高中立體幾何中認知策略的教學探究

郭洪莉

【摘要】本文主要探究高中生在學習立體幾何時遇到思維障礙時的解題策略的教學.主要探究認知策略中綜合法與分析法的應用.

【關鍵詞】認知策略；綜合法；分析法

每一科的教學中教師都重視學習方法，直到1956年，美國著名心理學家布魯納提出認知策略這個概念，學習方法從此被劃歸為認知策略的范疇.我國著名教授皮連生提出“認知策略是個人在解決思維問題時所采用的思維方式”.認知策略是個體調控內在信息加工的控制過程，一般很難外顯，但是不是不能外顯.本文就探究認知策略如何外顯的.

數學解題中的常見認知策略：（1）順推法：也叫由因導果法或綜合法.是一種解題者由題設條件根據自己知識經驗，聯想、綜合、概括推理導出題目結論的方法.（2）逆推法：也叫由執果索因法或分析法.是一種解題者由題目結論根據自己知識經驗，聯想、綜合、概括推理導出題設條件的方法.（3）順推逆推結合法：當題設條件過于復雜或繁瑣時，解題者一般先用倒推根據自己知識經驗，聯想、綜合、概括推理出題目中介結論，再結合順推由題設條件根據自己知識經驗，聯想、綜合、概括推理導出題目中介結論的方法.

在立體幾何的課堂例題教學中，教師常常口頭分析解題思路此時主要采用分析法，然后用綜合法板書.用分析法時和綜合法步驟類似，只是順序不同，教學中老師往往側重于用綜合法書寫，因此學生在很短時間內無法習得解題技能，解題能力比較弱.因為立體幾何的問題中有許多這樣的類型，題目條件很多，無法識別這些條件在解題中的先后次序，很難短時間內找到解題思路，所以學生們望而卻步的居多.

下面舉例說明立體幾何例題教學中分析法外顯的過程.

在北京師范大學出版社出版的普通高中課程標準實驗教科書《數學》（必修2）中，有如下練習題：

ABCD和CDEF有一公共邊CD，它們不在同一平面內，M為FC的中點，求證：AF∥平面MBD.

本題已知條件五個，①ABCD；②CDEF；③ABCD和CDEF有一公共邊CD；④它們不在同一平面內；⑤M為FC的中點.對每個條件使用一般是將以前習得的知識點遷移過來然后綜合使用，但是每個條件相鏈接的知識點都很多，如條件①ABCD，相鏈接的知識點分別為對邊平行；對邊相等；對角線相互平分，交點為對角線的中點；對角相等，還涉及內錯角、同位角、同旁內角等等，本題五個條件中涉及如此龐雜的知識點，經過怎樣的組合才能將此題順利解答，因此在綜合法操作起來短時間很難.

解題時審題環節中，先使用綜合法分解五個條件，將每個條件鏈接知識在腦中做簡單的匯總，即條件①ABCD和②CDEF，相鏈接的知識點分別為對邊平行；對邊相等；對角線相互平分，交點為對角線的中點；對角相等，還涉及內錯角、同位角、同旁內角等等，③ABCD和CDEF有一公共邊CD，相鏈接知識點CD與AB和EF均平行且相等；④它們不在同一平面內，相鏈接知識點主要是圖形是立體圖形，畫圖與看圖時注意識別圖形中點、線、面的層次；⑤M為FC的中點，相鏈接知識點主要是MF=MC，并且可能會涉及中位線.

上述過程是解決用哪些知識點的思維過程.怎么解決AF∥平面MBD呢？此時采用分析法，如果綜合法分析條件是發散思維過程，那么分析法恰好是集中思維過程.解法一的分析過程見圖1.

圖1

從圖1來看，要證AF∥平面MBD，只需使用線面平行判定定理.

要用使用線面平行判定定理，只需配齊“某直線∥AF，某直線平面MBD，AF平面MBD，”這三個條件.

而已經具備AF平面MBD，只需尋找某直線具有的特征：在平面MBD中，且與AF平行；此時問題集中在“與AF平行直線，必須與點M、B、D有關”上，解決如何過M、B、D做平行與AF直線就可以了.也就是說“證明AF∥平面MBD”的問題最終轉化為“過M、B、D做平行于AF直線”的問題.解法與其他方法的區別之一就是“過M做平行于AF直線”.

接下來綜合法就按照從如何過M做平行于AF直線，將分析過程完全展現出來.

解法1用綜合法寫出解題步驟如下：

圖2

證明如圖2所示，連接AC，設AC與BD交與點N，連接MN.

因為四邊形ABCD是平行四邊形.所以點N是AC的中點，

又因為點M是FC的中點，所以點N是AC的中點.

而MN是△ACF的中位線，因此MN∥AF，

又因為AF平面MBD，MN平面MBD，

所以AF∥平面MBD.

本題還有六種解法，茲簡單介紹其中兩種如下：

解法2分析過程見圖3.

圖3

圖4

證明如圖4所示，延長EF和DM，設EF與DM的延長線交與點N，連接BN.因為點M是FC的中點，所以MF=MC.

容易證明△MFN≌△MCD，所以FN=CD.

又因為FN∥CD，

因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以AB=CD且AB∥CD.

因此四邊形ABFN是平行四邊形，

從而BN∥AF，

又因為AF平面MBD，BN平面MBD，

圖5所以AF∥平面MBD.

解法3分析過程如圖5：

綜合法證明步驟如下：如圖6所示，延長BM，過點F作與BC的平線，行并與BM的延長線交與點N，連接DN.因為點M是FC的中點，所以MF=MC.

圖6

容易證明△MFN≌△MCB，所以FN=CB，又因為FN∥CB，

因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以DA=CB且DA∥CB.

因此四邊形ADNF是平行四邊形，從而DN∥AF，

又因為AF平面MBD，DN平面MBD，

所以AF∥平面MBD.

通過上述三種解法介紹，可知三種方法類似，只是在找與AF平行直線，從三個點M，B，D出發，最后差異在使用初中平行線的理論上.它們的共同之處是分析法先行，綜合法按照分析法的逆序解題過程再次顯現出來.

通常教師采用文字語言板書表述或口頭表述，分析法的精妙讓學生只能意會不可言傳.現在教師采用圖式結構既形象直觀又便于學生模仿，廣大能接受立體幾何思維的精妙，才能進一步獲得相應的思維能力.

補充說明本例的七種解法在我的另一篇文章《塑造學生多種能力的教學設計探究》中有介紹.