平面向量中的“等勢線”研究

金志春

【摘要】歸納總結了向量共線定理及其推廣的應用，建立了“等勢線”的概念并研究其性質.

【關鍵詞】向量；共線定理；等勢線

向量本身是數與形的完美結合的典范，一方面通過數形結合來研究向量的概念和運算；另一方面.我們又以向量為工具，數形結合地解決數學的有關問題.筆者經過多年的教學發現，向量特別是線性表示運算是學生們較為頭疼的一類問題，本文就這類問題進行闡述，并從蘇教版課本必修四《向量》中一道例題出發，結合多道例題進行探討向量共線定理推廣的應用；該題引出了向量共線定理的推廣，也為我們建立“等勢線”概念奠定了基礎.

圖1原題：如圖1，△OAB中，C為直線AB上一點，若AC=λCB（λ≠-1）.求證：OC=OA+λOB1+λ.

解析因為AC=λCB，

所以OC-OA=λ（OB-OC），

即（1+λ）OC=OA+λOB.

又因為λ≠-1，即1+λ≠0，

所以OC=OA+λOB1+λ.

反之，亦成立.易得到向量共線定理的一個推論（以下簡稱三點共線推論）：設OA，OB是平面內不共線的兩個向量，則點A，B，C三點共線的充要條件是存在唯一一對實數α，β，使得OC=αOA+βOB（α+β=1）.

利用這個推論，可以較為輕松的解決兩類問題：一是求系數和問題，二是求三點共線問題.若我們能利用好此推論，則可以在這兩類問題中省去很多添輔助線和證明過程.本文主要談談第一種問題.

圖2例1如圖2.在ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，若AC=λAE+μAF，其中λ，μ

SymbolNC@ R，λ+μ=.

分析連接EF，BD分別交AC于點H，O.

因為E，F，H三點共線，

所以AH=αAE+βAF（α+β=1）.

易證H為OC中點，所以AH=34AC.

因此AC=43αAE+43βAF.

所以λ+μ=43α+43β=43.

點評這里先由E，F，H三點共線推論得AH用AE和AF線性表示，系數之和為1，再由AH與AC為共線向量，得其線性關系，兩者聯立，大功告成.

圖3例2給定兩個長度為1的平面向量OA，OB，他們的夾角為120°，如圖3所示，點C在以O為圓心的圓弧AB上變動，若OC=xOA+yOB，其中x，y

SymbolNC@ R，則x+y的最大值是.

分析連接AB交OC于點H，

則由因為A，B，H三點共線，

所以OH=αOA+βOB（α+β=1）.

又因為O，C，H三點共線，

所以OH=λOC，λ

SymbolNC@ （0，1]，即OC=αλOA+βλOB.

因此x+y=αλ+βλ=α+βλ=1λ.

且λ=OHOC=|OH|，由O到AB的距離為12知，

λ

SymbolNC@ 12，1.

所以x+y的最大值為2.

事實上，以上兩題的解法也是眾多解法中比較簡單的，然而山外有山，筆者在研究了例題3基礎上，發現一種更為簡潔的解法.

圖4

例3如圖4所示，兩射線OA和OB交于O，給出下列向量：①OA+2OB；②34OA+13OB；③12OA+13OB；④34OA+15OB；⑤34OA-15OB這些向量中以O為起點，終點在陰影區域內的是.（寫出所有符合要求的向量的序號）

分析在AB上取一點P，作射線OP.

在線段OP上取一點P1，線段OP外取一點P2，OP=αOA+βOB，（α+β=1）.

點P2在陰影部分中，由O，P，P2三點共線知，OP2=λOP，

且λ=OP2OP>1，所以OP2=λOP=λαOA+λβOB，

因此系數和λa+λb=λ（α+β）=λ>1所以只能選①②.

同理可得，當點P1線段OP上時，則OP1=μOP=μαOA+μβOB，μ<1，所以系數之和小于1.

將此題進行推廣，當點P取在直線AB上時，OP=xOA+yOB，則x+y=1；當點O，P位于直線AB的兩側時，形成的OP=xOA+yOB，系數和x+y>1；當點O，P位于直線AB的同側時，形成的OP=xOA+yOB，系數和x+y<1.如圖5

圖5圖6圖7

若在AB的平行線CD上任取一點P，如圖6所示，OP=xOA+yOB，則系數和x+y等于一個常數，證明如下：在直線CD上任取一點P′，線段OP，OP′交直線AB于Q，Q′，由平行線分線段成比例可知OPOQ=OP′OQ′=λ，則OP=λOQ=λαOA+λβOB，其中α+β=1，所以系數和x+y=λα+λβ=λ（α+β）=λ；同理可得OP′=OQ′=λsOA+λtOB，其中s+t=1，所以系數和x+y=λs+λt=λ；證畢.

像這樣平行于AB的直線有無數條，筆者把這樣的直線叫做“等勢線”，由上面證明知“等勢線”上任意一點P，OP=xOA+yOB，x，y

SymbolNC@ R，系數和x+y為定值.且點O與“等勢線”位于直線AB兩側時，系數和大于1，兩者距離越遠，系數和越大；當“等勢線”位于直線AB上時，系數和x+y=1；當點O與“等勢線”位于直線AB同側時，要分三種情況進行討論：

①“等勢線”位于點O與直線AB之間時，OPOQ=λ

SymbolNC@ （0，1），則由OP=λOQ=λαOA+λβOB，其中α+β=1，所以系數和x+y=λ

SymbolNC@ （0，1）.

②“等勢線”位于點O，系數和x+y=0.

③點O位于“等勢線”與直線AB之間，如圖7，系數之和x+y=λ<0（λ為定值）.

若將上述結論用于例題1，延長AE交過點C的“等勢線”于點G，則AG=xAE+yAF，由于AG與AE共線，所以y=0，由“等勢線”概念可知，EF//CG，所以AEAG=AHAC=34，因此AG=43AE，最后λ+μ=x+y=43.

例題2也可用“等勢線”性質求解，系數和取得最大值時“等勢線”恰為半圓的切線，由對稱性易得C為AB的中點，連接AC，BC得四邊形OACB為平行四邊形.所以此時OC=OA+OB，系數和x+y=1+1=2.

在此基礎上，筆者發現等勢線的運用起來非常方便，絕大部分系數之和問題可以再很短的時間內看出結論，

課本中的每一個例題、習題的設置都有其目的和作用.體現著本節知識所應達到的能力要求，我們不僅要緊扣課本，認識到認真鉆研課本的重要性，突出課本基礎知識的作用突出課本例題中數學思想方法的挖掘和應用，也要重視課本習題潛在功能的挖掘和利用，指導學生回歸課本，依“綱”固“本”，挖掘課本的潛在功能，對課本典型問題進行引申、推廣，發揮其應有的作用，這與高考命題的“源于課本，高于課本”的理念是相吻合的.