探一類弦長計(jì)算結(jié)構(gòu)，促進(jìn)解題技能升級

朱芷漪 徐琳 張治中

用代數(shù)坐標(biāo)對幾何性質(zhì)的研究，經(jīng)常被繁瑣的計(jì)算所困擾.圓錐曲線的弦長相關(guān)的結(jié)構(gòu)和結(jié)論之間有著內(nèi)在的同構(gòu)特征，在認(rèn)知和操作上具有正遷移功能.因此，按弦所在的直線位置劃分，把步驟、結(jié)構(gòu)與數(shù)量用字母定型.在認(rèn)知和技能層面上給予強(qiáng)化，有利于計(jì)算能力形成.

一、一類弦長的一般結(jié)構(gòu)與結(jié)論

（一）把過焦點(diǎn)的直線截圓錐曲線得的弦長稱為一類弦長

例1設(shè)過右焦點(diǎn)F2的直線，與橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）交于A（x1，y

二、一類弦長技能訓(xùn)練的主要環(huán)節(jié)及主要內(nèi)含

過心理關(guān)，代入時(shí)，要以完全平方式在心理以表象形式展開及合并，同時(shí)，依次默念并寫出一元二次方程；對三項(xiàng)的式子及符號，根據(jù)弦所在的直線的位置較樣；要親歷完成通分、消項(xiàng)、瘦身（提出a2b2公因子）、按定義組合、開方五個(gè)環(huán)節(jié)的運(yùn)算，對各步結(jié)構(gòu)、形態(tài)形成穩(wěn)定的表象后，反復(fù)數(shù)量對比、品味，就會發(fā)現(xiàn)好風(fēng)景.

知行互動(dòng)，通過練習(xí)，版面只出現(xiàn)①②③結(jié)構(gòu)形式.理解k，p（a，b），|AB|要素的數(shù)量對應(yīng)關(guān)系，豐富思維自由度.當(dāng)p（a，b）轉(zhuǎn)化成為常數(shù)時(shí)，一類弦長可以理解為|AB|=f（k）的函數(shù)形式，是二次函數(shù)比二次函數(shù)類型.可以用裂項(xiàng)、求導(dǎo)及解不等式等方法，討論單調(diào)性、極值等基本數(shù)學(xué)問題.理解是記憶的基礎(chǔ)，方法是技能的階梯.

三、用問題推動(dòng)認(rèn)知與技能升級

例5（2010新課標(biāo)全國數(shù)學(xué)卷文科20題），設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2+y2b2=1（0

例72014山東數(shù)學(xué)高考題21題，已拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過A的直線l交于C另一點(diǎn)B，交x軸的正半軸于點(diǎn)D，且有FA=FD.當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí)，△ADF為正三角形.（1）求C的方程.（2）若直線l′∥l，且l′和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E.（ⅰ）證明直線AE過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo).（ⅱ）

△ABE的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值，若不存在.請說明理由.

②式的迅速產(chǎn)生，得益于拋物線一類長的中間結(jié)構(gòu)的支架.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，僅有理論上的原則性的思想方法是不夠的，用一類弦長解題簡單，是因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)和結(jié)論是以技能形態(tài)存在的.技能是數(shù)學(xué)解題實(shí)踐平臺，也是能力形成的必由之路.