螞蟻怎樣爬最近教學設計

侯靜

教材：人教版義務教育課程標準實驗教科書·八年級（下冊）

課題：勾股定理應用（三）螞蟻怎樣爬最近

教材分析：在上一節課中學生通過“觀察”發現直角三角形的三邊得出了勾股定理，勾股定理用于解決直角三角形三邊的關系，是幾何學習的一個工具。勾股定理在實際問題中的運用是中、高考的考點。求立體圖形中兩點之間的最短距離是學生的難點，通過觀察和動手把立體圖形轉化為平面圖形，利用“兩點之間，線段最短”解決此類問題。

教學目標設計：

1.知識與技能目標：

（1）運用勾股定理進行簡單的計算。

（2）運用勾股定理解釋生活中的實際問題。

2.過程與方法目標：

（1）學習“觀察——歸納”的思維方法。

（2）理解轉化，化歸思想。

3.情感、態度與價值觀目標：通過研究一系列富有探究性的問題，培養學生與他人交流、合作的意識和品質，培養學生的動手能力。

教學過程：

引例.如圖一只螞蟻在長方形ACDF的地面上，長方形的長為8米，寬為3米，它要從A點出

發到B點找食物，點B是長方形的中點，它怎樣爬最近？最短距離是多少？從 A 到D點呢？

解：連接AB（圖略）

在△ABC中∠C=90°

∴AB= ?=5

連接AD

在△ABD中∠C=90°

∴AD= = =

簡析：平面兩點之間的距離問題學生易于解決，利用“兩點之間，線段最短”，圖中AB的長是直角三角形的斜邊，再找到兩直角邊的大小即可。教師在教學中可以以平面為介推入立體圖形，解決立體圖形中的最短問題。

變形1.已知圓柱的底面半徑為2厘米，高為8厘米，螞蟻從A點繞圓柱的一圈爬到C點的最短路程是多少厘米？爬到B點呢？ （π取3）（圖形略）

簡析：本變形1來自于教材，以教材的原題為母題變化出各種各樣的題型。原題中螞蟻從A點到B點在曲面上很難求出A到C的距離，引導學生回憶圓柱的側面展開圖是一個矩形，矩形的的寬是圓柱的高AC，矩形的長是圓柱的底面周長CC1，AC的長就是Rt△ACC1的斜邊AC1的長，而CB就是圓柱底面半周長，這樣此題的問和上題一樣，把立體圖形轉化為平面圖形得以解決。

解：連接AC1，在△ACC1中∠C=90°

AC1= = = = =4

連接AB，在△ACB中∠C=90°

AB= = = =10

變形2.（2011.荊州）如圖，長方體的底面邊長分別為2厘米和4厘米，高為5厘米，若一只螞蟻從P點開始經過4個側面爬行一圈到達Q點，則螞蟻的最短路徑長多少？

把圓柱換成長方體從P點繞側面爬行一圈到達Q點，把長方體的側面展開，展開成一個大矩形，矩形的長是長方體的底面周長，寬是長方體的高PQ，爬行的距離是Rt△PQQ1的斜邊PQ1的長。（圖形略）

∴PQ1= = = =13

簡析：雖然兩題都是爬行的立體圖形不一樣，但路程都是直角三角形的斜邊。只要找到直角邊分別是什么問題就易于解決。

變形3.如圖，長方體的底面邊長分別為2厘米和4厘米，高為5厘米，若一只螞蟻要從P點開始出發，沿長方體的表面爬到Q點尋找食物，螞蟻的最短路徑長多少？

螞蟻從P點沿長方體的表面爬到Q點尋找食物有很多條路線。學生會思考先從前面再到上底面;先從下底面再到后面;先從前面再到右面;先從左面再到后面;先從下底面再到右面;先從左面再到上底面六條路線，根據長方體的特點前后兩個面，上下兩個面，左右兩個面分別相等，所以實際上就只有3條路線。引導學生思考還是把立體圖形展成平面圖形，如下圖所示：（圖形略）

圖（1）：經過前面和上底面（或經過下底面和后面）

圖（2）：經過前面和右面（或經過左面和后面）

圖（3）：經過下底面和右面（或經過左面和上底面）（圖形略）

可以依次算出3條路線的長分別為：

ι1= =

ι2= =

ι3= =

通過比較得到第二種最短，觀察發現計算最短路線是：長方體中兩條較短邊和的平方與較大邊的平方的和的算術平方根。這樣可以推廣到一般：若一個長方體的長、寬、高分別為x、y、z，且x>y>z，則螞蟻爬行最短距離為： 。還可以推廣到是一個正方體，正方體的邊長為a則為： a。這兩個式子對學生高考題中涉及到此類題都非常適用，學生可先比較線段大小后直接帶入公式進行計算得出結論，在實際解題中就可套用公式很快解決問題。

趁熱打鐵：

1.如圖（一），長方體長為3cm，寬為2cm，高為1cm，若一只螞蟻要從A點開始出發沿長方體的表面爬到B點尋找食物，爬行的最短路程是 ? ? ? ? ? ? .

2.如圖（二），邊長為2的正方體中，一只螞蟻從頂點A出發沿著正方體的外表面爬到頂點B的最短距離是（ ? ? ）.

A.36 ? ? ? ?B.2 ? ? ? ? C.4 ? ? ? ?D.2

如圖（一）（圖形略） ? ? 如圖（二）（圖形略）

3.如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為200cm、30cm、20cm，A和B是臺階上兩個相對的頂點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，問螞蟻沿著臺階爬行到B點的最短路程是多少？（圖形略）

從上面的例子中可以看出解決初中幾何中螞蟻如何爬距離最短問題，最關鍵是把空間圖形兩點之間的最短路徑問題，轉化為平面圖形中兩點之間線段最短來解決，同時需要全方位考慮各種不同的展平辦法，不能遺漏。