幾何概型的高考命題視角探究

王恒亮 李一淳

幾何概型是高中數學新增的內容之一，是對古典概型的進一步發展，也是中學數學知識的一個重要交匯點.它已逐漸成為多項內容的媒介，特別是在近年高考題和高考模擬題中時常出現這類問題，它要求學生知識面廣、解題靈活性強.這類題型通常與平面幾何、解析幾何，立體幾何、函數與方程、不等式等內容相結合.

筆者根據教學實際，就該問題在高考中的命題視角進行粗淺的探討，現與大家分享.

一、幾何概型與平面幾何的結合

幾何概型與平面幾何相結合，往往考查平面幾何中的線段長度、面積、角度的計算，若能根據題目中的有效信息，抓住關鍵“比”，這類問題將不難解決.

例1（2012湖北）如圖1，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以OA，OB為直徑作兩個半圓.在扇形OAB內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是（）.

A.12-1π B. 1π C.1-2π D.2π

圖1圖2圖3

解析不妨設扇形的半徑為2a，由圖2知S陰影=S2+S4，為了求出S陰影也即是S2和S4，對圖2作分割如圖3，則S2=S2′+S2″.顯然S2′=S2″，且S2′=S2″=14πa2-12a2，

故S2=S2′+S2″=12πa2-a2，則S4=S扇形OAB-[（S3+S2+S1+S2）-S2]=14π（2a）2-[πa2-（12πa2-a2）]=12πa2-a2，即S陰影=S2+S4=πa2-2a2.

由幾何概型概率公式可得，此點取自陰影部分的概率P=

S陰影S扇形OAB=πa2-2a2πa2=1-2π

.故選C.

評注本題考查幾何概型的應用以及觀察推

5.解（1）設“第一次實驗時取到i只新白鼠”為事件Ai（i=1，2）

P（A1）=C14C14C28=47

P（A2）=C24C28=314

設“從8只小白鼠中任意取2只小白鼠，恰好取到一只新白鼠”為事件B.

則“第一次實驗時至少取到一只新白鼠，第二次實驗時恰好取到一只新白鼠”就是事件A1B+A2B，而事件A1B、A2B互斥，所以P（A1B+A2B）=P（A1B）+P（A2B）.由條件概率公式，得

P（A1B）=P（A1）P（B|A1）

=47×C13C15C28=47×1528=1549.

P（A2B）=P（A2）P（B|A2）=314×C12C16C28

=314×37=998.

所以，第一次實驗時至少取到一只新白鼠，第二次實驗時恰好取到一只新白鼠的概率為

P（A1B+A2B）=P（A1B）+P（A2B）=1549+998=3998.

（2）法一：

設A=“在第一次實驗時至少取到一只新白鼠”， C=“第二次實驗時恰好取到一只新白鼠”

則P（A）=P（A1）+P（A2）=1114，

P（AC）=P（A1B）+P（A2B）=1549+998=3998

故P（C|A）=3998÷1114=3977

法二：設A=“第一次實驗時至少取到一只新白鼠”， C=“第二次實驗時恰好取到一只新白鼠”

P（C|A）=n（AC）n（A）=C14C14C13C15+C24C12C16（C14C14+C24）C28=3977.

（收稿日期：2014-10-12）

理的能力.P（A）=SASΩ中，區域A，Ω一目了然，SΩ也很容易計算，本題難在如何求解陰影部分的面積，巧妙地將不規則圖形的面積化為規則圖形的面積來求解SA是本題的關鍵，這點需要平時的積累.

例2（2012北京）設不等式組0≤x≤20≤y≤2，表示平面區域為D，在區域D內隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是（ ） .

A.π4 B.π-22 C.π6 D.4-π4

圖4解析0≤x≤20≤y≤2表示的區域如圖4正方形所示，而動點D可以存在的位置為正方形面積減去四分之一圓的面積部分，因此

P=2×2-14π·222×2=4-π4.故選D.

評注本題考查幾何概型的應用以及轉化能力，其關鍵點是將題目給的不等式組轉化成坐標平面內明確的區域，即P（A）=SASΩ中的區域Ω.

例3（2009福建）點A為周長等于3的圓周上的一個定點，若在該圓周上隨機取一點B，則劣弧AB的長度小于1的概率為 .

圖5

解析如圖5設AB=1，根據幾何概率可知其整體事件是其周長3，則其概率是23.

評注此題考查的幾何概型的測度是一維的長度.P（A）=SASΩ中，Ω顯然是圓的周長，而A在求解時就要考慮全面. 事實上，圓周上滿足要求的弧長為2個單位，粗心的學生在此還是容易犯錯誤.從平面幾何視角呈現幾何概型問題是近年高考中考查的熱點，出現頻率非常高，從公式P（A）=SASΩ來說，解決此類問題的關鍵點有：深刻理解幾何概型的概念，準確確定Ω和A；靈活運用平面幾何知識，正確求解SA，SΩ.

二、幾何概型與解析幾何的結合

例4（2011湖南）已知圓C：x2+y2=12，l：4x+3y=25.

（1）略

（2） 圓C上任意一點A到直線l的距離小于2的概率為 .

解析易知圓心到直線的距離為5，要使圓上點到直線的距離小于2，即點A在l1∶4x+3y=15與圓相交所得劣弧上，由半徑為23，圓心到直線的距離為3可知劣弧所對圓心角為π3，

故所求概率為P=π32π=16.

評注將解析幾何中直線與圓的位置關系判斷與幾何概型相結合，不僅把兩個不同模塊的知識交匯到一起，而且這種在交匯點設計的試題注重內容的聯系性和知識的綜合性，既能增加知識考查點，又能從學科整體的高度考慮問題，可謂視角獨特、回味無窮.

例5（2012珠海摸底考試改編）在區間[1，5]和[2，4]內分別取一個數記為m，n，則方程

x2m2+y2n2=1表示焦點在x軸上的橢圓的概率為.

圖6

解析記“方程x2m2+y2n2=1表示焦點在x軸上的橢圓” 為事件A，如圖6在直角坐標平面內坐標（m，n）表示的點落在面積為mn的矩形區域內，事件A發生即對應的點落在如圖6所示的陰影區域內，不難得到P（A）=12（1+3）×24×2=12.

評注本題的關鍵是把解析幾何問題轉化為測度為面積的幾何概型，樣本空間Ω轉化為坐標平面內的矩形區域，A事件轉化為直線y=x的下方與樣本空間Ω的公共部分，這一系列的轉化也是本題的難點，也有效地考查了知識的交匯融合.

三、幾何概型與立體幾何的結合

例6（廣東省重點中學2009屆高三畢業考試高考模擬）正棱錐S-ABC的底面邊長為4，高為3，在正棱錐內任取一點P，使得VP-ABC≤12VS-ABC的概率是（）.

A.34 B.78 C.12 D. 14

解析不難判斷當點P位于正棱錐S-ABC的中截面時，剛好使得VP-ABC=12

VS-ABC，故答案為B.

評注幾何概型與立體幾何的結合，往往涉及到空間中的點面距離、體積計算等相關知識點，可使幾何概型中的測度從平面的長度、面積、拓展到空間中的體積，是值得關注的一個變化方向.本題考查了幾何概型與立體幾何的結合，使問題的綜合性得到進一步的加強，體現了數學命題的靈活性.

四、 幾何概型與不等式的交匯

例7（2012遼寧）在長為12cm的線段AB上任取一點C. 現做一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積大于20 cm2的概率為（ ）.

A.16 B.13 C.23 D. 45

解析設線段AC的長為x cm，則線段CB的長為（12-x）cm，那么矩形的面積為x（12-x）cm2，由x（12-x）>20，解得2

評注此題體現了幾何概型與一元二次不等式的結合，雖然題目談到了面積，但實際是一個長度型幾何概型.P（A）=SASΩ中判斷Ω={x|020}是解決問題的關鍵.題目短小精悍，考查靈活機變.

例8（2011年復旦千分考）在半徑為1的圓周上隨機取三點，它們能構成一個銳角三角形的概率是.

圖7圖8

解析如圖7，設A，B，C是半徑為1的圓周上的任意三點，弧AB，弧AC，弧BC的長度分別為x，y，2π-x-y，得試驗的全部結果所構成的區域為Ω={（x，y）|x，y，2π-x-y∈（0，2π）}.如圖8所示，設事件T表示三點A，B，C是一個銳角三角形的三個頂點，它構成的區域為T={（x，y）|x，y，2π-x-y∈（0，π）}.故P（T）=STSΩ=14.

評注本題體現了幾何概型與線性規劃的完美結合.它將看似與線性規劃不相關問題巧妙地轉化成線性規劃問題.

五、幾何概型與三角函數的交匯

例9（2009山東）在區間[-1，1]上隨機取一個數x，cosπx2的值介于0到12之間的概率為（）.

A.13 B.2π C.12 D. 23

解析在區間[-1，1]上隨機取一個數x，即x∈[-1，1]時，要使cosπx2的值介于0到12之間，需使-π2≤πx2≤-π3或π3≤πx2≤π2，∴-1≤x≤-23或23≤x≤1，區間長度為23，

由幾何概型知cosπx2的值介于0到12之間的概率為232=13.

故選A.

評注本題考查了三角函數的值域和幾何概型知識點，不僅把兩個不同模塊的內容交匯到一起，而且將問題思維情境作出質的改變，真正體現了知識之間的交融.

六、幾何概型與函數方程的交匯

例10（2012屆安徽模擬）關于x的方程x2-2（a-2）x-b2+16=0，若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求方程沒有實根的概率.

解析試驗的全部結果構成區域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，其面積為S（Ω）=16，設“方程無實根”為事

件B，則構成事件B的區域為B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a-2）2+b2<16}，

其面積為S（B）=14×π×42=4π，故所求的概率為P（B）=4π16=π4.

評注本題考察幾何概型與函數方程方面的知識點，在P（A）=SASΩ中確定A和Ω是本題的關鍵，方程中出現了兩個字母系數a，b，a，b的獨立性和各自的變化范圍使得A和Ω都成了與二維的面積相關的幾何概型問題.

總之，幾何概型雖然描述的是概率問題，可是它很容易與其它知識點相結合，從中可以看到它們的聯袂使得呆板、平淡的數學問題充滿活力與魅力，這點也是我們平時學習數學所需積累的.

（收稿日期：2014-10-10）