第二類曲面積分的計算方法探討

楊雯靖

【摘要】針對第二類曲面積分這一高等數學課程教學中的難點，研究了利用分面投影法、高斯公式以及兩類曲面積分的聯系等方法來計算第二類曲面積分，為高等數學課程中關于曲面積分概念的教學研究與改革提供一些參考.

【關鍵詞】第二類曲面積分；投影；高斯公式

第二類曲面積分也稱為對坐標的曲面積分，它的計算問題是一個綜合性的微積分問題，涉及有向曲面的側與法向量、有向曲面的投影、多元函數的偏導數、二重積分、三重積分、第一類曲面積分以及高斯公式等內容，在計算時既要考慮被積函數的特征、積分曲面及其投影區域的形狀，又要注意曲面的側，一直是高等數學教與學的難點.本文討論第二類曲面積分的計算方法，并舉例說明使用不同方法的特點，從而為高等數學課程中關于曲面積分概念的教學研究與改革提供一些參考.

一、分面投影法

分面投影法即直接將積分曲面分別投影到不同的坐標面上，從而把曲面積分轉化為二重積分計

利用高斯公式計算曲面積分，必須滿足高斯公式的條件.要注意有向曲面的側，當積分曲面∑不封閉時，需補充使之成為封閉曲面.如果在Ω內有使P，Q，R的偏導數不連續的奇點，一般應先補充輔助曲面挖去奇點，然后再用高斯公式.此方法適用于組合型的曲面積分，積分曲面∑封閉，且被積函數Px+Qy+Rz的形式比較簡單的情形.

三、利用兩類曲面積分的聯系

對于組合型的曲面積分，還可以考慮利用兩類曲面積分的聯系，將第二類曲面積分化為第一類曲面積分來計算，這時要注意有向曲面∑在點（x，y，z）處的法向量的方向余弦與曲面的側的關系.如果函數P（x，y，z）、Q（x，y，z）、R（x，y，z）在有向光滑曲面∑上連續，則

∑Pdydz+Qdzdz+Rdxdy=∑（Pcosα+Qcosβ+Rcosγ）dS，

其中cosα、cosβ、cosγ是有向曲面∑在點（x，y，z）處的法向量的方向余弦.

解法3上例中，積分曲面∑：x2+y2+z2=R2，x≥0，y≥0，z≥0，且取外側，所以

四、結語

理解并掌握有向曲面的法向量、投影等概念是計算第二類曲面積分的關鍵.在計算時應根據被積函數和積分曲面的特點選擇合適的方法.對于組合型的曲面積分，一般先考慮能否用高斯公式，或者判斷能否利用兩類曲面積分的聯系，然后再考慮直接的投影法，這樣才能掌握第二類曲面積分的計算方法.

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