“圓錐曲線”中的最值問題解法例談

武世起

圓錐曲線是解析幾何的核心內容，而有關最值問題又是綜合性較強、與不等式、函數密切相關，體現了圓錐曲線與三角、函數、不等式、方程、平面向量等代數知識之間的橫向聯系.學生在解題時，存在許多思維障礙或運算問題，本文就此類問題的解法進行梳理，希對學生解題有所幫助.

一、幾何法

例1（1）拋物線C：y2=4x上一點P到點A（3，42）與到準線的距離和最小，則點P的坐標為；（2）已知橢圓x212+y23=1和直線l：x-y+9=0，在l上取一點M，經過點M且以橢圓的焦點F1，F2為焦點作橢圓，求長軸最短時橢圓方程.

解（1）連PF，當A，P，F三點共線時，AP+PH=AP+PF最小，此時AF的方程為y=22（x-1），代入y2=4x得P（2，22）.

（2）由橢圓方程x212+y23=1，得F（-3，0）1，F2（3，0），可求出F1關于l對稱點F′1坐標為（-9，6），過F′1F2的直線方程：x+2y-3=0與x-y+9=0聯立，得交點M（-5，4），即過M的橢圓長軸最短.由|MF1|+|MF2|=2a，得2a=65，所求橢圓方程為x245+y236=1.

二、函數值域求解法

例2若點O和點F（-2，0）分別是雙曲線x2a2-y2=1（a>0）的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則OP·FP的取值范圍為（）.

A.[3-23，+∞）

B.[3+23，+∞）

C.-74，+∞

D.74，+∞

解因為F（-2，0）是已知雙曲線的左焦點，所以a2+1=4，故雙曲線方程為x23-y2=1，設點P（x0，y0），則有y20=x203-1（x0≥3），因為FP=（x0+2，y0），OP=（x0，y0），所以OP·FP=x0（x0+2）+y20=4x203+2x0-1，此二次函數對應的拋物線的對稱軸為x0=-34，因為x0≥3，所以OP·FP取得最小值43×3+23-1=3+23，故OP·FP的取值范圍是[3+23，+∞）.

三、不等式法

例3已知點A（0，-2），橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為32，F是橢圓的焦點，直線AF的斜率為233，O為坐標原點.

（1）求E的方程；（2）設過點A的直線l與E相交于P，Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求l的方程.

解（1）設Fc，0，由條件知2c=233，得c=3，故E的方程x24+y2=1.

（2）依題意當l⊥x軸不合題意，故設直線l：y=kx-2，設Px1，y1，Qx2，y2，將y=kx-2代入x24+y2=1，得1+4k2x2-16kx+12=0，當Δ=16（4k2-3）>0，即k2>34時，x1，2=8k±24k2-31+4k2，從而PQ=k2+1x1-x2=4k2+1·4k2-31+4k2.又點O到直線PQ的距離d=2k2+1，所以△OPQ的面積S△OPQ=12dPQ=44k2-31+4k2.設4k2-3=t，則t>0，S△OPQ=4tt2+4=4t+4t≤1.

當且僅當t=2，k=±72等號成立，且滿足Δ>0，所以當△OPQ的面積最大時，l的方程為：y=72x-2或y=-72x-2.

四、不等式（組）求解法

例4橢圓C的中心為坐標原點O，焦點在y軸上，短軸長為2，離心率為22，直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A，B，且AP=3PB.

（1）求橢圓C的方程；（2）求m的取值范圍.

解（1）易解得橢圓方程為y2+2x2=1.

（2）設直線l的方程為y=kx+m（k≠0），l與橢圓C的交點坐標為A（x1，y1），B（x2，y2），由y=kx+m，2x2+y2=1，得（k2+2）x2+2kmx+（m2-1）=0，Δ=4（k2-2m2+2）>0，（*）x1+x2=-2kmk2+2，x1x2=m2-1k2+2.因為AP=3PB，所以-x1=3x2，所以x1+x2=-2x2，x1x2=-3x22，所以3（x1+x2）2+4x1x2=0.

所以3·-2kmk2+22+4·m2-1k2+2=0.整理，得4k2m2+2m2-k2-2=0，即k2（4m2-1）+（2m2-2）=0.

當m2=14時，上式不成立；當m2≠14時，k2=2-2m24m2-1，由（*）式，得k2>2m2-2，解得m的取值范圍為-1，-12∪12，1.