奇素數為什么不可窮盡從對歐幾里得的證明的質疑說起

【摘要】本文以“引子”引出歐幾里得證明的疑點，指出歐氏證明原理不能對“再假設”證明進行下去，對素數中“可窮盡”“不可窮盡”現象不能作出科學解答；以素數中三個不可理解性問題為切入點，找到了素數中“可窮盡”“不可窮盡”現象的根本原因，應用素數的有效排除力原理對“為什么偶素數可窮盡”“為什么個位數為5的奇素數可窮盡”“為什么個位數為1，3，7，9的奇素數不可窮盡”諸問題作出了證明；對歐氏證明的疑點及其原因進行了解讀、分析.

【關鍵詞】歐幾里得；素數；可窮盡；不可窮盡；質疑；證明點

一、引子——鈍夫的質疑

這天，數學教授聰生與數學研究興趣者鈍夫一起討論素數沒有窮盡問題.鈍夫請教說：“假設第48個梅森素數為最后一個素數，即素數至此已窮盡.那你肯定不會認同.但不知你如何來證明我的觀點是錯的.”聰教授笑著說：“早在公元300年前古希臘數學家歐幾里得就已證明了素數沒有窮盡問題.依照歐氏定理和你給出的假設，證明式子是‘k=2×3×5×…×第48個梅森素數+1，k要么是素數，要么是多個素因數相乘的積，k或其素因數都必定是‘集合之外的更大素數，即是比第48個梅森素數還要大的‘更大素數.因此，第48個梅森素數之后素數沒有窮盡.所以，你的觀點是錯的.”鈍夫又誠懇地說：“聰教授，你剛才的證明也許是對的.我深信根據歐氏公式完全可求得比第48個梅森素數還要大的‘更大素數.現我再假設，假設素數至這個‘更大素數已窮盡.毫無疑問，這個‘更大素數不是續接第48個梅森素數之后的下一個素數，也即是說，第48個梅森素數至這個‘更大素數之間必定存在未知的若干個素數.據此，你如何將第48個梅森素數至這個‘更大素數之間的若干素數，按照‘從小到大依次排列呢？假如你不能做到‘從小到大依次排列，那你如何使證明進行下去呢？假如證明不能進行下去，又怎能說對素數沒有窮盡問題作出證明了呢？”鈍夫一連串推理式的連珠炮般的發問，使聰教授完全無言以對.接著，鈍夫將自己的質疑及其因由細說了一遍.之后，一本正經地說：“歐氏證明疑點多多，主要疑點在于：其一，素數沒有窮盡主要體現在素數隨著自然數的不斷擴延而不斷擴延，‘更大素數之后還有比之更大的‘更、更大素數.如以求得‘集合之外的‘更大素數的證明方法來證明素數沒有窮盡問題，其證明方法不僅僅在于求得‘集合之外的‘更大素數，同時還有一個續接證明下去的問題，即以第一次假設求得的‘更大素數為依據提出再假設時，使再假設的證明進行下去.但是，由于歐氏公式所求得的素數只是‘更大素數，而不是續接‘Pn素數之后的下一個素數，違背了其自身設置的‘從小到大依次排列這一條件，因此，歐氏證明在求得‘集合之外的‘更大素數之后，不能對以第一次假設求得的‘更大素數為依據而提出的再假設的證明進行下去.可見，歐幾里得的證明，對素數沒有窮盡問題并沒作出科學證明.其二，事實告訴我們，在沒有窮盡的素數中，偶素數于3起已窮盡，而沒有窮盡的是奇素數；在沒有窮盡的奇素數中，個位數為5的奇素數于6起已窮盡，而沒有窮盡的是個位數為1，3，7，9的奇素數.據此，可以說對素數沒有窮盡問題的證明，應當包括對‘為什么偶素數于3起可窮盡‘為什么個位數為5的奇素數于6起可窮盡‘為什么個位數為1，3，7，9的奇素數不可窮盡諸問題的證明.不是單一的‘沒有窮盡問題的證明.其正確的證明方法，不僅可用于‘不可窮盡問題的證明，而且也可用于‘可窮盡問題的證明.然而，歐氏的證明方法除了可求得‘集合之外的‘更大素數外，不能對素數中‘可窮盡和‘不可窮盡問題作出科學的、正確的解答.僅憑此兩點質疑就可得出結論：歐氏證明只能是求得‘集合之外的‘更大素數的一種證明方法，對素數沒有窮盡問題并沒作出科學證明.”最后，鈍夫十分自信而自豪地說：“鄙人之所以敢于對歐幾里得的證明提出質疑，是因為我找到了素數中‘可窮盡和‘不可窮盡現象的根本原因，發現了其破解的證明方法.”

二、素數沒有窮盡問題的內涵及其證明點

不隱瞞地說，“引子”中的鈍夫就是筆者.筆者之所以敢于提出質疑，是在于發現了歐幾里得沒有真正讀懂素數沒有窮盡問題的內涵，弄錯了素數沒有窮盡問題的證明點.

筆者認為，要對素數沒有窮盡問題作出正確的證明，首先要弄清楚素數沒有窮盡問題的完整內涵和單一內涵，在此基礎上，找準其證明點，即：對素數沒有窮盡問題要作出證明的，是求證素數“集合”之外的“更大素數”，還是對素數中“可窮盡”“不可窮盡”現象作出科學解答？

1.素數沒有窮盡問題的完整內涵和單一內涵

所謂“素數沒有窮盡問題的完整內涵”，是指素數中各種“可窮盡”“不可窮盡”現象所反映出來的若干問題.

所謂“素數沒有窮盡問題的單一內涵”，是指“完整內涵”中具體的、與之最直接的某個問題.

根據素數中“可窮盡”和“不可窮盡”現象，筆者認為，素數沒有窮盡問題的完整內涵應包括“素數為什么不可窮盡”“偶素數為什么于3起已窮盡”“奇素數為什么不可窮盡”“個位數為5的奇素數為什么于6起已窮盡”“個位數為1，3，7，9的奇素數為什么不可窮盡”此五個問題；而素數沒有窮盡問題的單一內涵，具體是指“個位數為1，3，7，9的奇素數為什么不可窮盡”之問題.

2.素數沒有窮盡問題的證明點

筆者認為，不論是從素數沒有窮盡問題的完整內涵來看，還是從素數沒有窮盡問題的單一內涵來看，素數沒有窮盡問題的證明點都不應是求證素數“集合”之外的“更大素數”.而事實也證明這一點.

事實1“沒有窮盡”外延的證明

為使人們真正讀懂素數沒有窮盡問題的證明點不是求證素數“集合”之外的“更大素數”，筆者將歐氏證明原理的應用延伸到對其他數沒有窮盡的證明.我們知道，在自然數這個家族中，自然數、偶數、奇數是沒有窮盡的.如果說，素數沒有窮盡的證明，就是求得“集合”之外的“更大素數”，那么，對自然數、偶數、奇數沒有窮盡的證明，同樣是求得“集合”之外的該類“更大數”.現依照歐氏證明原理作出證明.

例1對自然數沒有窮盡的證明.

設有限個自然數為n，那么，依照歐氏公式得：

K=P1×P2×P3×…×Pn

式中“P1，P2，P3，…，Pn”為自然數從小到大依次排列.K必定是多個自然數相乘之積.K或K的因數必定是“集合”之外的更大自然數.因此，自然數沒有窮盡.此證.

例2對偶數沒有窮盡的證明.

設有限個偶數為n，那么，依照歐氏公式得：

K=P1×P2×P3×…×Pn.

式中“P1，P2，P3，…，Pn”為偶數從小到大依次排列.多個偶數相乘之積必定是偶數.因此，K必定是“集合”之外的更大偶數.所以，偶數沒有窮盡.此證.

例3對奇數沒有窮盡的證明.

設有限個奇數為n，那么，依照歐氏公式得：

K=P1×P2×P3×…×Pn.

式中“P1，P2，P3，…，Pn”為奇數從小到大依次排列.多個奇數相乘之積必定是奇數.因此，K必定是“集合”之外的更大奇數.所以，奇數沒有窮盡.此證.

顯然，以上諸例證明蒼白無力，難以令人信服.

本來，事實已清楚地告訴我們，自然數沒有窮盡是在于更大自然數之后還有比之更大的自然數，永遠只有更大自然數，沒有最后的最大自然數；偶數沒有窮盡是在于更大偶數之后還有比之更大的偶數，永遠只有更大偶數，沒有最后的最大偶數；奇數沒有窮盡是在于更大奇數之后還有比之更大的奇數，永遠只有更大奇數，沒有最后的最大奇數；素數沒有窮盡是在于更大素數之后還有比之更大的素數，永遠只有更大素數，沒有最后的最大素數.既然事實已告訴我們這樣一個結果，那么，以求得“集合”之外的該類“更大數”來證明該類數沒有窮盡問題，這是不是顯得沒有多大實際意義呢？！

事實2素數沒有窮盡現象的證明

現依照歐氏證明原理分別對奇素數以及四支個位數不同的奇素數沒有窮盡問題予以證明，看其結果將會如何.

例1對奇素數沒有窮盡的證明.

設有限個奇素數為n，那么，依照歐氏公式得：

K=P1×P2×P3×…×Pn+2.

式中“P1，P2，P3，…，Pn”為奇素數從小到大依次排列.K必定是多個奇素數相乘之積.K或K的素因數必定是“集合”之外的更大奇素數.因此，奇素數沒有窮盡.此證.

盡管在提法上“奇素數沒有窮盡”比“素數沒有窮盡”更為準確，我想，恐怕數學界的老師們不會認同筆者的證明吧.

例2對四支個位數不同的奇素數沒有窮盡問題的證明.

先推測個位數為1的素數沒有窮盡問題的證明結果.如將n個個位數為1的素數“從小到大依次排列”集于“合”子相乘再加1個其他正整數，可推知，n個個位數為1的素數，其積的個位數必定是1，唯有加上大于1、個位數為0的正整數，其K的個位數方為1，但K的素因數的個位數就未必是1.

再推測個位數為3，7，9的素數沒有窮盡問題的證明結果.可推知，n個個位數為3的素數相乘，其積的個位數是循著“9，7，1，3”次序變化的；n個個位數為7的素數相乘，其積的個位數是循著“9，3，1，7”次序變化的；n個個位數為9的素數相乘，其積的個位數是循著“1，9，1，9”次序變化的.由此可知，n個個位數為3，7，9的奇數相乘，其積加任何1個正整數，其K的個位數都是有變化的，其K的素因數的個位數同樣是有變化的.

可見，依照歐氏證明原理分別對個位數為1，3，7，9的奇素數沒有窮盡問題作出證明，不可能找到正確答案.從而證明歐幾里得對素數沒有窮盡問題不能作出科學證明.

事實3對素數中“可窮盡”現象分析的答案

近年科學研究表明，一些動物走向滅絕，不是這些動物繁衍能力出現了問題，而是人類大量捕殺所致，亦即人類對這些動物的捕殺量大于這些動物的繁衍生存量.筆者由此聯想到素數沒有窮盡問題.自然數的不斷擴延好比動物繁衍，被排除出去的自然數（即是合數的自然數，下同）的量好比人類對動物的捕殺量.很顯然，假如排除出去的自然數的量大于或等于自然數的擴延量，那么，素數必定窮盡，唯有在排除出去的自然數的量小于自然數的擴延量的條件下，素數才有可能沒有窮盡.而事實也正是如此.

經分析，偶素數之所以于3起已窮盡，是因為所有大于2的偶數均為合數而全部被清除出素數之外；同理，個位數為5的奇素數之所以于6起已窮盡，是因為所有大于6的個位數為5的奇數均為合數而全部被清除出素數之外.即是說，兩者的被排除的量等于擴延的量.

由此可推知，素數沒有窮盡與一種排除力有著密切聯系.由此可見，素數沒有窮盡問題的證明點，并不是尋求“素數集合”之外的“更大素數”的證明，而是尋求對素數中“可窮盡”“不可窮盡”現象作出正確解答的證明，也就是求證將合數排除出素數之外的這種排除力的證明.筆者正是以此作為破解的關鍵點，以素數中三種不可理解現象為切入點，從中發現素數中“可窮盡”和“不可窮盡”現象的根本原因，找到正確的證明方法.

三、素數中“可窮盡”和“不可窮盡”現象的根本原因及破解思路

1.破題的切入點——素數中三個不可理解現象

不可理解1如將素數排除的量記為n[]P，那么，按照“n[]P1+n[]P2+n[]P3+…+n[]Pm”等式計算，素數于自然數30起就應窮盡.因為，30[]2+30[]3+30[]5>30.可事實告訴我們，素數不但沒能于30起窮盡，甚至于3000030000之后都不可能窮盡.這是為什么？

不可理解21個偶素數2可做到將大于2的偶數全部有效排除出素數之外，使偶素數于3起已窮盡，而無數多個奇素數卻沒能做到將某個高位奇數起的奇數全部有效排除出素數之外，使奇素數于此窮盡，進而使素數也隨之窮盡.這是為什么？

不可理解33和5兩奇素數可做到將大于5、個位數為5的奇數全部有效排除出素數之外，使個位數為5的奇素數于6起已窮盡，而7起的奇素數不僅不能做到將個位數為1，3，7，9的奇數于某高位數起全部有效排除出素數之外，使之窮盡，甚至不能做到將個位數為1，3，7，9其中之一的奇數于某高位數起全部有效排除出素數之外，使之窮盡.這是為什么？

筆者認為，分析此三種不可理解現象，從中找出其根本原因，這正是破題的切入點.

2.關于除數的分類

筆者研究結果表明，上述三種不可理解現象，與除數的有效排除作用有著密切聯系.這里說的除數，是指自然數中合數的約數（也叫因子）.從數學除法算式來說，合數的約數即是除數.合數之所以是非素數，是因為可被它的約數（即除數）整除而排除出素數之外.而這“除數”既有合數，也有素數.那么，真正起到排除作用的究竟是合數還是素數呢？（換言之，誰才是“第一刀”將合數“捅死斃命”的“真正兇手”呢？）這是必須弄清楚的問題.現舉例分析.

以合數60為例，除1和60外，其可被2，3，4，5，6，10，12，15，20，30共10個數整除.在此10個除數中，2是將60排除出素數的第一位除數，才是起到有效排除作用的除數，3與5是于2之后將60重復排除出素數的除數，為重復排除的除數，而4，6，10，12，15，20，30此7個除數，雖對60可以整除，由于其本身也是可被2，3，5整除的合數，因此，就將60排除出素數這點來說，實際上它們起到的是“零作用”，故為無關排除的除數.筆者根據除數所起到的作用之不同，將除數分為三類：

之一，“有效排除的除數”，是指將某個自然數排除出素數之外的除數中依序排在首位的非合數除數.

之二，“重復排除的除數”，是依序排在首位除數之后的非合數除數.

之三，“無關排除的除數”，是指除數中的合數.

可見，在將合數排除出素數之外中真正起到有效排除作用的是素數，而且是排在前面的第一個素數.筆者將此稱之為“素數的有效排除作用”.事實證明，素數之所以不可窮盡，其原因是在于素數將合數排除出素數之外的過程中，并非是全部為真正意義上的有效排除，這當中還存在重復排除和無關排除.正是重復排除和無關排除的存在，使得素數有著不可窮盡的空間.

3.素數的有效排除線及其作用意義

定義1素數是指不能被小于等于該自然數平方根的素數整除的自然數.這是筆者根據對素數的研究成果而下的定義.

筆者根據素數產生條件之不同，將素數分為“原生素數”和“新生素數”兩部分.2與3稱之為“原生素數”或“自然素數”.因為，2，3這兩個數的平方根處于大于1小于2之間，不存在經能否被其他素數整除這個驗證環節，是原本天生的素數.依序排在2，3之后的素數稱之為“新生素數”或“非原生素數”.因為，它們均要經能否被2，3以及其他素數整除這個驗證環節，相對于2，3來說，是屬于新產生的素數.

定義2素數的有效排除線是指一個素數作為除數，將被其整除的自然數有效排除出素數之外的起點線，亦是一個素數起到有效排除作用的起始自然數.

為精簡文字，本文將“起到有效排除作用的素數”簡稱為“起效素數”，“擴延范圍”簡稱為“擴圍”.

（1）素數的有效排除線

素數將被其整除的合數排除出素數之外可分為有效排除和重復排除，而真正起到有效排除作用的是排在前面的第一個素數.那么，就具體到每一個素數來說，其有效排除線該從哪個自然數算起呢？筆者根據“素數是指不能被小于等于該自然數平方根的素數整除的自然數”這一定義的規則，遵循自然數和素數循序逐增的原理，將素數的平方數定為該素數的有效排除線，即為該素數起到有效排除作用的起始自然數.如素數2，其有效排除線從2的平方數4算起；素數3，其有效排除線從3的平方數9算起；素數5，其有效排除線從5的平方數25算起，其余依此類推.

在此，需說清楚的，一個素數將被其整除的自然數有效排除出素數之外的起點線，雖是從其平方算起，但并非說，有效排除線起可被該素數整除的所有自然數都算作其有效排除，還得看該素數是不是依序排在除數中首位，如是方能算作其有效排除，否則算作其重復排除.如數45，可被素數3，5整除，3是依序排在除數中首位，5是第二位，因此，雖5的有效排除線從25算起，但45被排除出素數之外，不能算作5的有效排除，應算作3的有效排除，算作5的重復排除.

在此，還需說清楚的，偶素數2，因其是首位素數，故其只存在有效排除，不存在重復排除.奇素數3，因其是首位奇素數，故對可被其整除的奇數，只存在有效排除，不存在重復排除，相反，對可被其整除的偶數只存在重復排除，卻不存在有效排除.2，3之后的所有新生素數，對可被其整除的自然數，均有有效排除和重復排除之分.

（2）素數的有效排除線的三個重要作用意義

意義1標志著1個起效素數于此線起要發揮有效排除作用

如，4是素數2的有效排除線，那么，表明從數4起，素數2對可被其整除的自然數要進行有效排除；再如，9是素數3的有效排除線，那么，表明從數9起，素數3對可被其整除的奇數要進行有效排除；又如，25是素數5的有效排除線，那么，表明從數25起，素數5對可被其整除、又不能被前素數整除的自然數要進行有效排除.余例不一一詳舉.

現將各個素數的有效排除線數字連接為自然數擴延線，并在擴延線的有效排除線數字下面相對應標示出起效素數（見圖1），可看出：

由素數的有效排除線連

接形成的自然數擴延線[]4→9→25→49→121→169→289→361→…

依序出現的起效素數[]235711131719…

圖1

起效素數在量上是隨著自然數的不斷擴延而循著1個→2個→3個→4個→5個→6個→…的次序逐增.這就是起效素數的循序逐增規律.

意義2對此線前的所剩留的自然數就是新生素數的認定

偶數2是首位素數，其有效排除線是4，而第二個素數3的有效排除線為9，可知在素數3的有效排除線9前的自然數為4至8，經素數2的有效排除后，剩有5，7此兩個數，那么，5，7此兩個數便是新生素數.再比如，25是5的有效排除線，已知9起至25之前的自然數為9至24，經素數2，3的有效排除后，剩有11，13，17，19，23共5個數，那么，此5個數便是繼5，7之后的新生素數.余例略.

事實表明，對于素數的平方數，可以這樣說，向前看，它是素數的有效排除線；向后看，它是新生素數認定線.

意義3是合理設置自然數擴延范圍及擴延范圍單位的重要依據

4.張爾光素數篩法

所謂“張爾光素數篩法”，是指張爾光為求證素數有效排除力而創立的將合數自然數有效排除出素數之外的一種方法.

從圖2、圖3、圖4的證明中，可歸納出張爾光素數篩法有以下特點：

特點1將素數的平方數設定為“素數有效排除線”和“素數確定線”，準確表達了該素數與小于該素數平方根的素數之間的關系，表明所有新生素數均是不能被小于其平方根的素數整除的自然數.

特點2科學設置起效素數的擴圍單位，使自然數擴延的量與該起效素數的有效排除的量的比率，成為求得素數有效排除力的可靠依據.

特點3起效素數依照從小到大次序“登場”，體現了起效素數循序逐增原理，且從排除結果中又可看到新生素數的循序逐增規律.

特點4只篩去“前起效素數進行有效排除后所剩留的自然數乘于起效素數之積（即這部分合數自然數）”，避免了重復排除、無關排除，準確表達了起效素數的有效排除.

5.素數的有效排除力及證明方法

定義3素數有效排除力是指素數作為除數，將可被其整除的自然數排除出素數之外的實際能力，是素數有效排除的自然數的量占自然數總量的比率的反映.

素數的有效排除力，可分單個素數的有效排除力和整體素數的有效排除力.求得單個素數的有效排除力的方法是：應用循序逐增原理，設定每個起效素數的自然數擴圍單位（以起效素數依序連乘之積為擴圍單位的自然數的量），然后驗證每擴圍單位被該起效素數有效排除的自然數的量，擴圍單位的自然數的量與被該起效素數有效排除的自然數的量的比率，就是該起效素數的有效排除力.整體素數的有效排除力，即是單個素數有效排除力相加總和.

現舉例對單個素數的有效排除力進行證明.

例證1求證素數2的有效排除力.

已知2的有效排除線為4.第一步，設定2的自然數擴圍單位.因2是首位素數，故2的自然數擴圍單位為2個自然數（見圖2）.

第二步，依次將2起的自然數跟起效素數2相乘之積（即可被2整除的自然數）劃去（見圖2）；圖2

第三步，驗證.從圖2看出，每個擴圍可被2整除而有效排除的自然數為1個.那么，得：

素數2的有效排除力為1[]2×3=1[]6.

這個數字表明，從數4起，每2個自然數中，就有1個被素數2有效排除出素數之外.假設4起的自然數總量為1（即100%），那么，1[]2×100%=50%.表明從數4起，素數2可將50%的自然數有效排除出素數之外.

圖3

例證2求證素數3的有效排除力.

已知3的有效排除線為9.第一步，設定3的自然數擴圍單位.因2×3=6，故3的自然數擴圍單位為6個自然數（見圖3）注：（圖中方框數是被前素數整除的數）.

第二步，依次將經素數2有效排除后剩留的自然數跟起效素數3相乘之積（即可被3整除的自然數）劃去（見圖3）.

第三步，驗證.從圖3看出，每個擴圍可被3整除而有效排除的自然數為1個.那么，得：

素數3的有效排除力為：1[]2×3=1[]6.

這個數字表明，從數9起，每6個自然數中，就有1個被素數3有效排除出素數之外.假設9起的自然數總量為1（即100%），那么，1[]6×100%≈16.6667%.表明從數9起，素數3可將16.6667%的自然數有效排除出素數之外.

例證3求證素數5的有效排除力.

已知5的有效排除線為25.第一步，設定5的自然數擴圍單位.因2×3×5=30，故5的自然數擴圍單位為30個自然數（見圖4）.（注：圖中偶數略，方框數是被前素數整除的數）

圖4

第二步，依次將經素數2，3有效排除后剩留的自然數跟起效素數5相乘之積（可被5整除的自然數）劃去（見圖4）.

第三步，驗證.從圖4看出，每個擴圍可被5整除而有效排除的自然數為2個.那么，得：

素數5的有效排除力為：2[]2×3×5=2[]30.

這個數字表明，從數25起，每30個自然數中，就有2個被素數5有效排除出素數之外.假設25起的自然數總量為1（即100%），那么，1[]6×100%≈6.6667%.表明從數25起，素數5可將6.6667%的自然數有效排除出素數之外.

余例不一一詳舉.

為使人們能更好地理解素數的有效排除力及其規律，筆者將素數2至23的有效排除力匯制了一個表（見表1）.只要將表中各欄目數字做比較分析，就會發現三個規律.

表1素數2至23的有效排除力的統計表

序號[]起效素數[]有效排除線[]自然數擴圍單位設定[]每個擴圍

規律1素數有效排除后自然數的“剩留的量”的續接規律.

從表1看出，素數2的“剩留的量”1個，記作為“（2-1）”；素數3的“剩留的量”2個，記作為“（2-1）×（3-1）”；素數5的“剩留的量”8個，記作為“（2-1）×（3-1）×（5-1）”，其余依此類推.

“剩留的量”的續接規律可用下圖（即圖5）表達出來.

起效素數[]2357P

自然數剩留的量[]（2-1）×（3-1）×（5-1）×（7-1）×…×（P-1）

圖5

規律2“本素數有效排除”的量，正是上個素數的“剩留的量”.

如素數3，其“本素數有效排除”的量，正是上個素數2的“剩留的量”1個；素數5的“本素數有效排除”的量，正是上個素數3的“剩留的量”2個；素數7的“本素數有效排除”的量，正是上個素數5的“剩留的量”8個，余此類推.

根據此規律，又已知各個起效素數的自然數擴圍單位的量為起效素數依序連乘之積，那么，可求得各個素數的有效排除力定理：

素數2的有效排除力為：1[]2

素數3的有效排除力為：2-1[]2×3=1[]6

素數5的有效排除力為：（2-1）×（3-1）[]2×3×5=2[]30

素數7的有效排除力為：（2-1）×（3-1）×（5-1）[]2×3×5×7=8[]210

其余依此類推.

依照循序逐增原理和相對應的原則，素數的有效排除力定理可表達為：

素數的有效排除力定理表明：素數越小，其有效排除力越強；素數越大，其有效排除力越弱.

1×（2-1）×（3-1）×（5-1）×（7-1）×…×（P的上個素數-1）[]2×3×5×7×11×…×P

素數有效排除力總和=1[]2+2-1[]2×3+（2-1）×（3-1）[]2×3×5+（2-1）×（3-1）×（5-1）[]2×3×5×7[SX）]+…+（2-1）×（3-1）×（5-1）×…×（P的上個素數-1）[]2×3×5×7×…×P.

根據各素數的有效排除力定理，可求得整體素數的有效排除力總和定理，即：

規律3“自然數的量”大于“被有效排除的量”，而“被有效排除的量”大于“剩留的量”.其定理為：

2×3×5×…×P>{[2×3×5×…×P]-[（2-1）×（3-1）×（5-1）×…×（P-1）]}>[（2-1）×（3-1）×（5-1）×…×（P-1）].

此定理從一個側面證明了素數沒有窮盡的問題.

6.對素數中“可窮盡”和“不可窮盡”問題的證明

證明1對素數沒有窮盡問題的證明.

首先，將自然數整體（包含于某高位數起的自然數整體）設為1，那么，擴圍的“自然數的量”可表達為“1=”.“1-1=0”等式告訴我們，要做到將于某高位數起的自然數全部（即100%）有效地排除出素數之外，整體素數的有效排除力也必須達到1（即100%）.

根據上面求證到的“素數有效排除力總和定理”可推知：

1×2×3×5×7×…P[]1×2×3×5×7×…×P>1[]2+2-1[]2×3+（2-1）×（3-1）[]2×3×5+（2-1）×（3-1）×（5-1）[]2×3×5×7+…+（2-1）×（3-1）×（5-1）×…×（P的上個素數-1）[]2×3×5×7×…×P.

“整體素數的有效排除力總和<1×2×3×5×7×…×P[]1×2×3×5×7×…×P”表明，自然數于某高位數起不可能被素數全部有效排除出素數之外，所以，素數不可窮盡.此證.

此證明跟“1>1[]2+1[]4+1[]8+…+1[]2n”證明的原理極相近.

證明2對“偶素數可窮盡問題”的證明.

已知偶素數2的有效排除力為1[]2，設3起的偶數總量為自然數總量的1[]2，那么，得：1[]2-1[]2=0.

所以，偶素數2的有效排除力可將大于2的偶數全部有效排除出素數之外，使偶素數于3起窮盡.此證1.

證明方法2已知自然數自4起，每2個自然數中有1個偶數，記作1[]2，又知偶素數2的有效排除力為1[]2.那么，得：1[]2-1[]2=0.所以，偶素數2的有效排除力可將4起自然數中的所有偶數全部有效排除出素數之外，使偶素數于3起窮盡.此證2.

證明3對“個位數為5的奇素數可窮盡問題”的證明.

已知素數5的自然數擴圍單位為30（即2×3×5=30）個自然數，從6起每30個自然數中，個位數為5的自然數共有3個，表為3[]30.其中，可被3有效排除的1個（見前文圖3），表為1[]30，可被5有效排除的2個（見前文圖4），表為1[]30.那么，得：3[]30-1[]30+2[]30=3[]30-3[]30=0.

所以，素數3和5可將6起的個位數為5的自然數全部有效排除出素數之外，使個位數為5的奇素數于6起窮盡.此證1.

證明方法2已知經素數2，3的有效排除后，從25起每30個自然數中剩有個位數為5的奇數為2個，記作2[]30，又知素數5的有效排除力為2[]30.那么，得：2[]30-2[]30=0.

所以，素數5可將經素數2，3有效排除后剩留的個位數為5的奇數，全部有效排除出素數之外，使個位數為5的奇素數于6起窮盡.此證2.

證明4對“奇素數不可窮盡問題”的證明.

將于某高位數起的奇數整體設為1[]2.如要做到將某高位數起的奇數全部有效地排除出素數之外，奇素數的有效排出力總和須等于“1[]2”.已知整體素數的有效排除力總和<1，減去偶素數2的有效排除力1[]2，求得奇素數的有效排除力總和.據此，可推知：

1-1[]2>1[]2+2-1[]2×3+（2-1）×（3-1）[]2×3×5+（2-1）×（3-1）×（5-1）[]2×3×5×7+…+（2-1）×（3-1）×（5-1）×…×（P的上個素數-1）[]2×3×5×7×…×P

1[]2>2-1[]2×3+（2-1）×（3-1）[]2×3×5+（2-1）×（3-1）×（5-1）[]2×3×5×7+…+（2-1）×（3-1）×（5-1）×…×（P的上個素數-1）[]2×3×5×7×…×P

得：

因此，奇素數不能做到將某高位數起的奇數全部有效排除出素數之外，使奇素數窮盡.因奇素數是不可窮盡，所以，素數不可窮盡.此證1.

此證明跟“1[]2>1[]4+1[]8+1[]16+…+1[]2n”證明的原理極相近.

證明方法2設奇數總量為數9起的自然數總量的1[]2.又知，奇素數的有效排除力總和為“素數的有效排除力總和減去偶素數2的有效排除力1[]2”，即：（<1）-1[]2=<1[]2.

那么，得：1[]2-<1[]2=（>0）.

所以，奇素數不能做到將某高位數起的奇數全部有效排除出素數之外，使奇素數窮盡.因奇素數是不可窮盡，所以，素數不可窮盡.此證2.

證明5對“個位數為1，3，7，9的奇素數不可窮盡問題”的證明.

從上文圖2、圖3、圖4可看出，經2，3，5的有效排除后，在剩留的自然數中，自然數的整體結構已發生了變化，已沒有偶數和個位數為5的奇數，全為個位數為1，3，7，9的奇數.

由此可知，當素數7起到有效排除作用時，自數49起，每30個自然數中，剩有個位數為1，3，7，9的奇數共8個，即為自然數總量的8[]30，而個位數為1，3，7，9的奇數各2個，即各為自然數總量的2[]30.這就告訴我們，個位數為1，3，7，9的素數于某高位數起能否窮盡，完全在于7起的素數整體的有效排除力總和是否大于或等于8[]30.如是，則必窮盡，如否，則證明不可窮盡.現予以證明：

已知素數2，3，5的有效排除力之和為1[]2+1[]6+2[]30=22[]30，又知素數整體有效排除力總和>100%，據此可求得7起素數整體有效排除力總和為：

>100[]100-22[]30=>8[]30

已知經2，3，5的有效排除后，個位數為1，3，7，9的奇數