找準接榫點，巧解綜合題

懷鐵燕

【摘要】“彼節者有間，而刀刃者無厚；以無厚入有間，恢恢乎其于游刃必有余地矣”解題也有此理，數學知識之間具有縱向的聯系，這些知識雖同屬不同分支，但可以依靠知識間的內在邏輯關系實現整合，在綜合題所呈現的知識網的“榫卯”處加強認知，可化解難點，提高學生解題能力.一、分解組裝，暴露接榫點，感受綜合題目的形成過程；二、整體呈現問題，挖掘接榫點，形成解析策略

【關鍵詞】知識接榫點；分解組裝；整體認知

榫指框架結構兩個或兩個以上部分的接合處，凹凸咬合渾然天成.數學知識之間具有縱向的聯系，這些知識雖同屬不同分支，但可以依靠知識間的內在邏輯關系實現整合.數學的綜合題就是打破章節界限，跨越兩個或幾個知識塊，需要一定的計算和推理才能解決的問題，注重考查數學知識的整體性，考查綜合運用知識的能力和遷移能力是主要出發點.因此在綜合題所呈現的知識網的“榫卯”處加強認知，可化解難點，提高學生解題能力.

一、分解組裝，暴露接榫點，感受綜合題目的形成過程

當各種綜合題琳瑯滿目的出現在學生面前，應接不暇、束手無策、避之不及是自然反應.展示問題的組成過程，可以引導學生領會出題的規律，分解出基本知識點，解開神秘面紗.

例1如右圖所示正方形加兩條垂線段所形成的“K”型全等是非常基本的幾何圖形，經常利用同角的余角相等形成AAS來產生OF=BO+OA等一些數量關系.如果教師在挖掘問題的深度可以預想到提問：點C到線段OF，OB的距離？便可以引入兩種常見輔助線重構“K”型全等或“旋轉式全等”達到線段轉移來獲解問題答案.如下圖：

圖1

圖2圖3

這時BO與OF的垂直關系及相關線段的長度的獲取就是榫眼，它為函數的介入提供空間（如圖4）直線AB的解析式為y=-2x+2，前面圖1相關的距離可以遷移為求點的坐標如點D、點C，轉化思想悄然生成.選擇典型的點可確立需要的函數圖像（如圖5），很自然的求出雙曲線的解析式.學生親歷綜合題的組裝過程，會感覺和直接給全題不一樣，不會再有距離感，又品味著環環相扣獨特數學邏輯魅力.

圖4圖5

教師順勢引入圖形的平移變換，變換引發的位置改變使圖形活起來，但平移變換的性質而產生不變的元素為函數圖像上點坐標的讀取提供了條件，坐標的獲得又為平移變換提供相關數據，如平移的距離.這時即可以提出問題如圖6：當正方形ABCD向左平移幾個單位點C可落在雙曲線上，或問：正方形ABCD向左平移1個單位，點C可否落在雙曲線上？學生感覺知識的結合點的存在，各個知識點間相互制約又相互作用，體會到數和形的巧妙融合，難點問題的的高度降下來了，解題能力就提高了.如果教師在能夠變式設計或引導學生變式：當正方形ABCD向下移動剛才的問題該怎樣解決，學生的識圖能力及類比、轉化能力，探究意識又會增強.如圖7.

圖6圖7

庖丁說“始臣之解牛之時，所見無非牛者.三年之后，未嘗見全牛也”“彼節者有間，而刀刃者無厚；以無厚入有間，恢恢乎其于游刃必有余地矣”解題也有此理，解題快者，讀題后可迅速拆分，在接榫處進退自如，所以教師選取典型問題進行分解組裝，強化認知知識結合點，感受綜合題目形成過程，可使學生感受知識的契合自然巧妙，所參與的往往都是某一知識塊最基本的知識點.消除畏懼情緒，提高解題速度.

二、整體呈現問題，挖掘接榫點，形成解析策略

就像喜歡拆裝組合玩具一樣，學生經歷了上述過程后會對綜合問題有很大的興趣也會有信心，但是一旦由他們獨立進行挑戰完整的問題時，還需積累一系列分析問題的經驗.

1.基礎知識的掌握要非常扎實，能夠遷移、變通

相關概念、定理、公式、基本圖形、常用結論，基本技巧和方法是形成綜合問題的基石，也是學生解決問題思路的來源，在教學過程中各個環節有意的滲透，還要通過習題的設計使其融會貫通.

例2見角平分線想到角兩邊的垂線段；見角平分線、平行線、等腰三角形其二必知另一；見等腰三角形一條重要線段必聯想三線合一，見垂直想勾股定理、面積、相似等，并設計恰當的榫點在恰當的時機給出組合圖題進行提升訓練：如圖，∠BAC與∠CBE的平分線相交于點P，BE=BC，PB與CE交于點H，PG∥AC交BC于F，交AB于G，下列結論：①GA=GP；②S△PAC：S△PAB=AC：AB；③BP垂直平分CE；④FP=FC；其中正確的判斷有（）.

A.只有①②B.只有③④

C.只有①③④D.①②③④

圖9圖10

圖11圖12

學生慢慢的能夠將圖形看出“3D”效果，有了層次感，也就有了解題的靈感.

圖13

重要的基本圖形的元素蘊含的基本信息不能有效的傳導，也是阻礙學生找到“榫點”并快速產生思路的原因，學生認知往往停留在表層或所學部分知識的背景下，換一個情景或換一個設問就找不到原型，或原型的信息對學生的刺激不夠強烈.教師在階段性復習和終結性復習中將重要的基本圖形放到不同的背景中，刺激學生產生遷移認知的意識和能力，例如圖等邊三角形原型認知及輻射圖.同時養成學生定期反思、梳理的學習習慣.

對基礎知識的掌握的熟練程度直接影響學生能否尋找到綜合題的接榫點，從而決定確立解題思路的速度與能力.同時嫻熟的基本計算是保障，學習過程中必須明確什么是最基本的，是可生成的，怎樣去聯想，這也是所有解決綜合題的策略之根.

2.“從已知看可知”，“從要證看需知”等綜合法與分析法來溝通已知條件與結論

嫻熟的掌握了基礎知識可以由題目的已知條件看到很多結論，再結合要得到的結論尋找需要的條件，在不斷的分析、綜合過程中自然的剖析了問題的結構，綜合題分成若干個基本題，知識點之間結合處一個個被挖出來，長時間實踐反思，會悟出一套有效地解題策略.

3.數學思想是知識點結合處的潤滑劑，也會是解題的靈魂

轉化思想是核心思想，結論——需求——已知——可知——結論的任何一個環節產生的聯系都離不開轉化思想；方程思想利用量與量間外顯或隱含的等量關系求取數據的重要方法、工具；分類思想探討出現結論問題的的一切可能性，從而使問題完整；數形結合可由抽象的數據需要去尋找需要的圖形，由圖形聯想性質，由性質聯想圖形，使問題得以解決等等.當所有知識都遺忘時，影響人一生的是解決問題的思想方法.數學思想方法的領悟使所學知識不再是零散的點，而是有序的知識鏈，教學中不斷地滲透、明確，內化為需要，成為解題自然方法.

掌握一臺機器的構造和性能，最好的辦法就是拆了后逐個零件研究，然后再裝配.這是“由整體到部分，由部分到整體”的認識事物的規律.展示分解組裝題目過程可暴露數學知識間的接榫處，利于找到解題的切入點；扎實的基礎背景，巧妙的思想方法，科學的分析策略可以形成獨立分解組合題目的能力，不但可以解決問題，長期積累反思，還可以變式思索甚至自創問題，在問題解決中不但鍛煉了思維，而且能夠更好的感受數學的魅力，實現新課程總體目標就不是難事，學生受到良好的數學教育也不是空談.

【參考文獻】

[1]錢佩玲數學思想方法與中學數學[M].北京：北京大學出版社，2008.

[2]史寧中.數學的基本思想[J].數學通報，2011（1）：50.

[3]董建功.如何命數學題[M].上海：華東師大出版社，2010.

[4]義務教育數學課程標準（2011版）.