應用洛必達法則求極限中的常見錯誤及分析

陳作清

【摘要】本文全面闡述了應用洛必達法則求極限時的常見錯誤，并通過例題加以分析，讓學生加深對法則的理解，從而可以提高學生應用法則解題的能力.

【關鍵詞】極限；洛必達法則；未定式

【中圖分類號】O171【文獻標識碼】A

【基金項目】中南民族大學教研項目，項目編號：JYX09010.

極限理論是高等數學的基礎理論，在高等數學中幾乎每一個概念都離不開極限，而極限的運算又是高等數學中一類非常重要的計算，其計算方法多種多樣.洛必達法則是用來求00型和∞∞型未定式的極限的一種簡便且重要的方法.

洛必達法則的內容比較容易理解，應用其求極限方法也較易掌握，所以學生在解題時很喜歡應用此法則.但是在教學過程中發現，學生在實際應用當中經常出現各種錯誤，使得無法求出正確的極限值.本文主要對學生在應用洛必達法則求極限的過程中出現的錯誤進行了比較全面的歸納，并通過具體的典型例題加以分析.

1忽略了洛必達法則的使用條件

洛必達法則僅限于求00型和∞∞型或可化為這兩種類型的未定時的極限，若不滿足這一基本條件是不能使用洛必達法則的.因此在解題時必須先驗證所給極限是否為00型或∞∞型.尤其是在連續多次應用洛必達法則時需要逐步驗證.

例1求limx→1x3-3x+2x3-x2-x+100

錯解limx→1x3-3x+2x3-x2-x+1=limx→13x2-33x2-2x-1=limx→16x6x-2=limx→166=1.

分析上述求解過程中，洛必達法則連續使用了三次，但在第三次應用法則時limx→16x6x-2已不是未定式，對其應用洛必達法則是錯誤的.

正確解法limx→13x2-33x2-2x-1=limx→1x3-3x+2x3-x2-x+1=limx→16x6x-2=64=32.

2.把洛必達法則的條件當成了充要條件

事實上，洛必達法則的條件只是充分條件，不是必要條件.因此當limf′（x）g′（x）不存在（且不等于∞）時，并不能斷定limf（x）g（x）也不存在.

例2求limx→0x2sin1xsinx00

錯解limx→0x2sin1xsinx=limx→02xsin1x+cos1xcosx，因為x→0時，cos1x極限不存在，因此limx→02xsin1x+cos1xcosx不存在，所以limx→0x2sin1xsinx也不存在.

分析limx→02xsin1x+cos1xcosx不存在，不能斷定limx→0x2sin1xsinx也不存在.可用其他方法求解.

正確解法limx→0x2sin1xsinx=limx→0xsinxlimx→0xsin1x=1×0=0.

3.不注意化簡及與其他求極限的方法相結合

洛必達法則的確是求未定式極限的一種比較有效的方法，但是在計算過程當中如果能化簡的不化簡，又沒有恰當的與其他求極限方法相結合，那么很可能導致計算繁瑣，以至無法求得正確結果.這一點很多學生在解題時是經常忽略的，往往計算了大量篇幅，卻求出了錯誤結果或半途而廢了.

下面舉例說明：

例4求limx→π2tanxtan3x∞∞

分析如果直接應用洛必達法則，分子分母的導數會越來越復雜，尤其在經過多次求導之后.如果進行適當的恒等變形和化簡，則可簡化計算.

解limx→π2tanxtan3x=limx→π2sinxcosxsin3xcos3x=limx→π2sinxsin3x·limx→π2cos3xcosx=-limx→π2-3sin3x-sinx=3.

此題的常見錯誤還有誤把x→π2當作x→0，直接使用等價無窮小代換.

例5求limx→0sinx-xcosxsin3x00

分析如果直接應用洛必達法則，分母的導數（尤其是高階導數）會較繁.如果先采用等價無窮小代換，那么運算就方便多了.

解因為x→0時，sinx：x，所以limx→0sinx-xcosxsin3x=limx→0sinx-xcosxx3

=limx→0cosx-cosx+xsinx3x2=limx→0sinx3x=13.

4.誤認為洛必達法則是萬能的

洛必達法則雖然對求未定式的極限很有效，但也不是萬能的.一方面，對于某些未定式，應用洛必達法則是無法求出其極限的；另一方面，對于某些類型的未定式，應用其他求極限的方法可能要比應用洛必達法則方便的多.

例6求limx→π2secxtanx∞∞

分析如果應用洛必達法則，有limx→π2secxtanx=limx→π2tanxsecxsec2x=limx→π2tanxsecx，再次應用洛必達法則又回到了原來的形式，這說明洛必達法則失效.應采用其他方法來求.

解limx→π2secxtanx=limx→π21cossinxcosx=limx→π21sinx=1.

如上例情形的還有limx→+∞1+x2x，limx→+∞ex-e-xex+e-x等，這些極限如果應用洛必達法則來求都會出現循環現象，因此不能應用洛必達法則，但都可應用其他方法求出其結果，讀者可自行求解.

下面我們再來舉幾個應用其他求極限的方法要比應用洛必達法則更簡便的類型.

例7求limx→0cosx-e-x22sin4x00

分析如果應用洛必達法則，要連續多次使用，分子分母的導數會越來越復雜，很容易計算錯誤，本題可以等價代換后，應用泰勒公式來求極限.

解因為當x→0時，sinx：x，cosx=1-x22+x44+o（x4），

e-x22=1-x22+12！x44+o（x4），所以limx→0cosx-e-x22sin4x=limx→0-x412+o（x4）x4=-112.

例8求limx→0+sinxx1x21∞

分析對于1∞型未定式，利用重要公式limx→0（1+x）1x=e來求解通常也會比應用洛必達法則簡便.

解法一（應用洛必達法則）

limx→0+sinxx1x2=limx→0+e1x2lnsinxx=elimx→0+1x2lnsinxx，

由于limx→0+1x2lnsinxx=limx→0+xsinx·xcosx-sinxx22x=limx→0+xcosx-sinx2x2sinx=limx→0+xcosx-sinx2x3=limx→0+-xsinx6x2=-16，

所以limx→0+sinxx1x2=e-16.

解法二（應用重要極限公式）

limx→0+sinxx1x2=limx→0+1+sinx-xxxsinx-x·sinx-xx·1x2=elimx→0+sinx-xx3，

由于limx→0+sinx-xx3=limx→0+cosx-13x2=limx→0+-sinx6x=-16，所以limx→0+sinxx1x2=e-16.

顯然解法二要比解法一簡便很多.事實上，對于1∞型未定式，應用重要極限公式來求極限往往要比直接應用洛必達法則要更簡便，關于這一方面的內容可參見文[3].

可見，盡管是符合洛必達法則條件的未定式，也不能盲目的使用洛必達法則，而要分析所給題目的類型，盡量選用較簡潔的方法，才能夠方便快捷的得到正確結果.

總之，要想應用洛必達法則準確快捷的求出未定式的極限，一定要避免上面所提及的一些常見錯誤，并靈活應用各種求極限的方法.希望以上內容對于學生們更好的應用羅畢達能夠起到指導意義.

【參考文獻】

[1]同濟大學應用數學系.高等數學（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2008：：134-139.

[2]華東師范大學數學系.數學分析（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2001：141-146.

[3]殷紅燕.兩個重要極限公式求特定類型的極限的方法[J].高等函授學報，2012（6）.