原碼、反碼和補碼的教學(xué)探討

羅嘉慶 周世杰 徐潔

摘要：有符號數(shù)字的存儲包括原碼、反碼和補碼（國內(nèi)教材采用術(shù)語）3種表示，是許多計算機專業(yè)基礎(chǔ)課程的重要教學(xué)內(nèi)容，然而國內(nèi)外教材和網(wǎng)絡(luò)百科中的相關(guān)內(nèi)容存在很多不一致的地方，可能會導(dǎo)致教學(xué)中的困惑和誤區(qū)。文章將分別從講解思路、術(shù)語定義和數(shù)學(xué)本質(zhì)3方面進行對比分析并提出一些可能的改進建議，包括規(guī)范術(shù)語，注重計算機基本操作和相關(guān)數(shù)學(xué)概念，強調(diào)不同表示的產(chǎn)生原因、關(guān)系和符號位差異等。

關(guān)鍵詞：原碼；反碼；補碼

0.引言

數(shù)字存儲與數(shù)字計算緊密相連，是計算機專業(yè)的基礎(chǔ)課程，如計算機導(dǎo)論、計算機組成原理、匯編語言等，是要求學(xué)生理解和掌握的重要知識點。有符號數(shù)存儲涉及數(shù)字的符號，包括原碼、反碼和補碼，又是其中的教學(xué)難點，然而眾多國內(nèi)教材包括電子工業(yè)出版社的《8086/8088宏匯編語言程序設(shè)計教程》（1998年出版）、高等教育出版社的《數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)》（1998年出版，2001年重印）、電子工業(yè)出版社的《計算機組成原理》（2004年出版）和清華大學(xué)出版社的《匯編語言程序設(shè)計》（2009年出版）以及網(wǎng)絡(luò)百科包括百度百科和360百科（更新截止2014年11月18日），國外教材包括ComputerOrganization and Embedded System（2011年出版）和Foundations of Computer Science（2007年出版）以及網(wǎng)絡(luò)百科Wikipedia（更新截止2014年11月18日），對于有符號數(shù)存儲的講解內(nèi)容存在眾多不一致的地方，教師需要進一步分析與探討，以避免在教學(xué)過程中令學(xué)生產(chǎn)生誤解。

1、講解思路

1.1產(chǎn)生原因

有符號數(shù)字的存儲有3種表示：原碼、反碼和補碼。現(xiàn)在計算機大多選用補碼，早期部分計算機選用原碼或反碼，如IBM 709x系列采用原碼，PDP-1、CDC 160系列、CDC 6000系列、UNIVAC 1100系列和LINC計算機采用反碼。在教學(xué)過程中，學(xué)生通常會產(chǎn)生兩點疑惑：①為什么有符號數(shù)字有3種表示？②為什么計算機不選用相對直觀的原碼而選用晦澀難懂的補碼？國外網(wǎng)絡(luò)百科通過例子詳細說明了原碼和反碼在計算過程中可能出現(xiàn)的問題。具體而言，原碼的符號位不能參與計算，反碼的計算需要處理進位或借位，同時存在—0，只有補碼的計算能夠保持與無符號二進制數(shù)的計算一致。國內(nèi)教材和網(wǎng)絡(luò)百科往往從以下3方面描述：①數(shù)學(xué)表達式；②求解方法；③硬件設(shè)計的難易程度。相比較而言，國外網(wǎng)絡(luò)百科更有利于把握計算的本質(zhì)，有助于學(xué)生理解不同表示產(chǎn)生的原因。

1.2基本方法

國外教材通常采用方法→表示的講解方式，即先介紹二進制中兩種補的方法（methods ofcomplement）：眾一的補（ones' complement）和二的補（two's complement）。補的方法是一種只用正數(shù)的加法計算從一個數(shù)中減去另一個數(shù)的技術(shù)。 一個二進制數(shù)的眾一的補被定義為這個數(shù)的所有位取反（0變l，1變0）。一個n位二進制數(shù)的二的補被定義為2n的補，等同于眾一的補（取反運算）加1。然后，介紹兩種有符號數(shù)的表示：眾一的補表示（英文：ones'complement representation，中文：反碼）和二的補表示（英文：two's complement representation，中文：補碼）。眾一的補和二的補系統(tǒng)/計算（one's complement system/arithmetic and two'scomplement system/arithmetic）中的負數(shù)，分別用它們對應(yīng)的正數(shù)的眾一的補和二的補表示。

部分國內(nèi)教材則采用表示→運算的講解方式，即先定義有符號二進制數(shù)的表示，即原碼、反碼和補碼，再定義一種補碼的運算——求補運算。具體而言，求補運算被定義為一個已為補碼表示的數(shù)，連同符號位一起按位求反后，在最低位加補，這種定義容易混淆概念：①如果它對應(yīng)二的補，那么可以理解為一個數(shù)學(xué)操作符，輸入不僅僅限定為已為補碼表示的數(shù)，例如，一個負數(shù)對應(yīng)正數(shù)的二進制表示；②如果這種定義對應(yīng)二的補算術(shù)（two's complement arithmetic），那么指代一個系統(tǒng)，這個系統(tǒng)中一些基本的算術(shù)操作如加、減和乘就與尢符號二進制數(shù)的相同。此外，還可能會產(chǎn)生以下一些問題：當輸入一個二進制數(shù)時，計算機將如何鑒別這個數(shù)已為補碼表示（注意并非所有計算機都采用補碼）？如果不能鑒別，那么這種運算的意義何在？又將如何定義？

1.3求解過程

在求解有符號數(shù)表示時，國外教材出發(fā)點是數(shù)本身，給定一個有符號數(shù)χ，各種表示求解過程如下：

符號和數(shù)量表示（英文：sign and magnituderepresentation，中文：原碼）：最高位為符號位，0表示正數(shù)，1表示負數(shù)，剩余位為x的數(shù)量（絕對值）。

眾一的補表示（反碼）：如果x為L正數(shù)，則是其二進制表示；如果χ為負數(shù)，則是其對應(yīng)正數(shù)的位補（英文：bit complement/bitwise NOT，中文：按位取反）——執(zhí)行每一位邏輯否定的一元操作。

二的補表示（補碼）：如果x為正數(shù)，則是其二進制表示；如果x為負數(shù)，則是其對應(yīng)正數(shù)的二的補（所有位取反后加1）。

在求解有符號數(shù)表示時，部分國內(nèi)教材出發(fā)點是原碼，同樣給定一個數(shù)x，各種表示求解方式如下：

原碼：最高位為符號位，其余位為χ的絕對值。

反碼：如果x為正數(shù)，則與原碼相同；如果x為負數(shù)，保持原碼符號位不變，其余位變反，

補碼：如果χ為正數(shù)，則與原碼相同；如果χ為負數(shù)，保持原碼符號位不變，其余化先變反，然后在末位加1。

在操作層面，國內(nèi)外教材求解結(jié)果一致，但在理解層面，國內(nèi)教材容易引起誤解：

（1）原碼、反碼和補碼之間的關(guān)系從原碼出發(fā)求解反碼和補碼，學(xué)生會誤以為原碼是后兩者的基礎(chǔ)。原碼的出發(fā)點是符號的表示（符號位），即用O表示正數(shù)，用1表示負數(shù)；反碼和補碼的出發(fā)點是減法的運算，即用兩個正數(shù)的加法取代兩個數(shù)的減法，因此反碼和補碼不能簡單理解為由原碼變換而成。

（2）原碼、反碼和補碼符號位的差異。求解反碼和補碼過程中，保持原碼符號位不變，學(xué)生會誤以為原碼、反碼和補碼的符號位相同。雖然符號位都表示數(shù)的正負，但是反碼和補碼與原碼符號位的差別在于它們有權(quán)重（weight），如補碼的符號位權(quán)重為—（ 2n-l）。

2、術(shù)語定義

2.1完備性

國外教材關(guān)于術(shù)語定義從操作→方法→表示具有連貫性和一致性，國內(nèi)教材術(shù)語定義（包括譯著）存在混用和缺失的現(xiàn)象，表1對比了國內(nèi)外教材涉及有符號數(shù)字存儲的術(shù)語。

從表l可以看出，大部分國內(nèi)教材對方法的術(shù)語（眾一的補和二的補）缺乏明確的定義，即求解表示（眾一的補表示和二的補表示）的過程。正因如此，部分譯著將反碼和補碼與眾一的補和二的補（參見1.2節(jié)定義）對應(yīng)，另一部分譯著將反碼和補碼與眾一的補表示和二的補表示（參見1.2節(jié)定義）對應(yīng)，導(dǎo)致方法和表示的術(shù)語沖突。由此可見，在定義表示的形式化描述時，更應(yīng)該關(guān)注其求解方法的定義與內(nèi)涵。

此外，國內(nèi)教材對術(shù)語原碼/原碼表示法、反碼/反碼表示法和補碼/補碼表示法存在混用現(xiàn)象。具體而言，部分教材只使用原碼、反碼和補碼，另一部分教材將原碼/原碼表示法、反碼/反碼表示法和補碼/補碼表示法混合使用（沒有明確區(qū)分）。

2.2規(guī)范性

國外教材中的術(shù)語非常形象和直觀。例如，眾一的補中的“眾一”表示二進制數(shù)中的每一位都用l減去這一位替代（與按位取反效果相同）；二的補中的“二”表示基數(shù)2；兩者中的“補”表明了它們之問的關(guān)系，即二的補等于眾一的補加1。國內(nèi)教材中的術(shù)語在認知上可能造成歧義。例如，原碼中的“原”有原始的意思，學(xué)生容易誤解為原碼是反碼和補碼的基礎(chǔ)。真值被定義為日常書寫習慣中用+或-表示的數(shù)，英文中有與其沖突的術(shù)語truth value（同樣翻譯為真值），又稱為邏輯值（logical value），是指相對于真的程度。在經(jīng)典邏輯中，唯一可能的真值是真和假，模糊邏輯和其他形式的多值邏輯中會使用比真和假更多的真值。此外，國內(nèi)網(wǎng)絡(luò)百科將原碼翻譯為true form并不準確，對應(yīng)英文術(shù)語應(yīng)該是sign and magnitude representation。

3、數(shù)學(xué)本質(zhì)

3.1必要性

形式化的描述是一把雙刃劍，一方面能夠用數(shù)學(xué)語言準確地描述概念本質(zhì)，另一方面會因為過度抽象而增加學(xué)生理解的難度。部分國內(nèi)教材對原碼、反碼和補碼都給出了數(shù)學(xué)表達式。原碼的定義本來非常直觀且容易理解，原碼用符號位表示數(shù)的正負，而符號位沒有權(quán)重，不能直接參與運算。原碼的數(shù)學(xué)表達式可能是一個由簡變繁的過程且存在以下一些問題：這種表達式的實質(zhì)和意義是什么？是否與原碼的定義相關(guān)？原碼沒有權(quán)重或值的符號位是否能夠通過算術(shù)運算來定義？將一個負數(shù)χ的原碼定義為2n-1-X，即表示符號位的值為2n-l，相應(yīng)的運算規(guī)則如何定義？

3.2準確性

國內(nèi)教材的數(shù)學(xué)表達存在細微差異。國外教材：在眾一的補表示中，一個負數(shù)χ被表示為其對應(yīng)正數(shù)的眾一的補，被定義為（2n-1）-（-X）：在二的補表示中，一個負數(shù)x被表示為其對應(yīng)正數(shù)的二的補（相對于2n的補），被定義為2n-（一x）。國內(nèi)教材：一個負數(shù)x的反碼和補碼分別被定義為（2n-l）+x和2n+x。在計算層面，國內(nèi)外教材的運算結(jié)果一致，因為- （ -x）=x，但在理解層面，“減去一個正數(shù)”與“加上一個負數(shù)”存在明顯差異，失之毫厘，差之千里。計算機只能識別0和l組成的序列，負號并不存在。負數(shù)x可以表示為0-（-x），為了將減法轉(zhuǎn)換為加法，需要求-x（正數(shù)）的算術(shù)負值。數(shù)學(xué)表達式（2n-l）+x和2n+x并不能準確描述這一過程。此外，部分國內(nèi)教材直接用模運算定義反碼和補碼，模運算可以用于解釋反碼和補碼如何工作，但并不能作為其正式定義，因為它不是相關(guān)概念的直接描述。

4、改進建議

國內(nèi)外教材的差異可能會導(dǎo)致教學(xué)困惑和誤區(qū)。為了澄清概念和消除誤區(qū)，筆者提出以下幾點改進建議。

（1）統(tǒng)一術(shù)語：建議用“取一個數(shù)的反碼”和“取一個數(shù)的補碼”分別對應(yīng)“眾一的補”和“二的補”；用“反碼”和“補碼”分別對應(yīng)眾一的補和二的補后的結(jié)果；用“原碼表示”“反碼表示”和“補碼表示”分別對應(yīng)“符號和數(shù)量表示”“眾一的補表示”和“二的補表示”。

（2）修改方法：在講解求解過程時，保持與補的方法（眾一的補和二的補）一致，摒棄原碼的基礎(chǔ)上求解反碼和補碼的過程。

（3）更正定義：去掉原碼的數(shù)學(xué)表達式，將反碼和補碼的數(shù)學(xué)表達式更正為（2n-l）一（一x）和2n-（-x）。

（4）更新百科：網(wǎng)絡(luò)百科有時比教材更有影響力，因為許多學(xué)生遇到疑問都會在網(wǎng)上求答案。截止2014年11月28日，百度百科中反碼和補碼的瀏覽次數(shù)分別達到151 035和437 146，因此有必要規(guī)范和更新網(wǎng)絡(luò)百科的相關(guān)內(nèi)容，避免將教學(xué)誤區(qū)擴大化。

5、結(jié)語

通過對比國內(nèi)外教材和網(wǎng)絡(luò)百科，筆者發(fā)現(xiàn)國內(nèi)部分教材關(guān)于有符號數(shù)字存儲的相關(guān)內(nèi)容包括術(shù)語、概念和定義都有待進一步明確和清晰，建議統(tǒng)一術(shù)語，更正和修改定義和方法，更新網(wǎng)絡(luò)百科相關(guān)內(nèi)容，避免在教學(xué)過程中產(chǎn)生誤區(qū)。