計(jì)算機(jī)模擬在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

常春 張舒

【摘要】本文主要闡述了如何利用計(jì)算機(jī)模擬來解決數(shù)學(xué)建模中的實(shí)際問題.首先，提出問題，根據(jù)問題的具體模式對其進(jìn)行分析整理.其次，對上述問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模.然后，利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬，主要分為隨機(jī)模擬（蒙特—卡洛方法）、離散系統(tǒng)模擬和連續(xù)系統(tǒng)模擬三種類型.最后對結(jié)果進(jìn)行分析，說明計(jì)算機(jī)模擬方法在數(shù)學(xué)建模中的有效性.

【關(guān)鍵詞】計(jì)算機(jī)模擬；數(shù)學(xué)建模；隨機(jī)模擬；離散系統(tǒng)

【中圖分類號(hào)】O242【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

一、引言

模型（Model）和模型建構(gòu)（Modeling）不僅僅是科學(xué)理論體系中的重要內(nèi)容，也是我們認(rèn)識(shí)世界的重要工具和方法.計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展給許多學(xué)科帶來了巨大的影響，計(jì)算機(jī)使問題的求解變得更加簡單方便，同時(shí)，也使解決問題的領(lǐng)域變得更加寬泛.計(jì)算機(jī)適合解決不確定、規(guī)模大且難以解析化的數(shù)學(xué)模型.例如，對于一些帶隨機(jī)因素的復(fù)雜系統(tǒng)的問題，建模之前常需要做一些簡化假設(shè)，這可能導(dǎo)致與實(shí)際情況相距甚遠(yuǎn)，解答無法應(yīng)用.此時(shí)，利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬幾乎成為了唯一的選擇.在歷屆全國和國際大學(xué)生數(shù)學(xué)建模比賽（MCM/ICM）中，計(jì)算機(jī)模擬常用于去求解、檢驗(yàn)，是建模過程中非常重要的一種方法[1].

一般地，計(jì)算機(jī)模擬在以下幾種情況中能有效解決問題：

（1）難以在實(shí)際環(huán)境中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)和觀察，只能用計(jì)算機(jī)模擬，比如太空飛行的研究；

（2）需要在短時(shí)間內(nèi)觀察到系統(tǒng)發(fā)展的全過程，用來估計(jì)某些參數(shù)對系統(tǒng)變化的影響；

（3）需要對系統(tǒng)進(jìn)行長時(shí)間觀察、運(yùn)行比較，從大量方案中尋求最優(yōu)方案；

（4）難以用解析式表示的系統(tǒng)；

（5）雖然有解析式，但是分析、計(jì)算過程過于復(fù)雜，只能借助計(jì)算機(jī)模擬來提供簡單可行的方法.

在通常情況下，計(jì)算機(jī)模擬是按時(shí)間來劃分的，因?yàn)橛?jì)算機(jī)模擬實(shí)質(zhì)上是系統(tǒng)隨時(shí)間變化而變化的動(dòng)態(tài)寫照.目前，計(jì)算機(jī)模擬大致可以分為隨機(jī)模擬（蒙特—卡洛方法）、離散系統(tǒng)模擬和連續(xù)系統(tǒng)模擬三類.其中，蒙特—卡洛（MontoCarlo）方法是典型的靜態(tài)模擬；離散系統(tǒng)模擬和連續(xù)系統(tǒng)模擬是屬于動(dòng)態(tài)模擬.下面將就具體問題討論這三種數(shù)學(xué)建模競賽中經(jīng)常用到的模擬方法.

二、問題的定義與分類

數(shù)學(xué)建模的第一步，就是提出問題，對具體問題進(jìn)行分析、整理與歸類.

1.問題的定義

問題是指不能直接利用已有知識(shí)處理，但是可以間接用已有知識(shí)處理的情境[2].

2.問題的分類

根據(jù)計(jì)算機(jī)模擬的種類，問題主要可以分為以下三種模式：非線性規(guī)劃問題、離散系統(tǒng)問題和連續(xù)系統(tǒng)問題三種類型.下面舉例說明一下這三種不同類型的問題.

（1）非線性規(guī)劃（nonlinearprogramming）問題

非線性規(guī)劃是具有非線性約束條件或目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)規(guī)劃，研究一個(gè)n元實(shí)函數(shù)在一組等式或不等式的約束條件下的極值問題，且目標(biāo)函數(shù)和約束條件至少有一個(gè)是未知量的非線性函數(shù).

例1非線性規(guī)劃問題

minf（x）x∈En.s.t.gi（x）≥0i=1，2，…，m.aj≤xj≤bjj=1，2，…，n.

（2）離散系統(tǒng)（discretesystem）問題

離散系統(tǒng)是指系統(tǒng)狀態(tài)只在有限的時(shí)間點(diǎn)或可數(shù)的時(shí)間點(diǎn)上有隨機(jī)事件發(fā)生的系統(tǒng).

例如排隊(duì)系統(tǒng)，顯然，狀態(tài)量的變化只是在離散的隨機(jī)事件點(diǎn)上完成.假設(shè)離散系統(tǒng)狀態(tài)的變化是在一個(gè)時(shí)間點(diǎn)上瞬間完成的.

例2離散系統(tǒng)問題：庫存問題

在銷售部門、工廠等領(lǐng)域中都存在庫存問題，庫存太多造成浪費(fèi)以及資金積壓，庫存太少不能滿足需求也會(huì)造成損失.部門的工作人員需決定何時(shí)進(jìn)貨，進(jìn)多少，使得所花費(fèi)的平均費(fèi)用最少，而收益最大，這就是庫存問題.

某企業(yè)當(dāng)天生產(chǎn)的產(chǎn)品必須售出，否則就會(huì)變質(zhì).該產(chǎn)品單位成本為2.5元，單位產(chǎn)品售價(jià)為5元.企業(yè)為避免存貨過多而造成損失，擬從以下2種庫存方案中選出一個(gè)較優(yōu)的方案：

方案甲：按前1天的銷售量作為當(dāng)天的庫存量；

方案乙：按前2天的平均銷售量作為當(dāng)天的庫存量.

（3）連續(xù)系統(tǒng)（continuoussystem）問題

連續(xù)系統(tǒng)是指時(shí)間和各個(gè)組成部分的變量都具有連續(xù)變化形式的系統(tǒng).例如自動(dòng)控制系統(tǒng)，只有當(dāng)受控過程和控制方式同時(shí)為連續(xù)時(shí)的系統(tǒng)才稱為連續(xù)控制系統(tǒng).

例3連續(xù)系統(tǒng)問題：追逐問題

追逐問題如圖，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)各有一人.在某一時(shí)刻，四人同時(shí)出發(fā)以勻速v=1m/s按順時(shí)針方向追逐下一人，如果他們始終保持對準(zhǔn)目標(biāo)，則最終按螺旋狀曲線交匯于中心點(diǎn)O.試求出這種情況下每個(gè)人的行進(jìn)軌跡.

三、模型的建立與計(jì)算機(jī)模擬

1.隨機(jī)模擬（蒙特—卡洛方法）

（1）蒙特—卡洛（MontoCarlo）方法簡介

蒙特—卡洛（MontoCarlo）方法（或稱隨機(jī)模擬法），是計(jì)算機(jī)模擬的基礎(chǔ)，源于1977年法國科學(xué)家蒲豐提出的一種計(jì)算圓周率π的方法—隨機(jī)投針法，即著名的蒲豐投針問題[3].蒙特—卡洛方法的基本思想，是建立一個(gè)概率模型，使所求問題的解正好是該模型的參數(shù)或其他有關(guān)的特征量.然后，通過模擬多次隨機(jī)抽樣實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)出某事件發(fā)生的百分比.只要實(shí)驗(yàn)次數(shù)n很大，該百分比便近似于事件發(fā)生的概率.蒙特—卡洛方法屬于試驗(yàn)數(shù)學(xué)的一個(gè)分支.

（2）模型建立

例1中，對于非線性規(guī)劃問題

minf（x），x∈En.

s.t.gi（x）≥0（i=1，2，…，m）.

aj≤xj≤bj（j=1，2，…，n）.

用蒙特—卡洛方法求解的基本思想是，在估計(jì)的區(qū)域{（x1，x2，……，xn）|xj∈[aj，bj]，j=1，2，……，n}.

內(nèi)隨機(jī)取若干個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，然后從試驗(yàn)點(diǎn)中找出可行點(diǎn)，再從可行點(diǎn)中選擇最小點(diǎn).

假設(shè)試驗(yàn)點(diǎn)的第j個(gè)分量xj服從[aj，bj]內(nèi)的均勻分布.

符號(hào)假設(shè)

P：試驗(yàn)點(diǎn)總數(shù)；maxP：最大試驗(yàn)點(diǎn)總數(shù)；

K：可行點(diǎn)總數(shù)；maxK：最大可行點(diǎn)數(shù)；

X：迭代產(chǎn)生的最優(yōu)點(diǎn)；

Q：迭代產(chǎn)生的最小值f（X），其初始值為計(jì)算機(jī)所能表示的最大數(shù).

2.離散系統(tǒng)模擬

離散系統(tǒng)模擬是指對離散系統(tǒng)，即系統(tǒng)狀態(tài)只在有限的時(shí)間點(diǎn)或可數(shù)的時(shí)間點(diǎn)上有隨機(jī)事件發(fā)生的系統(tǒng)進(jìn)行模擬.例如排隊(duì)系統(tǒng).本文例2中討論某企業(yè)生產(chǎn)的庫存系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)模擬方法，這是排隊(duì)系統(tǒng)的一個(gè)典型例子.下面對例2中的問題進(jìn)行分析模擬：

（1）模型建立

假定市場對該產(chǎn)品的每天需求量是一個(gè)隨機(jī)變量，并且從以往的統(tǒng)計(jì)分析得知它服從正態(tài)分布：N（135，22.4）.

計(jì)算機(jī)模擬的思路如下：

一、獲得市場對該產(chǎn)品需求量的數(shù)據(jù)；

二、計(jì)算出按照2種不同方案，經(jīng)T天后企業(yè)所得的利潤值；

三、比較大小，并從中選出一個(gè)更優(yōu)的方案.

引入下列記號(hào)：

D：每天需求量；

Q1：方案甲當(dāng)天的庫存量；

Q2：方案甲當(dāng)天的庫存量；

S1：方案甲前1天的銷售量；

S21：方案乙前1天的銷售量；

S22：方案乙前2天的銷售量；

S3：方案甲當(dāng)天實(shí)際銷售量；

S4：方案乙當(dāng)天實(shí)際銷售量；

L1：方案甲當(dāng)天的利潤；

L2：方案乙當(dāng)天的利潤；

TL1：方案甲累計(jì)總利潤；

TL2：方案甲累計(jì)總利潤；

T：預(yù)定模擬天數(shù).

（2）模型的求解

利用Matlab編程來實(shí)現(xiàn)這一過程，這需要建立如下的M-文件：

function[TL1，TL2]=kucun（T，S1，S21，S22）

TL1=0；TL2=0；k=1；

whilek

Q1=S1；Q2=（S21+S22）/2；

D=normrnd（135，22.4）；

ifD

S3=Q1；

else

S3=D；

end

ifD

S4=Q2；

else

S4=D；

end

L1=5*S3-2.5*Q1；L2=5*S4-2.5*Q2；

TL1=TL1+L1；TL2=TL2+L2；

k=k+1；

end

S1=S3；S22=S21；S21=S4；

給出一個(gè)初值，反復(fù)運(yùn)行上述程序，通過比較最后可得出每一個(gè)方案的優(yōu)劣.計(jì)算機(jī)模擬在排隊(duì)系統(tǒng)中其他方面如加工制造系統(tǒng)、訂票系統(tǒng)、計(jì)算機(jī)系統(tǒng)、交通控制系統(tǒng)等，都有廣泛的應(yīng)用.

3.連續(xù)系統(tǒng)模擬

對連續(xù)系統(tǒng)的模擬，實(shí)際上是將連續(xù)狀態(tài)變量在時(shí)間上進(jìn)行離散化處理，并由此模擬系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài).下面對例3中的問題進(jìn)行分析模擬：

（1）模型建立

a.建平面直角坐標(biāo)系A(chǔ)（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）.

b.取時(shí)間間隔為Δt，計(jì)算每一點(diǎn)在各個(gè)時(shí)刻的坐標(biāo).

設(shè)某點(diǎn)在t時(shí)刻的坐標(biāo)為（xi，yi），則在t+Δt時(shí)刻的坐標(biāo)為（xi+vΔtcosα，yi+vΔtsinα），

其中cosα=xi+1-xid，sinα=yi+1-yid，

d=（xi+1-xi）2+（yi+1-yi）2.

c.取足夠小的ε，當(dāng)d<ε時(shí)結(jié)束算法.

d.連接每一個(gè)點(diǎn)在各個(gè)時(shí)刻的位置，即得所求運(yùn)動(dòng)軌跡（如圖2）.

（2）模型的求解

利用Matlab編程來實(shí)現(xiàn)這一過程，這需要建立如下的M-文件：

v=1；dt=0.05；x=[001010]；x=[010100]；fori=1：4plot（x（i），y（i），'.'），holdonendd=20；while（d>0.1）x（5）=x（1）；y（5）=y（1）；fori=1：4d=sqrt（（x（i+1）-x（i））^2+（y（i+1）-y（i））^2）；x（i）=x（i）+v*dt*（x（i+1）-x（i））/d；y（i）=y（i）+v*dt*（y（i+1）-y（i））/d；plot（x（i），y（i），'.'），holdonendend

四、結(jié)果分析

對以上各個(gè)例子中的結(jié)果進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)計(jì)算機(jī)模擬的結(jié)果能更加真實(shí)的表現(xiàn)系統(tǒng)實(shí)際的動(dòng)態(tài)變換過程.事實(shí)上，還有很多實(shí)際問題都可以用計(jì)算機(jī)模擬來解決，如背包問題、安排比賽選手的比賽日程、三國時(shí)期的“華容道”問題等等都可以用計(jì)算機(jī)模擬來解決.

總之，使用計(jì)算機(jī)模擬來進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，可以使求解更加快捷、方便和精確，另外，也使得解決問題的領(lǐng)域擴(kuò)大，從離散、連續(xù)確定性領(lǐng)域延伸到隨機(jī)的非確定性領(lǐng)域，計(jì)算機(jī)模擬正是處理此類問題的重要方法.

【參考文獻(xiàn)】

[1]謝國瑞，郝志峰，汪國祥.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2]王沫然.Matlab7.0與科學(xué)計(jì)算[M].北京：電子工業(yè)出版社，2011.

[3]趙靜，但琦，嚴(yán)尚安，等.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京：高等教育出版社，2010.