以[1e+1e1]的最大值為[433].答案為A.

點撥 ?考查橢圓、雙曲線的定義及性質，柯西不等式，三角變換等.近3年湖北卷在選填題中考查圓錐曲線有兩種趨勢值得同學們注意：（1）二次曲線（圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的綜合考查，（2）和不等式、三角等聯合考查. 建議同學們在學習中，加強此類題目的訓練.

二、考查直線與圓錐曲線的位置關系

直線與圓錐曲線的位置關系判斷通常用判別式法.即聯立曲線方程和直線方程，消去[y]，得到關于[x]的一元二次方程，其判別式為[Δ]. 若[Δ>0]，則直線與曲線相交;若[Δ=0]，則直線與曲線相切;若[Δ<0]，則直線與曲線相離.對圓錐曲線的考查，不管是定值和定點問題、最值問題，還是探索性問題都是以直線與圓錐曲線的位置關系的研究為基礎出題.

例2 ?已知橢圓[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的離心率為[22]，左右焦點分別為[F1，F2]，拋物線[y2=42x]的焦點[F]恰好是該橢圓[C]的一個頂點.

（1）求橢圓[C]的方程;

（2）已知圓[O：x2+y2=23]的切線[l]與橢圓相交于[A，B]兩點，那么以[AB]為直徑的圓是否經過定點，如果是，求出定點的坐標;如果不是，請說明理由.

解析 ?（1）因為橢圓離心率是[22]，

所以[ca=22]，即[a=2c].

因為拋物線[y2=42x]的焦點[F（2，0）]恰好是橢圓C的一個頂點，

所以[a=2]，[c=1，b=1].

所以橢圓方程為[x22+y2=1].

（2）①當直線[l]的斜率不存在時，因為直線[l]與圓[O]相切，

故切線方程為[x=63]或者[x=-63].

當切線為[x=63]，聯立橢圓方程解得交點分別為[（63，63）]，[（63，-63）]，則以[A，B]為直徑的圓的方程為[（x-63）2+y2=23].

同理當切線為[x=-63]時，以[A，B]為直徑的圓的方程為[（x+63）2+y2=23].兩圓的交點為[（0，0）]，

故以[A，B]為直徑的圓恒過定點[（0，0）].

②當直線[l]的斜率存在時，設直線方程為[y=kx+m]，

由[x22+y2=1，y=kx+m]消去[y]得，

[（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0]，

設[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，

則[x1+x2=-4km2k2+1]，[x1?x2=2m2-22k2+1]，

所以[y1?y2=（kx1+m）（kx2+m）=m2-k22k2+1.]

所以[OA?OB=x1x2+y1y2=3m2-2k2-22k2+1]（※）.

因為直線[l]與圓相切，所以圓心到直線的距離[d=m1+k2=63.]

整理得，[m2=23（1+k2）]（※※），

將（※※）代入（※）式得，[OA?OB=0].

顯然以[AB]為直徑的圓經過定點[O（0，0）].

綜上可知，以[AB]為直徑的圓經過定點[O（0，0）].

點撥 ?近3年圓錐曲線綜合性題目的考查多以直線與曲線位置關系為出發點，考查橢圓、拋物線方程及性質;直線與圓，直線與橢圓的位置關系，定點問題. 通常有以下幾點需要引起注意.（1）直線與圓的位置關系判斷通常用點線距離法，即圓心到直線的距離[d]與半徑[r]比較.當[d>r]，直線與圓相離;當[d=r]，直線與圓相切;當[d