剖析三角形形狀的判斷

王鋒

【摘要】如何使用正、余弦定理判斷三角形的形狀？

高中數學中，有許多關于三角形形狀的判斷的題型，大部分學生解決起來感覺很困難，不知從何入手，不知如何使用兩個定理，下面本文作者就從一個實例和三個題組來剖析如何巧妙地判斷三角形的形狀.

【關鍵詞】三角形；形狀；判斷

例在△ABC中，已知（a+b+c）（a+b-c）=3ab，且2cosAsinB=sinC，試確定△ABC的形狀.

思路點撥充分運用正弦定理和余弦定理，可利用邊的關系判斷，也可轉化為角的關系來判斷.

精解詳析法一：利用邊的關系來判斷.

由正弦定理得sinC[]sinB=c[]b.

又2cosAsinB=sinC，所以cosA=sinC[]2sinB=c[]2b.

由余弦定理有cosA=b2+c2-a2[]2bc.

所以c[]2b=b2+c2-a2[]2bc.即c2=b2+c2-a2.

所以a=b.

又因為（a+b+c）（a+b-c）=3ab，

所以（a+b）2-c2=3ab.所以4b2-c2=3b2.

所以b=c.所以a=b=c.

因此△ABC為等邊三角形.

法二：利用角的關系來判定.

因為A+B+C=180°，所以sinC=sin（A+B）.

又因為2cosAsinB=sinC，

所以2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，

所以sin（A-B）=0.

因為A，B均為三角形的內角，所以A=B.

又由（a+b+c）（a+b-c）=3ab.

得（a+b）2-c2=3ab.即a2+b2-c2=ab.

所以cosC=a2+b2-c2p[]2ab=ab[]2ab=1[]2.

因為0°

因此△ABC為等邊三角形.

小結

1.判斷三角形的形狀，可以從考察三邊的關系入手，即把條件中的“邊角關系”利用正弦定理或余弦定理轉化為“邊邊關系”，進行判斷；也可以從三個角的關系入手，即把條件轉化為角與角的關系，結合內角和定理作出判斷.

2.判斷三角形形狀時要注意“等腰直角三角形”與“等腰或直角三角形”的區別.

練習1若在△ABC中，acos（B+C）=bcos（A+C），則△ABC一定是（）.

A.等邊三角形B.等腰三角形

C.等腰或直角三角形D.直角三角形

解析法一：（邊化角）

由B+C=180°-A，A+C=180°-B，

則原式可化為-acosA=-bcosB，

即acosA=bcosB.

∴2RsinAcosA=2RsinBcosB.

∴sin2A=sin2B.

∵2A，2B∈（0，2π），∴2A=2B或2A=π-2B，

∴A=B或A+B=π[]2.

故△ABC為等腰三角形或直角三角形.

法二：（角化邊）

由法一，得acosA=bcosB，由余弦定理，得

a·b2+c2-a2[]2bc=b·a2+c2-b2[]2ac，即a2（b2+c2-a2）=b2（a2+c2-b2），整理，得（a2-b2）（a2+b2-c2）=0，

∴a2-b2=0或者a2+b2-c2=0.即a=b或a2+b2=c2.

∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.答案：C

練習2.如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長度，則這個新的三角形的形狀為（）.

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.由增加的長度決定

解析設直角三角形三邊為a，b，c且c2=a2+b2，增加的長度為m，

即cosC=（a+m）2+（b+m）2-（c+m）2[]2（a+m）（b+m）

=a2+b2+2am+2bm+m2-c2-2cm[]2（a+m）（b+m）

=2（a+b-c）m+m2[]2（a+m）（b+m）>0.

故C為銳角.答案：A.

練習3在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a[]cosA=b[]cosB=c[]cosC，試判斷△ABC的形狀.

解法一：由正弦定理a[]sinA=b[]sinB=c[]sinC=2R，得

a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC.

代入a[]cosA=b[]cosB=c[]cosC中，得

2RsinA[]cosA=2RsinB[]cosB=2RsinC[]cosC，

即sinA[]cosA=sinB[]cosB=sinC[]cosC，

∴tanA=tanB=tanC.

又∵A，B，C是△ABC的內角，∴A=B=C.

∴△ABC是等邊三角形.

法二：由余弦定理得

a·2bc[]b2+c2-a2=b·2ac[]a2+c2-b2=c·2ab[]a2+b2-c2.

∴b2+c2-a2=a2+c2-b2=a2+b2-c2.

得a2=b2=c2，即a=b=c.

∴△ABC是等邊三角形.

總之，判斷三角形的形狀，應圍繞三角形的邊角關系進行思考，依據已知條件中的邊角關系進行判斷，主要有如下兩條途徑：（1）利用正弦、余弦定理把已知條件轉化為邊邊關系，通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀；（2）利用正弦、余弦定理把已知條件轉化為內角的三角函數間的關系，通過三角函數恒等變換，得出內角的關系，從而判斷出三角形的形狀.在兩種方法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應移項提取公因式，以免漏解.