三角復合函數(shù)最值求法一分解函數(shù)法

鄭有禮

【摘要】三角復合函數(shù)最值的求法有多種，本文筆者通過例題來闡述分解函數(shù)法的應用，為學生和讀者們以后的結題帶來一些信息的思路和方法.

【關鍵詞】三角復合函數(shù)；分解函數(shù)法；中學教學

三角函數(shù)形成的復合函數(shù)的最值的探究是歷年高考命題的一個熱點，筆者認為：若y是x的復合函數(shù)求最值，首先可引入中間變量，寫出組成復合函數(shù)的基本函數(shù)，即把復合函數(shù)分解為幾個基本函數(shù)；其次由x的取值范圍求出中間變量的取值范圍，由中間變量的取值范圍求出y的取值范圍；最后根據(jù)y的取值范圍直接寫出原函數(shù)最值.這種求其復合函數(shù)最值的方法簡單易行，筆者把它命名為分解函數(shù)法.

例1（2014·天津）已知函數(shù)f（x）=cosx·sinx+π3-3cos2x+34，x∈R.

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）求f（x）在閉區(qū)間-π4，π4上的最大值和最小值.

解f（x）=cosx·sinx+π3-3cos2x+34=cosx·12sinx+32cosx-3cos2x+34

=12sinxcosx-32cos2x+34=14sin2x-34cos2x=12sin2x-π3.

（Ⅰ）f（x）的最小正周期T=2π2=π.

（Ⅱ）設y=12u，u=sinv，v=2x-π3，

因為-π4≤x≤π4，所以-5π6≤v≤π6，從而-1≤u≤12，于是-12≤y≤14，

因此，f（x）在閉區(qū)間-π4，π4上的最大值為14，最小值為-12.

點評在（Ⅱ）中，求三角函數(shù)形成的復合函數(shù)f（x）的最值時，引入了中間變量u，v

把復合函數(shù)最值問題轉化為三個基本函數(shù)的值域問題加以解決.這種方法充分體現(xiàn)了數(shù)學的簡潔美、奇異美及轉化思想，具有很強的操作性.

例2（2014·江西）已知函數(shù)f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈-π2，π2.

（Ⅰ）當a=2，θ=π4時，求f（x）在區(qū)間[0，π]上的最大值與最小值；

（Ⅱ）若fπ2=0，f（π）=1，求a，θ的值.

解（Ⅰ）當a=2，θ=π4時，

f（x）=sinx+π4+2cosx+π2=22（sinx+cosx）-2sinx=22cosx-22sinx=sinπ4-x

設y=sinu，u=π4-x，

因為0≤x≤π，所以-3π4≤u≤π4，于是-1≤y≤22，

因此，f（x）在區(qū)間[0，π]上的最大值為22，最小值為-1.

（Ⅱ）由θ∈-π2，π2，得cosθ≠0，

由fπ2=0，得cosθ（1-2asinθ）=0，1-2asinθ=0，即sinθ=12a，①

由f（π）=1，得2asin2θ-sinθ-a=1，②

聯(lián)立①②，結合a∈R，θ∈-π2，π2，解得a=-1，θ=-π6.

點評該例（Ⅰ）中，函數(shù)f（x）實際上是三；角函數(shù)形成的復合函數(shù)，求其最值時，采

用了分解函數(shù)法，引入了中間變量u，把該復合函數(shù)分解為兩個基本函數(shù)，通過求這兩個基本函數(shù)的值域得出了原函數(shù)的最值.這種方法簡潔明快.

總之，探究三角復合函數(shù)的最值時，首先常據(jù)倍角公式、降次公式（半角公式）、和角公式、差角公式、輔助角公式把原函數(shù)化成復合函數(shù)的形式；其次可采用分解函數(shù)法，引入中間變量，把復合函數(shù)分解為幾個基本函數(shù)；最后通過求基本函數(shù)的值域求出復合函數(shù)的最值.求基本函數(shù)的值域時可以采用單調性法、圖像法、不等式法、配方法等數(shù)學方法.利用分解函數(shù)法求復合函數(shù)最值既能體現(xiàn)數(shù)學美，又能滲透數(shù)形結合、轉化、整體的數(shù)學思想.這種方法簡單易行，具有很強的操作性.