線性規劃在高中數學中的應用

張愛琴

簡單的線性規劃在現實生活中有一定的應用價值，一是改進技術，改善生產工藝；二是改進計劃與生產組織，在一定條件下合理安排人力物力等資源，使經濟效果達到最好.而高中數學中的線性規劃問題，一般是求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，它是高中數學知識的重要內容之一，它不但能解決實際問題中的最值問題而且常在高中數學中的函數、數列、解幾及向量等知識交匯處出現，具有應用的多樣性，下面對平時教學中在各知識塊中出現的線性規劃問題進行分類和剖析，這不但能掌握一些應用線性規劃解決數學中問題的方法與技巧，而且能拓展我們的數學思維.

一、線性規劃在函數中的應用

例1設實數n≤6，若不等式2xm+（2-x）n-8≥0對任意x∈[-4，2]都成立，則m4-n4m3n的最小值為.

分析由題中條件可得關于m，n的不等式組，由此聯想到線性規劃知識求得nm的范圍，再求m4-n4m3n的最小值.

圖1

解設函數f（x）=2xm+（2-x）n-8=（2m-n）x+2n-8，由題意知f（-4）≥0，f（2）≥0，即4m-3n+4≤0，m≥2，n≤6.

作出關于m，n的平面可行域如圖1所示.可求B72，6，C（2，6），nm表示平面區域內點與原點連線的斜率范圍，又kOB=127，kOC=3，所以nm的范圍為127，3.m4-n4m3n=mn-nm3，令nm=t，通過求函數g（t）=1t-t3127≤t≤3的導數可知此函數為單調遞減函數，所以當t=3時函數g（t）=1t-t3的最小值為-803.

二、線性規劃在解析幾何中的應用

例2若方程x2a2+y2b2=1，a∈[1，5]，b∈[2，4]表示焦點在x軸上且離心率不大于32的橢圓，則z=a+b的最小值為.

分析本題是與橢圓相結合求最值的問題，由于變量a，b有二個直接條件，二個間接條件，因此此條件可以看作是關于a，b的線性約束條件.

圖2

解因為離心率小于32，所以ba=a2-c2a2=1-e2≥12.由此可得1≤a≤5，2≤b≤5，ba≥12，a>b.作出可行域可得z=a+b的最小值為4.

當然在解析幾何中除了在橢圓中的應用外更多的是用斜率模型和距離模型等幾何意義去求最值.

三、線性規劃在數列中的應用

例3等比數列{an}中的各項均為正數，若a1≥1，a2≤2，a3≥3，則a4的取值范圍為.

分析根據題中的條件，由等比數列定義將條件化為關于a1與q的不等式組，由此聯想到運用線性規劃的知識解決問題.因此，將所得的不等式組中的每一個不等式兩邊都取常用對數，得到關于lga1和lgq的一次不等式組，換元：令lga1=x，lgq=y，lga4=t，得到關于x、y的二次一次不等式組，作出可行域，即可得到a4的取值范圍.

圖3

解設等比數列的公比為q，根據題意，得a1≥1，a1q≤2，a1q2≥3.∴各不等式的兩邊取常用對數，得lga1≥0，lga1+lgq≤lg2，lga1+2lgq≥lg3.令lga1=x，lgq=y，lga4=t.

將不等式組化為x≥0，x+y≤lg2，x+2y≥lg3，作出以上不等式組表示的平面區域，得到如圖3的△ABC及其內部其中A（0，lg2），B（2lg2-lg3，lg3-lg2），直線l：t=x+3y經過點A時，t=3lg2取得最大值；當l經過點B時，t=-lg2+2lg3取得最小值∴t=lga4∈-lg2+2lg3，3lg2，即lga4∈lg92，lg8，由此可得a4的取值范圍是92，8.

例4數列{an}為等差數列，已知首項a1>0，公差d>0，若a1+a2≤60，a2+a3≤100，則5a1+a5的最大值為.

分析由等差數列的定義將題中的不等式化為關于a1和d的不等式組，由此聯想到運用線性規劃知識來解決此問題.

圖4

解將題中的不等式轉化為2a1+d≤60，2a1+3d≤100，a1>0，d>0，令z=5a1+a5=6a1+4d，作出關于a1和d的可行域，直線l：6a1+4d=0經過點A時可求出其最大值，5a1+a5的最大值為200.

四、線性規劃在向量中的應用

圖5

例5如圖5所示，正六邊形ABCDEF邊長為2，動圓Q的圓心在線段CD（含端點）上運動，動圓Q的半徑為1，P是圓Q上及內部的動點，設向量AP=mAB+nAF（m，n為實數），則m+n的取值范圍為.

分析點P在動圓Q區域內移動，當點P在直線BF上時，由于點B、P、F共線，所以m+n=1，平移直線BF與點P所在區域相交可得最大值和最小值.

解連接BF，當點P在直線BF上時m+n=1，平移直線BF與圓C相切于G，由圖形知G為BC中點，此時直線GH經過中心O，向量AO=AF+AB，所以m+n=2，再平移直線BF與圓D相切于T，由圖可知點T在直線AD上，向量AT=52AO，此時m+n=5，所以m+n的取值范圍為[2，5].

與向量有關的線性規劃問題，一般情況要與向量的數量積綜合出題，這屬于一種新題型，有一定的綜合性，解決這類問題需要對向量的知識十分熟悉.

簡單線性規劃問題在高考中常有出現，不但有一定的實用價值，而且因為它能考查知識點，尤其是在近幾年課改區的高考試題中年年必考，隨著新課標理念的深入，線性規劃不僅僅是考查簡單的求目標函數最值的問題，它能和高中數學中的許多知識結合起來一同考查，當線性規劃的知識和其他知識結合時它將更加靈活、新穎、實用性更強.無論怎樣我們主要把握住以下三點：1.解線性規劃問題關鍵根據約束條件作出可行域，所以作圖應該盡可能準確，圖上操作應該盡可能規范；2.要對數學模塊知識理解深刻且了解模塊與模塊之間的深層聯系才能準確地應用線性規劃知識解決；3.要在平時學習中不斷總結、歸納和積累.