用除法運算確定誘導公式中的角

吳維峰

【摘要】本文根據(jù)誘導公式的內在聯(lián)系，在分析了誘導公式教學的重點和難點后，利用除法運算，給出角α的確定方法，提高了誘導公式的教學質量.

【關鍵詞】：誘導公式；教學；確定方法

三角函數(shù)的誘導公式，在三角函數(shù)式的變形與三角函數(shù)值（特別是任意角的函數(shù)值）的計算中都起著化繁為簡、化難為易的作用，很好的體現(xiàn)了化歸的數(shù)學思想和方法.同時，公式多、記憶難，學生在使用時容易出錯，歷來是三角函數(shù)教學的重點和難點.尤其是公式中角α的確定，多數(shù)教材中都沒有給出一個統(tǒng)一的確定方法，直接影響了公式的使用.下面就從公式的內在聯(lián)系入手，利用除法運算，給出角α的確定方法.

一、立足應用，突出重點，把握難點

1.依據(jù)公式間的內在聯(lián)系，突出重點

誘導公式雖然類型多、數(shù)量大，但只要掌握了角2kπ+α（k∈Z）、角-α、角π+α、角π2+α與角α的三角函數(shù)關系（共4組公式，具體公式在此略），其余公式可由它們推出，因此，這4組公式是教學的重點和難點.

2.立足公式應用，把握難點

從4組公式的作用看，角-α的誘導公式只起到“化負角為正角”的作用，因此公式應用的重點應當是其余3組公式.其余3組公式中，角π+α或π2+α公式中對應的角較小（小于360°或2π），相對簡單；而角2kπ+α（k∈Z）的誘導公式對應的角往往大于360°或2π，并且需要將已知三角函數(shù)中的角分解為2kπ+α（k∈Z）的形式，也就是涉及角α的確定，所以角2kπ+α（k∈Z）的誘導公式既是重點，也是難點.

二、利用除法運算，給出角α的確定方法

下面就以2kπ+α（k∈Z）的誘導公式為主，結合實例，利用除法運算，給出角α的確定方法（為突出角α的確定方法，實例中的三角函數(shù)對應的角都大于360°或2π）.

例利用誘導公式求下列三角函數(shù)值.

（1）tan1560°；（2）sin（-810°）；（3）cos7π；（4）sin11π4；（5）cos10π3.

1.當給定的角采用度（度數(shù)大于360°）表示時

（1）解：用1560°除以360°，即做豎式除法：，余數(shù)120°就是角α，用橫式表示就是：1560°=4×360°+120°，即角α=120°，得tan1560°=tan（4×360°+120°）=tan120°=tan（90°+30°），tan（180°-60°）=-cot30°=-3，-tan60°=-3.

在計算tan120°時，可以通過不同的變形方法，訓練學生一題多解的能力.

（2）解：首先使用角-α的誘導公式，化負角為正角，得sin（-810°）=-sin810°；對810°使用豎式除法：，余數(shù)90°就是角α，用橫式表示就是：810°=2×360°+90°，即角α=90°，得sin（-810°）=-sin810°=-sin（2×360°+90°）=-sin90°=-1.

方法歸納：當給定的角用度表示且度數(shù)大于360°時，可以用除法來確定角α：用給定的角除以360°，余數(shù)就是角α.

2.當給定的角采用弧度（弧度數(shù)大于2π）表示時

（3）解：利用弧度和度的關系，需把上述除法中的360°換成2π，即做除法：，余數(shù)π就是角α，即7π=3×2π+π.故cos7π=cos（3×2π+π）=cosπ=-1.

（4）解：要計算sin11π4的值，類比（3）題，學生能想到做除法.但由于涉及分數(shù)相除，比較困難.可改為：用分母4與2π的乘積做除數(shù)，即做除法：，得11π=8π+3π，從而11π4=8π+3π4=2π+3π4.故sin11π4=sin2π+3π4=sin3π4=sinπ-π4=-sin-π4=sinπ4=22.

（5）解：仿（4）做除法，得10π=6π+π，10π3=6π+4π3=2π+4π3，從而cos10π3=cos2π+4π3=cos4π3=cosπ+π3=-cosπ3=-12.

歸納：當給定的角用弧度表示且弧度數(shù)大于2π時，可以做除法來確定角α：用給定的角除2π，余數(shù)就是角α.特別的，當給定的角用弧度表示且弧度數(shù)是分數(shù)時，可把除數(shù)改為2π與分母的積.

我們的體會是：既要注重理論知識的傳授，又要注重思想與方法的培養(yǎng)，在把握教學重點和難點的基礎上，提高應用知識的能力為主線，將教學內容和學生實際、教學方法有機結合在一起，切實提高數(shù)學課堂的教學質量.

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