二階變系數線性微分方程求解法探究

李雷民

【摘要】二階線性齊次微分方程是微分理論的重要組成部分，在現代科技、工程等領域中都有廣泛應用，這其中很多的應用情況都歸屬于二階線性常微分方程的范疇中.在微分理論中常系數微分方程可以利用線性常微分的理論求解，但變系數類型的求解則相對較難，至今都很難找到有效的求解方法.本文以二階邊系數線性微分方程的求解意義作為出發點，對一般與特殊的二階變系數線性微分方程的解法進行探討，希望能為相關研究人員提供些許參考作用.

【關鍵詞】二階變系數線性微分方程；二階線性常系數微分方程；通解；特解

一、二階變系數線性微分方程的求解法

現行的高數微分方程理論中，僅僅對常系數類型的微分方程展開研究，即使是在《常微分方程》中也沒有對二階變系數這一類型的微分方程求解進行深入探討.

如果p（x），q（x）是連續非常數函數，那么方程y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）（1）

即為二階變系數線性微分方程，若f（x）為0，那么即為二階變系數齊次線性類型方程，如果不為0，那么就是非齊性的二階變系數微分方程.本文提出從二階變系數方程的特征出發，以降階法將二階轉嫁為一階，利用結構系數函數對二階邊系數線性微分方程的通解及特解進行求解的一種解法.

假設非齊次中的P（x）有一階連續倒數q（x）連續，那么就能通過方程（2）、（3）使方程（1）轉變為方程（4）.

四、結束語

本文分析的二階變系數線性微分方程的解法主要是通過降階的方式，將二階變系數線性方磚轉嫁為一階線性微分方程進行求解，這樣一來只需利用結構系數函數就可以對二階邊系數線性微分方程的特解或通解進行求得，借助結構系數函數，再利用降價法就是得出二階邊系數方程的特解或是通解.

【參考文獻】

[1]李高，李殊璇，常秀芳.二階變系數線性微分方程可解的研究[J].河北北方學院學報（自然科學版），2013，02：1-2+21.

[2]張虹，敏志奇.二階變系數線性微分方程與其對應的Riccati方程可積的等價性及應用[J].甘肅聯合大學學報（自然科學版），2011，03：22-23+39.