教材例題與習題的拓展初探

近幾年來的高考數(shù)學試題，總能在試題中找到課本例題或習題的影子：2011年陜西高考文理第18題敘述并證明余弦定理，2012年福建高考理科第17題源自人教A版必修四第三章習題3.1的B組第3題；如2013年福建高考理科第9題源自人教A版必修五第二章的復習參考A組第10題，第18題源自人教A版選修2-1第二章習題2.2的B組第4題；2014年高考湖北卷文理科數(shù)學均有約90分試題源自課本…….它們中有些高考試題直接來源于習題或例題，有些高考試題來源于例題、習題的改編，而有些高考試題的結(jié)論、方法來源于課本.

目前不少教師在平時的教學和高考復習中常出現(xiàn)一個誤區(qū)：偏愛各類參考資料，四方搜集各種課外習題，而將課本拋在一邊，結(jié)果導致學生對課本中的概念、基本思想方法模糊不清，基本公式的來龍去脈不甚知曉，對通性通法不熟練，而一味去搞“題型分析”，去尋找“解題妙法”，在答卷時就可能去鉆牛角尖，死套“題型”硬要去用“巧妙方法”，從而導致不必要的失分.因此在基于數(shù)學本質(zhì)的原則下，用好用活教材中的例題與習題，能夠較好的讓學生掌握中學數(shù)學基礎知識、基本技能、基本思想和基本方法，提高學生的思維能力、運算能力、空間想象力及分析運用知識解決實際問題的能力.以下談談本人在教材例題與習題的拓展研究中的幾點做法和感受.

1.例習題的拓展是在基于數(shù)學本質(zhì)的原則下，為的是讓學生更好更快地掌握數(shù)學知識，因此問題的拓展不一定要多么的深入，綜合程度也無需過高.學生易錯之處最易進行例習題的拓展.

例1“已知過點M（-3，-3）的直線l被圓x2+y2+4y-21=0所截的弦長為45，求直線l的方程.”（源自人教版《必修2》P127頁例2）

拓展：“已知過點M（-3，-3）的直線l被圓x2+y2+4y-21=0所截的弦長為8，求直線l的方程.”

拓展的意義：教材例題中，先由勾股定理，求出圓心到直線l的距離為5，然后假設直線l方程的點斜式方程，利用圓心到直線距離公式，得到一個關于斜率k的方程，求出k有兩個值，進而求出直線l的方程，有兩個答案.如果拓展后仍然沿用此法，則求出的k只有一個值，卻忽略了斜率不存在的直線x=-3也是答案之一.經(jīng)過拓展，讓學生掌握在求直線的斜率之前，必須考慮斜率是否存在，培養(yǎng)學生思維的慎密性.

2.改變例習題中的某些條件亦是例習題拓展常見方式.

例2“過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F作直線與拋物線交于A，B兩點，以AB為直徑的畫圓，借助信息技術工具，觀察它與拋物線準線l的關系，你能得出什么結(jié)論？”（源自人教版《選修2-1》P81頁復習參考題B組第7題）

拓展：其中條件“過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F”拓展為“不過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F”.

拓展的意義：利于拓展學生的發(fā)散思維.

3.研究逆命題是否成立讓例習題拓展成為一種常態(tài)教學行為.

例3“過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸.”（源自人教版《選修2-1》P70頁例5）

拓展1：“過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，通過點B作直線DB平行于拋物線的對稱軸，交拋物線的準線于點D，求證：A，O，D三點共線.”

拓展2：“過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，通過點B作直線DB平行于拋物線的對稱軸，交直線AO于點D，求證：點D在拋物線的準線上.”

拓展3：已知A為拋物線y2=2px（p>0）上任意一點，通過點A和拋物線頂點O的直線交拋物線的準線于點D，過點A作x軸的平行線，交拋物線的準線于點C，則CF⊥DF.（文[1]中對此已做詳細說明論證）

拓展的意義：通過拓展，讓學生們理解“A，O，D三點共線”、“點D在拋物線的準線上”、“直線DB平行于拋物線的對稱軸”三個條件中，由其中任意兩個可以導出剩余一個.另外還可引導學生類比研究橢圓、雙曲線也有類似的性質(zhì).從而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生的探索精神.

4.將例習題歸納總結(jié)，導出一般性規(guī)律.

例4（1）“點M（x，y）與定點F（4，0）的距離和這到直線l：x=254的距離的比是常數(shù)45，求點M的軌跡.答案是橢圓x225+y29=1.”（源自人教版《選修2-1》P47頁例6）

（2）“點M（x，y）與定點F（5，0）的距離和這到直線l：x=165的距離的比是常數(shù)54，求點M的軌跡.答案是雙曲線x216-y29=1.”（源自人教版《選修2-1》P59頁例5）

拓展：研究定點和常數(shù)比、焦點、離心率，聯(lián)系拋物線定義，探索它們與橢圓、雙曲線、拋物線的關系.

拓展的意義：引導學生歸納出圓錐曲線的統(tǒng)一定義.

對教材例習題的拓展探究，還可通過改變問題背景、將不同章節(jié)問題交匯綜合等.不僅能激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生的探索精神，同時對提高教師自身的專業(yè)素養(yǎng)起著積極的促進作用.

【參考文獻】

[1]吳緒坤.一道課本例題的拓展與利用，數(shù)學學習與研究，2013（15）：98-99.