高中數學作業錯誤的分析和教學對策

王志靈

上海市普通中小學課程的基本理念是以學生發展為本，堅持全體學生的全面發展，關注學生個性的健康發展和可持續發展.高中階段的數學課程應突出體現基礎性、普及性和發展性，不同的人在數學上得到不同的發展，數學作業是重要的載體.

數學作業是數學教學中不可缺少的活動，是教師了解學生和檢查教學效果的主導性活動實踐.學生在完成作業時難免會出錯的，甚至于我們教師在每屆學生都會發現類似的問題.我們要進行認真的反思，錯誤為什么會出現呢？如何通過對錯誤的分析，日常教學中采取針對性的教學策略，如何充分利用學生的錯誤，挖掘錯誤的原因，舉一反三，避免類似錯誤再次發生，筆者就高中數學作業錯誤進行了分析，并提出了教學對策.

一、高中數學作業錯誤的類型和原因

根據《上海市中小學數學課程標準（試行稿）》（2004年10月第二版）和《2014全國普通高等學校招生統一考試上海卷考試手冊》的要求，數學科考試目標為：“考查考生的數學基本知識和基本技能、邏輯思維能力、運算能力、空間想象能力，分析問題與解決問題的能力以及數學探究與創新能力.”

結合近年來各種數學作業和考試的情況，以及考試的三個層次及難度分類，將認知水平分為三個層次：記憶性水平、解釋性理解水平和探究性理解水平.高中數學作業主要可以概括為下表情況：

認知水平及主要考點

序號

認知水平

基本特征

主要考點

1

記憶性水平

能識別或記住，在標準的情景中做簡單的套用或模仿.

概念性問題，如基本概念、性質、公式等的記憶及套用.

2

解釋性理解水平

明了知識本質，把簡單變式進行等價轉化，理解問題的本質，并分析和解決問題.

主要考察將各種形式的變式進行等價轉化，再解決問題，得出結論.

3

探究性理解水平

能從實際問題抽象出數學模型或歸納假設進行探究.

主要考察理論聯系實際和開放性、探究性題目.這類題目有較高的難度，需要理解問題的實質，將問題轉化為數學模型，再用數學語言解答.

這些認知水平可以用下面的金字塔進行描述.記憶性知識是基礎，是整個金字塔的基礎.如果連基本的概念等都搞不清楚，就無從談論解釋和探究了.從這張圖上，我們同時看到記憶和解釋性理解所占有的比重，是整個數學的關鍵.

認知水平金字塔

每堂課后，按教學內容和教學目標布置適量的數學作業，每天按時完成，第二天教師批改，教師通過批改作業，發現錯誤.根據上面認知水平金字塔，筆者將高中數學作業錯誤的類型分為三類：

（一）記憶性水平的錯誤

高中數學教學中，涉及大量的概念和公式，由于其本身的抽象性和復雜性，學生會有認知方面的錯誤發生.正如心理學家蓋耶所言：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最富有成效的學習時刻.”把學生課堂上出現的錯誤當作是一種生成性的教學資源，使學生在分析錯誤、改正錯誤的過程中，增進對數學知識的情感體驗，加深對知識點的理解.

案例1已知a1=λ，an+1=23an+n-4，bn=（-1）nan-3n+21，其中λ為實數，n為正整數.試判斷數列{bn}是否為等比數列，并證明你的結論.

筆者原以為，學生將an+1代入到bn+1后，通過計算化簡得出bn+1與bn的遞推關系式即：bn+1=（-1）n+1[an+1-3（n+1）+21]=（-1）n+123an-2n+14=-23（-1）n（an-3n+21）=-23bn，然后計算b1=-（λ+18）.有一部分學生都認為數列{bn}是首項為b1=-（λ+18），公比為q=-23的等比數列.平時愛問問題的學生來到辦公室，說：“老師，這一定是等比數列嗎？”，我立即當場表揚這名同學，有想法，敢質疑，很好！敢于提出自己的見解.然后，我又問他，你認為怎樣？他馬上說出自己的想法，如果λ=-18，那么b1=0，通過bn+1與bn的遞推關系式bn+1=-23bn，這樣會得出數列{bn}每項都為0.0，0，0，…，0這個常數列，不是等比數列.如果λ≠-18，b1≠0由上式可知bn≠0，∴bn+1bn=-23（n為正整數）.課堂上讓他在班級同學面前講出這些，這種做法既表揚這名同學，更激勵班級其他同學.合理地呈現學生典型的錯誤，暴露問題，引起共鳴.筆者平時的做法就是在課前把一些典型的錯誤記錄下來，并且通過習題課的形式，在講題時呈現，讓學生尋找錯誤所在，起到更好的示范效果.

（二）解釋性理解水平的錯誤

很多時候，學生在解題時出現困難，并不是因為題目太難，而是不能看出題目的要義，找不到解決問題的切入口，這是學生審題能力不強的表現.

案例2已知an=11+2+3+…+n，求數列{an}的前n項和Sn.

我所任教的兩個高三文科班級有近三分之一的學生沒能完成本題，其中有些學生在寫出S1=1，S2=S1+11+2=43，S3=S2+11+2+3=32…想通過前幾項特殊值，去猜測Sn.由于規律不容易找，之后就沒有下文了.為什么會出現這樣的情況？筆者意識到，學生的讀題習慣不好，理解題目的能力不強，尤其是在審題環節中，學生思維的邏輯性和條理性不夠.筆者在講評該題時引導學生反思：（1）能看懂題目的條件和要求的結論？（2）數列求和的常用方法有哪些？哪種方法可能適用于本題？（3）你做不下去的主要障礙是什么？能否對它進行適當地變形？變形后你有沒有驚奇的發現？（4）現在你有什么樣的感受或體會？

不僅要讀懂題意明確要求，還要對題目所包含的信息加以分析，找到解決問題的突破口或切入點.教師在平時的教學中要充分重視理解題目這個關鍵性的環節，培養學生良好的審題習慣.像案例2這樣，當學生的思維受阻時，要引導學生反思理解題目過程中的不足，理解題目所涉及的數學的知識點，重新找到解決問題的辦法，讓學生感受失而復得的成功喜悅.若能長期如此，一定能培養學生良好的習慣，讓學生領悟審題的一般程序和方法，提高學生的理解題目的能力.

（三）探究性理解水平的錯誤

葉瀾教授曾提倡：“用動態生成的觀念，重新全面地認識課堂教學，構建新的課堂教學觀，使課堂煥發生命活力.”數學教學，注重問題設計的整體性、層次性和探究性，通過問題串的設計來體現低起點、小坡度、密臺階，符合學生的認知規律，提高分析問題和解決問題的能力.

案例3某地街道呈現東—西、南—北向的網格狀，相鄰街距都為1.兩街道相交的點稱為格點.若以互相垂直的兩條街道為軸建立直角坐標系，現有下述格點（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5），（6，6）為報刊零售點.試確定一個格點（除零售點外）為發行站，使6個零售點沿街道到發行站之間路程的和最短.

設發行站的坐標為（x，y）（x，y為整數），則發行站到各零售點的距離為d.則d=2|x+2|+2|x-3|+|x-4|+|x-6|+|y-1|+|y-2|+|y-3|+|y-4|+|y-5|+|y-6|.這是一種絕對值型函數，雖然式子中有兩個變量，但是這兩個變量之間彼此獨立，相互不受影響.可以分別對關于x和y的函數f（x）=2|x+2|+2|x-3|+|x-4|+|x-6|和g（y）=|y-1|+|y-2|+|y-3|+|y-4|+|y-5|+|y-6|求最小值.對于絕對值函數f（x）和g（y），解決的一般方法是將函數絕對值的絕對號去掉，使之變成在區間上的分段函數.本題關鍵在建模后對函數模型的認識，如果被題目中含有兩個自變量的函數形式嚇住，這個問題就沒有辦法解決；如果能清楚地了解到這兩個變量之間的獨立性，問題也就迎刃而解.

多數同學建立數學模型后，不知道怎樣處理這兩個變量，被題目中含有兩個變量的函數形式嚇住，以至于建立模型后，也不知道接下來該怎樣處理.還有就是有些同學不知道怎樣建立模型，沒能從實際問題抽象出數學模型.

二、針對高中數學作業錯解的對策

在高中數學學習過程中，學生在平時的作業和訓練中隨時會出錯，出錯并不可怕，關鍵是如何對待這些錯誤，如何通過錯誤有效地教育或引導，激發學生積極思考，達到鍛煉學生分析問題和解決問題的能力.“失敗是成功之母”，錯誤即增長點.錯解不可回避，要認真對待它，使之發揮正面作用.一般來說，我們應該在下面幾個方面進行重點地關注.

1.平常教學過程中，在保證學科要求的前提下，重點加強記憶性水平和解釋性理解水平的知識點學習，同時再進行探究性理解水平的知識點學習.數學練習基本是以這個目標進行設計的，只是改頭換面罷了，其實質是不會變的，萬變不離其宗.如果學生領悟和理解了，就會在很多情況下游刃有余.

案例4求橢圓x24+y2=1中斜率為1的平行弦的中點的軌跡？

課堂給學生介紹了用參數法解決此類題.在接下來的作業中，學生發現弦長端點都滿足橢圓方程，代入再作差后得到斜率的關系，進而得出平行弦中點軌跡.當學生們對自己方法感到竊喜時，我提出了：這方法有沒有哪里欠缺考慮了？有學生提出：該方法不能確保橢圓與弦所在的直線一定有兩個交點.接下來學生補充到：那可以把求出的軌跡方程和橢圓聯立求二次方程的判別式.通過這兩種方法的對比，很多學生發現還是參數法好，不容易出錯.

2.正確心態對待錯誤的發生.平時，面對學生的學習錯誤，不要過于批評，要鼓勵其改正錯誤.對學生的錯誤進行懲罰等行為則是更不應該發生的.否則長期以往，學生會有一種學習的消極或恐懼心理，反而不利于學生的成長.當然，草率地對待錯誤，甚至不理會或放任學生的錯誤也會走向另外一個極端，也是不可取的.

3.將典型性錯誤作為例題進行講解，作為知識點講解的一部分.對這些頻率發生較高的或具有普遍性的錯誤進行講解，有利于大家在有限的時間里面都能夠最高效益地學習.

三、高中數學作業錯解的反思

高中數學是復雜而抽象的，學習過程中出現錯誤是正常的.老師要深入地研究教材，有的放矢地加強重點內容的學習，加強對錯誤的理解.利用錯誤進行教育或引導學生，起到對知識加深.讓學生從正反兩個方面對知識點加深理解，搞懂其中蘊含的數學哲理.

教師也要善于利用典型性錯誤來對同學進行教育.作為老師，我們應該以其獨特的視角去反思我們的教學過程，發現錯誤的根源及錯誤的價值，把學生犯錯的過程看作是一種嘗試，將學生的錯誤轉化為教學的巨大財富.

荷蘭數學教育家弗賴登塔爾也曾經指出：反思是數學活動的核心和動力，可見反思的重要性.培養學生解后反思的習慣，要指導他們如何進行解后反思，教給他們解后反思的內容或著重點.題目做錯了要反思，題目做正確了也要反思；課堂上要反思，課后也要反思；可以進行個人反思，也可以進行集體反思；可以進行口頭反思，也可以進行筆頭反思.只有這樣，才能使學生在解后反思中，更加真切地領會題目中所涉及的基本知識、基本方法和基本思想，逐步掌握獨立思考、自主探究、合作交流等重要的學習方法，也才能讓學生深刻體會探究的樂趣，充分享受解題帶來的成就感.

高質量、高效率的數學課，需要教師精心準備課堂上所講的內容和課后配套的鞏固性作業.課堂上糾正作業時，有效講評，做到評講通法，觸類旁通，切實提升學生解題能力，讓數學課堂真正更有效、有益.