圓的考點綜述

劉堅 肖明春

一、考查圓的性質

在高考中對圓的性質考查主要體現在：（1）對稱性;（2）幾何性，如“垂直于弦的直徑必平分弦”“圓的切線垂直于過切點的半徑”等等.

例1 ?（1）過點[A（11，2）]作圓[x2+y2+2x-4y-164=0]的弦，其中弦長為整數的共（ ? ）

A. 16條 B. 17條

C. 32條 D. 34條

（2）已知圓的方程為[x2+y2-6x-8y=0]，設該圓過點（3，5）的最長弦和最短弦分別是[AC]和[BD]，則四邊形[ABCD]的面積是 ? ? ? .

解析 ?（1）過點（11，2）最短弦長為10，最長弦長為26，分別只有一條，

其它為整數的弦長還有11，12，…，25的各2條，

所以共有弦長為整數2+2×15=32條，故選C.

（2）由（1）知，最長弦長為10，最短弦長為[46]，

故四邊形[ABCD]的面積為[S=12×10×46=206.]

點撥 ?（1）由圓的對稱性介于最短弦和最長弦的弦各有兩條，不可忽視.（2）過圓內的點最長的弦是直徑，最短弦是過此點與直徑垂直的弦，解題時應充分利用圓的幾何性.

二、考查圓的位置關系

位置關系主要包含：（1）點與圓的位置關系;（2）直線與圓的位置關系;（3）圓與圓錐曲線（包括圓）的位置關系，而解決方法常有方程法、平面幾何法、向量法等.

例2 ?（1）若直線[ax+by=1]與圓[x2+y2=1]相交，則[P（a，b）]與圓[x2+y2=1]的關系為（ ? ）

A. 在圓上 ? B. 在圓外

C. 在圓內 ? D. 以上都有可能

（2）已知直線[ax+y-2=0]與圓心為[C]的圓[（x-1）2+（y-a）2=4]相交于[A]，[B]兩點，且[△ABC]為等邊三角形，則實數[a]的值為 ? ? ? ? .

（3）與圓[C1：x2+y2+2x-6y-26=0]，[C2：x2+y2-4x][+2y+4=0]都相切的直線有（ ? ）

A. 1條 ? B. 2條

C. 3條 ? D. 4條

解析 ?（1）[∵直線ax+by=1與圓x2+y2=1相交]，

[∴1a2+b2<1，即a2+b2>1，故選]B.

（2）[C（1，a）]到直線[ax+y-2=0]的距離[d=|2a-2|a2+1].

[因為△ABC為等邊三角形，]

[所以|AB|=|BC|.]

[所以（|2a-2|a2+1）2+1=22.]

[解得a=4±15.]

（3）把已知圓化為標準形式，可判斷兩圓相內切，它們只有一條公切線，故選A.

點撥 ?（1）點與圓的位置判斷，還可滲透向量法，如：點[O]在以[AB]為直徑的圓上，圓內，圓外[?OA·OB=0，OA·OB<0，OA·OB>0].（2）直線和圓的位置關系，主要采用幾何法. 計算弦長時，要利用半徑、弦心距、半弦長構成的直角三角形.（3）研究兩圓的位置關系，要靈活運用平面幾何法、坐標法，從而去確定兩圓的公切線的條數.

三、圓的切線及切線長

涉及圓的切線，過圓[x2+y2+Dx+Ey+F=0]外一點[M（x0，y0）]引圓的切線，[T]為切點，切線長公式[|MT|=x02+y02+Dx0+Ey0+F].

已知[⊙O1：x2+y2=r2，⊙O2：（x-a）2+（y-b）2=r2]，若點[M（x0，y0）]在圓上，則過點[M]的切線方程分別為[x0x+y0y=r2，][（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2，]這與點[M]在圓外引圓的兩條切線，則切點弦所在的直線方程是一樣的，掌握這些結論對解題是有幫助的.

四、與圓有關的軌跡問題

例3 ?（1）已知圓[M：（x+1）2+y2=1];圓[N：（x-1）2][+y2][=9]，動圓[P]與圓[M]外切并與圓[N]內切，圓心[P]的軌跡為曲線[C]，求曲線[C]的方程.

（2）由動點[P]向圓[x2+y2=1]引兩條切線[PA]，[PB]切點分別為[A，B]，且[∠APB=60°]，則動點[P]的軌跡方程為（ ? ）

A. [x2+y2=4] B. [x2+y2=3]

C. [x2+y2=2] D. [x2+y2=1]

解析 ?（1）由已知得圓[M]的圓心為[M（-1，0）]，半徑[r1=1]，圓[N]的圓心為[N（1，0）]，半徑[r2=3].

設動圓[P]的圓心為[P（x，y）]，半徑為[R.]

∵圓[P]與圓[M]外切且與圓[N]內切，

∴[|PM|+|PN|=（R+r1）+（r2-R）=r1+r2=4].

由橢圓的定義可知，曲線[C]是以[M，N]為左右焦點，長半軸長為2，短半軸長為[3]的橢圓（左頂點除外），其方程為[x24+y23=1（x≠-2）.]

（2）由題設，在直角[△POA]（[O]為原點）中，[|OP|]為圓半徑[|OA|]的2倍，即[|OP|=2]，

所以點[P]的軌跡方程為[x2+y2=4].

點撥 ?軌跡問題是高考命題的熱點問題，如平面上與兩定點連線的斜率之積等于非零常數的點的軌跡，平面上與兩定點的距離之比等于常數[λ]的點的軌跡.這些常見軌跡要熟記，同時特別關注圓與圓錐曲線相結合，考查圓錐曲線定義的軌跡問題.

五、與圓有關的最值問題

與圓上點[（x，y）]有關代數式的最值問題的常見題型及解法：

（1）形如[μ=y-bx-a]，本質是直線的斜率的最值問題;

（2）形如[t=ax+by]，轉化為動直線截距的最值問題;

（3）形如[（x-a）2+（y-b）2]，轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題.

例4已知點[（x，y）]在圓[（x-2）2+（y-3）2=1]上，求：

（1）[x+y]的最大值和最小值;

（2）[yx]的最大值和最小值;

（3）[x2+y2+2x-4y+5]的最大值與最小值.

解析 ?（1）[（x+y）max=2-1]，[（x+y）min=-2-1]

（2）[yx]的最大值為[-2+233]，最小值為[-2-233]

（3）[x2+y2+2x-4y+5]的最大值為[34+1]，最小值為[34-1].