波動方程柯西問題的解法研究

付紅斐

【摘要】波動方程柯西問題通常可以用行波法或積分變換法等求解.本文通過一個實例探討基于行波法、積分變換法和混合積分變換法的多種解法.對于指導《數學物理方程》類課程多思維教學模式、激發學生綜合思考問題的能力具有重要的現實意義.

【關鍵詞】波動方程；混合積分變換法；行波法；積分變換法

【中圖分類號】O175.2【文獻標識碼】A

本項目得到中國石油大學青年教師教改項目（QN201304）和研究生學位點建設項目（XWS13012）的資助.

在科學與工程技術的實際問題中，經常會遇到大量的偏微分方程，如描述電磁場中電場和磁場強度的麥克斯韋方程等.有效的求解方法對于研究這類偏微分方程所體現的科學意義具有重要的理論和實際作用.在《數學物理方程》類課程教學中，通常我們會介紹四種經典的求解方法，即分離變量法、行波法、積分變換法和格林函數法等.事實上，在某些情形下這些方法可加以綜合運用.下面以一階波動方程為例加以說明.

例utt=uxx+tsinx（x∈R，t>0），u|t=0=0（x∈R），ut|t=0=sinx（x∈R）.

解法1基爾霍夫公式

u（x，t）=12∫x+tx-tsinξdξ+12∫t0dτ∫x+t-τx-t+ττsinξdξ=tsinx.

解法2傅氏積分變換法

首先，方程及初始條件兩端分別關于空間變量x取傅氏變換，并注意到

[sinx]=iπ[δ（w+1）-δ（w-1）]，

可得

d2Udt2（ω，t）+ω2U（ω，t）=iπ[δ（w+1）-δ（w-1）]t，

U|t=0=0，Ut|t=0=iπ[δ（w+1）-δ（w-1）].

接下來，求解上述二階常系數常微分方程得

U（ω，t）=iπ[δ（w+1）-δ（w-1）]ω2·t+ωsinωt-sinωtω.

最后，上式關于w取傅氏逆變換，由定義及δ函數性質，得u（x，t）=12π∫+∞-∞U（ω，p）eiωxdω=tsinx.

解法3拉氏積分變換法

首先，方程兩端關于時間變量t取拉氏變換，并考慮初始條件及[t]=1p2，得

d2Udx2-p2U=-1+1p2sinx.

接下來，由特征方程法求解上述二階常微分方程，得

U（x，p）=C1epx+C2e-px+sinxp2.

注意到弦上各點的位移有界，特別是無窮遠處.從而必然有C1=C2=0，即U（x，p）=sinxp2.

最后，上式中關于p取拉氏逆變換，得

u（x，t）=-1sinxp2=tsinx.

解法4混合積分變換法

第一步，首先方程兩端關于時間變量t取拉氏變換，并考慮初始條件，得

p2U（x，p）-sinx=d2Udx2（x，p）+sinxp2.

其次，上式進一步關于空間變量x取傅氏變換，可得

p2U（ω，p）-iπ[δ（w+1）-δ（w-1）]=-ω2U（ω，p）+iπp2[δ（w+1）-δ（w-1）].

第二步，整理上式求，得

U（ω，p）=p2+1p2（p2+ω2）·iπ[δ（w+1）-δ（w-1）].

第三步，首先關于上式中w取傅氏逆變換，由定義及δ函數性質，得

U（x，p）=12π∫+∞-∞U（ω，p）eiωxdω=sinxp2.

其次，上式進一步關于p取拉氏逆變換，得

u（x，t）=sinx·-11p2=tsinx.

注1混合積分變換法的基本思想是先關于某一自變量進行一次拉氏積分變換，將含兩個變量的偏微分方程轉化為含一個參量的常微分方程，然后再關于另一變量取傅氏積分變換，得到易于求解的含兩個參量的代數方程，最后再依次取相應的逆變換，即可求得原問題的解.

注2上述求解過程給我們展示了如何綜合運用多種方法求解定解問題，但讀者不能盲目的任意疊加這些方法.在求解之前，一定要分析清楚所給問題的條件到底適合哪些方法.

【參考文獻】

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