留數定理在歐拉積分計算中的應用

章輝梁

【摘要】留數定理在積分的計算中，一直起著十分重要的作用.本文主要采用留數定理來計算歐拉積分，從而使歐拉積分的計算更加快捷簡便，起到化繁為簡的作用.

【關鍵詞】留數定理；留數；歐拉積分

一、預備知識

1.留數定理

為復平面上的有界區(qū)域，設函數在內除了有孤立的奇點z1，z2，...，zn外，在每一點上面都解析，并且在在L上的每一點都解析上的每一點都解析，因此有∫cf（z）dz=2πi∑nk=1Res（f，zk），這里的沿的積分是由區(qū)域P的正向取的.

2.留數計算

首先考慮下一階極點的情況；設z0為函數h（z）的一個一階的極點.即，在去掉中心點z0的圓盤內（z≠z0），h（z）=1z-z0ψ（z），其ψ（z）該圓盤內包括在z-z0上解析，它的泰勒展式為：ψ（z）=∑+∞n=0αn（z-z0）n，且α0=ψ（z0）≠0.于是，在函數h（z）的洛朗級數里，1z-z0的系數為ψ（z0）.因此可以得出Res（f，z0）=lim（z-z0）f（z）.

現在采用其他的方法求留數.如果在上面所述的去掉中心z0的圓盤中（z≠z0），，其中P（z）和Q（z）在這個圓盤里面包括在z=z0上解析，P（z0）≠0，z0為函數Q（z）的一階零點，且Q（z）在該圓盤里面沒有其他的零點，那么z0是函數h（z）的一階的極點，由于

Res（h，z0）=limz→z0（z-z0）h（z）=limz→z0（z-z0）P（z）Q（z）-Q（z0）=P（z0）Q′（z0）.

接著繼續(xù)考慮高階極點的情況，設z0為函數h（z）的一個k階的極點（k>1）.即，在去掉的中心z0的圓盤上（z≠z0），h（z）=φ（z）（z-z0）k，φ（z）在該圓盤上面包括在z≠z0上解析，且φ（z）≠0.在該圓盤上，所以有Res（f，z0）=αz-1，因此可以把問題化成為求φ（z）的泰勒展式系數.否則還需要用另一種方法求留數.在此也可用公式計算Res（h，z0）：Res（h，z0）=1（k-1）！limz→z0dk-1[（z-z0）kh（z）]dzz-1.

二、計算歐拉積分

1.歐拉積分的轉化

函數由積分（歐拉）Γ（z）=∫∞0e-ttz-1dt來定義，這里積分沿著正半軸來取.該積分對于在右半平面Rez>0上的所有的點z都是絕對收斂，又e-ttz-1=e-ttx-1，且為一個解析的函數，再進行積分路線的形變.

不放考慮函數F（z）=∫Ce-ζζ-1dζ，在此，可以將積分沿著周線C取值，C為正半軸上的割痕的兩岸和圓周ζ=r組成.接著再將ζ-1寫出函數e（z-1）lnζ，lnζ為對數上的一個分支，對此分支0

令其割痕上岸為ζ=t，且令其下岸為ζ=te2πi，因此可以將F（z）表示為：

F（z）=∫Ⅰ+∫Cr+∫Ⅱ=（e2πiz-1）∫∞re-ttz-1dt+∫CRe-ζζ-1dζ.

在cr上，有ζ=reiφ，e-ζζ-1=e-rcosφe（x-1）lnr-φy

由此可以推出：∫Cr0，而當r→0時∫Cr→0.由此可得當Rez>0時，可以取r→0時的極限.

根據定義可以得到：

F（z）=（e2πiz-1）∫∞0e-ttz-1dt=（e2πiz-1）Γ（z）（當Rez≤0時，該極限過程是不合法的）.這樣，可以得到函數：

Γ（z）=1e2πiz-1∫Ce-ζζz-1dζ.

2.歐拉積分的計算舉例

例1計算I=∫+∞0xα-1（1+x）dx，其中0<α<1

解

考慮函數f（z）=zα-11+z，該函數為多值函數，其支點是0和∞，它由0沿著正實軸方向到∞點割破的z平面上的可以分成單值的分支，再選取由支割線上岸AB：z=x（r≤x≤R）.

經過圓弧CR：z=Reiθ（0≤θ≤2π），沿著支割線下岸A′B′：z=xe2πi的反方向，再經過圓弧Cr：z=reiθ（0≤θ≤2π）的反向回到A的積分路徑C圍成的區(qū)域內只有一個一階極點z=-1，Resz=-1f（z）=-eαπi.

由留數定理得

結論

在計算歐拉積分的過程中，歐拉積分的一致收斂問題可能經常要被檢驗，還有時可能需要引入參數變量、要將歐拉積分在積分號下進行求導等等.用這些方法計算過程顯得十分繁瑣.因此本文引進留數定理，用留數定理來計算歐拉積分.這樣能夠大大簡化我們的計算.