淺談平面向量數量積求解的幾種途徑

魏智琴

【摘要】平面向量數量積是平面向量一章中的重要內容，是高中數學三角函數、平面幾何、解析幾何等章節知識的交匯點，也是高考重點考查的知識，許多學生在解此類題時感覺困難，究其原因，就是學生對數量積的概念理解不透徹，下面就求解方法歸納如下.

【關鍵詞】平面向量；數量積；求解方法

一、定義法

從定義來看求兩個非零向量的數量積關鍵要弄清楚兩向量的模和夾角；若從數量積的幾何意義來看就是一向量的模與它在另一向量方向上的投影的乘積.

例1（1）在△ABC中，a=5，b=8，C=π3，則BC·CA=.

（2）已知圓O：x2+y2=4，直線l：x-3y+3=0與圓O交與A，B兩點，則OA·OB=.

解（1）如圖1，在△ABC中，BC·CA=BCCAcos（π-C）=5×8×-12=-20.

圖1

（2）如圖2，過點O作OC垂直于AB于點C，由點到直線的距離公式可得OC=310，在Rt△OAC中，cos∠AOC=3210，則cos∠AOB=2cos2∠AOC-1=2×32102-1=-1120，從而OA·OB=OA·OBcos∠AOB=2×2×-1120=-115.

圖2

二、坐標法

設a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a·b=x1x2+y1y2.用此方法解決向量數量積問題，必須先建立合適的平面坐標系，把向量坐標化.

例2（1）如圖3，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=1，點M，N分別是AB，BC的中點，點P是△ABC（包括邊界）內任一點.則AN·MP的取值范圍為.

圖3

（2）如圖4，在ABCD中，已知AB=2，AD=1，∠DAB=60°，點M為AB的中點，點P在CD上運動（包括端點），則AP·DM的取值范圍是.

圖4

解（1）以C為坐標原點，CA，CB分別為x軸和y軸建立如圖5所示的直角坐標系，易知A（1，0），N0，12，M12，12，設P（x，y），則x≥0，y≥0，x+y≤1，AN=-1，12，MP=x-12，y-12，所以AN·MP=-x+12y+14.

圖5

根據線性規劃可得AN·MP∈-34，34.

（2）以A為坐標原點，AB為x軸建立如圖6所示的直角坐標系，則A（0，0），B（2，0），D12，32，M（1，0），設Px，3212≤x≤52.

圖6

所以AP=x，32，DM=12，-32.

從而AP·DM=x，32·12，-32=12x-34.

因為12≤x≤52，所以AP·DM∈-12，12.

點評當向量的模或夾角不明確，且所給平面圖形方便建立直角坐標系，并容易寫出各涉及點坐標時，常常利用坐標法將向量坐標化求數量積.

三、分解轉化基底法

平面向量基本定理：如果e1，e2是同一個平面內兩個不共線的向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.其中我們把不共線的兩個向量e1，e2叫做這一平面內所有向量的一組基底.

例4在Rt△ABC中，C=90°，AC=4則AB·AC=.

解C=90°，AC·CB=0，AB·AC=（AC+CB）·AC=AC2+AC·CB=42=16.

例5如圖7，在四邊形ABCD中，AC=3，BD=1，（AB+DC）·（AC+BD）=.

圖7

解因為AC與BD不共線，所以AC，BD.

可以作為平面所有向量的一組基底.

所以（AB+DC）·（AC+BD）=[（AC+CB）+（BC-BD）·（AC+BD）]=[（AC-BD）·（AC+BD）]=AC2-BD2=3-1=2.

點評當向量的模或夾角不明確，且建立直角坐標系后，相關點的坐標不易寫出，而題目已知兩條線段的長時，常常以這兩個向量作為平面上所有向量的一組基底，將要求的向量通過構造三角形，借助三角形法則，轉化為基底的和或差，從而使問題得到解決.