說題一道技能大賽題有感

劉仁琴

【摘要】通過一次技能大賽的比賽，挖掘試題考查的知識、能力、思維等功能.分析試題的解題思路，切入點，關鍵點，預測學生的思維障礙.體會說題的價值及教學反思.課堂教學中注意一題多解，一題多變，啟發對題目的類型、條件的有效拓展.實現對試題的延伸與拓展

【關鍵詞】考查的知識、能力、思維；思維障礙，試題解析思路，一題多解，變式與拓展，反思總結

題目：已知拋物線C：x2=2pyp>0上一點S（m，4）（m>0）到焦點F的距離為|SF|=174.

1.求p，m的值；

2.設拋物線C上一點P的橫坐標為t（t>0）過P點的直線交C于另一點Q，交x軸于M，過點Q作PQ的垂線交C于另一點N，若MN是C的切線，求t的最小值.

波利亞在《數學的發現》的序言中寫道：“中學數學教學首要的任務就是加強解題的訓練.”從近幾年的高考試題看，注重對教材中的基礎知識，基本技能，基本方法和基本思想的考查.這道題設計巧妙，知識覆蓋面廣.對于教師把握新課標要求更高，思維能力更強.能有效檢測教師的專業能力，教學能力和教研能力.同時又能考查學生基礎知識，基本技能，及解題時注重通性通法.還能培養學生的思維能力，提高學生的綜合素質，達到真正有效的教學.此題通過以下三個方面考查：

（一）考查要求

從知識方面：

（1）考查拋物線的定義，標準方程和簡單的幾何性質；

（2）直線方程，曲線的切線方程及導數的幾何意義，曲線與方程、不等式等多種知識之間的交叉、滲透和綜合.

從能力方面：

（1）培養學生運算求解能力；

（2）數形結合能力及識圖、析圖數據處理能力；

（3）化歸轉化能力，使學生知識形成系統性，各種能力得到整合，獲得全面發展.

從思想方法：

（1）幾何問題代數化；

（2）數中有形，形中有數，數與形的完美結合的思想；

（3）函數與方程的基本思想.

（二）學情分析

（1）第一小題考查拋物線的定義及幾何性質難度中等偏易的題，學生易錯點是求拋物線的準線方程，正確理解拋物線的定義；

（2）第二小題涉及太多點的坐標是未知的，首先應克服心理關.注意解題時的通性通法.繁難的計算如何逐步分解，盡量減少未知量分別求出Q，M，N的坐標，對于MN是曲線的切線，利用切線的幾何意義的處理.大部分的學生有一定的困難，或者理解M點在過N點的切線方程.涉及函數方程的思想方法求t的最小值是此題的難點，如何突破難點？怎樣讓學生構建一個有序的網絡化的知識體系，使學生各種能力得到整合，獲得全面的發展.通過對本題分析講解，一題多解，拓展與變式得以鞏固.

（三）析題

切入點：對問題（1）準確理解拋物線的定義，求m，p；對問題（2）減少未知量使用，用t表示P，Q，M，N點的坐標，利用數形結合，把幾何問題代數化.

關鍵點：分別求出P，Q，M，N的坐標，準確理解MN是曲線C的切線與N的導數值關系.存在P點就是PQ的斜率存在，關于k的方程有解.利用函數方程的思想，求t的最小值.

（四）解題

圖1

（1）解拋物線的準線y=-p2，則FS=4+P2=174，P=12又S（m，4）在拋物線上，∴m2=4（m>0），m=2.

方程x2=y，所以m=2，p=12.

（2）過P點（t，t2）斜率存在的直線方程可設y-t2=kx-t，聯立y-t2=k（x-t），x2=y，得x2-kx+kt-t2=0.設Qx1，y1，MX0，O，Nx2，y2.

x1，t是方程的兩根，則x1t=kt-t2，x1=k-t，所以Qk-t，k-t2，Mkt-t2k，0.

直線QN與PQ垂直直線QN的方程y-（k-t）2=-1k（x-k+t），聯立方程組y-k-t2=-1kx-k+t，x2=y，得x2+1kx-k-t2+tk-1=0.

則又∵x1+x2=-1k，x1=k-t，x2=-1k-k+t，

N-1k-k+t，-1k-k+t2，kMN=-1k-k+t2-1k-k+t2k，

MN是C的切線，kMN=2x2，-1k-k+t2-1k-k+t2k=2（-1k-k+t）整理k2+kt-2t2+1=0.

關于k的方程有解則，Δ=t2-4×-2t2+1≥0.

9t2-4≥0；t≥23或t≤-23（舍去），∴t≥23，t的最小值23.

點評先確定PQ的直線方程，聯立方程組求出M，Q點坐標.QN與PQ垂直，確定QN的直線方程，求出N點坐標.直線MN與曲線C相切，利用導數的幾何意義，整理出關于t，k的方程，方程有解，從而求t的最小值.解題時注意通性通法，在不同知識交匯處要進行有效整合.解析幾何常常用“山重水復疑無路，柳暗花明又一村.”

第二小題解法2：設Pt，t2，Qx，x2，Nx0，x20，則直線MN的方程y-x20=2x0x-x0.

令y=0，得Mx02，0，所以kPM=t2t-x02=2t22t-x0，kNQ=x20-x2x0-x=x0+x.因為NQ⊥QP，且兩直線斜率存在，所以kPM·kNQ=-1.即2t22t-x0·x0+x=-1.整理，得x0=2t2x+2t1-2t2.又Qx，x2在直線PM上，則MQ與MP共線，得x0=2xtx+t.由得2t2x+2t1-2t2=2xtx+t（t>0）.所以t=-x2+13x，所以t≥23或t≤-23（舍去）.所以所求t的最小值23.

點評分別設出P，Q，N的坐標，利用直線MN，求出M點坐標，直線PM與NQ互相垂直，又M，Q，P三點共線，用t表示x0，整理得關于x，t的函數利用均值不等式求t的最小值.第二種解法利用三點共線應用曲線方程與不等式知識的有效結合.

（五）變式與拓展

變式1已P知拋物線C：x2=2pyp>0，其焦點F到準線的距離12.

（1）求拋物線C的方程；

（2）過M（0，1）作兩條直線l1，l2，l1與拋物線交于點A，B，l2與拋物線交于E，F，且直線AE，BF，且直線AE，BF交于點P，直線AF，BE交于Q點，求證：MP·MQ是定值.

變式2已知拋物線C的頂點為原點，其焦點F（0，c）（C>0）到直線l：x-y-2=0的距離為322，設P為直線l上的點，過點P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點.

（1）求拋物線C的方程；

（2）當點Px0，y0為直線l上的定點時，求直線AB的方程.

（六）反思

在我們數學教學過程中，應教會學生思考，善于思考，進行一道題目多種思路解法的訓練和變式訓練，讓學生的思維遷移、發散、開拓和活躍.使學生形成有序的網絡化的知識體系，從中領會“化歸轉化、數形結合、函數與方程”等基本數學思想.教學中鼓勵學生大膽猜想、探究、培養學生的創新能力，進一步激發學生的合作探究意識.只有這樣，課堂教學才會充滿與創新，在教學中演繹精彩.說題是一種教學教研活動，是一種有效的教與學的途徑，也是促進教師專業發展和促進學生學習的有效途徑.更有效地把握教材和高考命題的方向，發揮教材中例題，習題和高考試題的作用，提升課堂教學的針對性和有效性，促進教師專業水平的提升.