在弱條件下判別曲線拐點的一種新方法

李柱恒

【摘要】當f（x）在點x0處不可導、二階導數的表達式復雜且在x0的去心領域Uo（x0）內不容易確定正負號時，本文利用拉格朗日中值定理與極限的保號性定理得到只需用f（x）的一階導數的符號判別點（x0，f（x0））是否為曲線y=f（x）的拐點的方法.

【關鍵詞】曲線；拐點；導數

【中圖分類號】O172.1

當函數f（x）在x0處的一階導數f′（x0）=0時，文[2]給出了用函數f（x）的一階導數f′（x）在U0-（x0），U0+（x0）的符號來判別曲線y=f（x）的拐點方法，文[2]的方法都要求函數f′（x0）存在，曲線y=f（x）的拐點的定義（見文[1]）并不要求f′（x0）存在，本文討論了f（x）在x=x0處不可導時，求曲線y=f（x）拐點的新方法.

引理若limx→x-0f（x）=A>0（或為+∞），則存在δ>0，當x∈（x0-δ，x0）時，f（x）>0；若limx→x+0f（x）=A>0（或為+∞），則存在δ>0，當x∈（x0，x0+δ）時，f（x）>0.

證只證limx→x-0f（x）=A>0的情形，由左極限定義，對ε=A[]2，存

在δ>0，當x∈（x0-δ，x0）時，|f（x）-A|A-A[]2=A[]2>0.

對limx→x+0f（x）=A>0（或為+∞）與limx→x+0f（x）=A<0（或為-∞）等的情形也有類似的結論.

定理設函數f（x）在U（x0）內連續，在某去心領域Uo（x0）內有二階導數（在x0處可以不可導），且f′（x-0）與f′（x+0）存在（或為∞），若存在δ>0，使得f′（x）-f′（x-0）在（x0-δ，x0）內與f′（x）-f′（x+0）在（x0，x0+δ）內同號，則點（x0，f（x0））是曲線y=f（x）的拐點.

證用反證法，若存在δ>0，使得f′（x）-f′（x-0）在（x0-δ，x0）內與f′（x）-f′（x+0）在（x0，x0+δ）內同號，而點（x0，f（x0））不是曲線y=f（x）的拐點.則在半徑為δ的x0去心領域Uo（x0，δ），f″（x）≥0，或f″（x）≤0.但不在任一長度不為零的區間上等于零.不妨設f″（x）≥0，對任意x∈Uo（x0，δ），當x∈（x0-δ，x0）時，有x0-δ

例求下列曲線的拐點：（1）y=|x（ex-e）|；（2）y=|ex-e|1[]3ln1[]3x.

解（1）記f（x）=|x（ex-e）|，f′（x）=-x（ex-e），01.，f′（0-）=1-e，f′（0+）=e-1，f′（1-）=-e，f′（1+）=e，f（x）僅在x=0，1處的一、二階導數均不存在，在（-∞，0）內，f′（x）-f′（0-）=xex+ex-1<0，在（0，1）內，f′（x）-f′（0+）=-（xex+ex-1）<0，f′（x）-f′（1-）=2e-（1+x）ex>0，在（1，+∞）內，f′（x）-f′（1+）=（1+x）ex-2e>0，由定理知點（0，0）與（1，0）為該曲線的拐點.

（2）因為該例的二階導數的表達式很復雜，很難判別二階導數符號的正負，用本文的定理判別很簡單，記f（x）=|ex-e|1[]3ln1[]3x，則

f′（x）=-13（ex-e）-2[]3exln1[]3x+1x（ex-e）1[]3ln-2[]3x，01.

f′（1-）=f′（1+）=+∞，f（x）僅在x=1處的一、二階導數均不存在，在（0，1）內，f′（x）-f′（0-）=-∞<0，在（1，+∞）內，f′（x）-f′（1+）=-∞<0，由定理知點（1，0）為該曲線的拐點.

【參考文獻】

[1]同濟大學等編.高等數學（第六版）：上冊[M].北京高等教育出版社，2007.6.

[2]于淑蘭.關于曲線拐點的判別法.數學的實踐與認識，2003，33（1）：98-100.