論高等數學在初等數學中的應用

穆圳

【摘要】本文首先分析了初等數學與高等數學之間的關系，然后通過運用高等數學知識解答幾個初等數學例題，來說明高等數學知識在初等數學解題中的優勢.

【關鍵詞】高等數學；初等數學

一、引言

初等數學知識是學習數學知識的基礎，只有學習好了初等數學才能夠更好的學習高等數學，所以高等數學是在初等數學基礎上的發展與提高.同時考慮到學生接觸年齡階段普遍的思維方式以及接受知識的能力，綜合考慮有必要先進行初等數學知識的學習.但是反過來，學習了高等數學以后，可以運用高等數學知識更好地理解和解決初等數學相關知識.

二、高等數學知識在初等數學中的應用實例

不等式的證明是最常見的一種高等數學知識的靈活運用，另外概率法、微積分、齊次線性方程組等高等知識的運用同樣使初等數學問題明朗化和簡易化.下面簡單對其中的幾種高等知識運用問題進行實際分析.

1極值問題知識在初等數學中的應用

例1求函數f（x）=x3-3x+3（x>0）的最小值.

解設x0=x-m，則f（x）=（x0+m）3-3（x0+m）+3=x0+3mx20+（3m2-3）x0+3-3m+3m2.

令3m2-3=0，則解得同m等于1和-1，因為x>0，則f（x）=（x-1）3+3（x-1）2+1=（x-1）2（x+2）+1≥1.

所以，當x等于1的時候，函數存在極值，即最小值，最小值為1.

從這個例題中可以看出，運用極值進行問題解答的關鍵在于把函數展開成一個缺一次項的展開式，在高等數學里可直接使用泰勒級數，但初等數學中就只能采用待定系數法.高等數學的指導意義在于若函數在給定區間內存在極值，則存在使其一階導數為零的點，因而函數的泰勒級數一定有使一次項系數為零的點存在.而求導的一個初等化方法就是可用待定系數法來達到這一目的.也就是求得使一次項系數為零的常數m.

2利用函數的單調性質證明不等式

利用函數的單調性是一種最常用也是最常見的證明不等式的方法，其有以下幾個步驟組成：

（1）對不等式進行變形，使不等號左端或者右端化為f（x）的形式，另外一端等于零（或者等于一個常數），一般來說函數肯定會有一個端點值又或者其數值的正負已經確定；

（2）討論f（x）的單調性；

（3）根據f（x）的單調性以及端點值，就能夠解決不等式的證明問題了.

例2證明當0

證明令f（x）=tanxx，x∈0，π4，則其導數F（x）>0，說明f（x）在0，π4上單調遞增，并且可導，那么x=π4時取得最大值，由于x位于分母上不能為零，f（x）那么用無限趨近于零，取得其最小值0.所以當0

通過函數單調性進行不等式的證明關鍵是構造函數，然后根據其導數函數的符號，有必要的話可以求更高階導數，其目的是最終確定所構造函數在區間內的單調性，通過求端點值來證明不等式.

3利用向量問題證明不等式

向量的數量積存在性質：a·b=|a|·|b|cosθ≤|a|·|b|.

例3設a，b，c，d∈R+，證明（ab+cd）≤（a2+c2）·（b2+d2）.

證明構造向量m={a，c}，n={b，d}，那么存在

（ab+cd）2=（m·n）2=|m|2|n|2cos2θ≤|m|2|n|2=（a2+c2）（b2+d2）.

4微積分在初等數學中的應用

例4證明當0

證明設y=lnx，它在區間[a，b]滿足拉格朗日中值定理的條件，有lnb-lnab-a=1ξ，0

若用初等數學的知識解題便會發現此題幾乎無從下手，將不等號兩邊相減或相除來證都是比較困難的，因為有個對數函數在，而只要用拉格朗日中值定理，則此題便迎刃而解.

三、結語

從例題我們可以看出利用初等數學知識來解答這些問題的話，必然會繁瑣無比，而我們通過利用高等數學知識就可以很巧妙地將題解出來，但是這并不意味著可以省略初等教學過程，而直接進行高等數學知識的學習，因為初等數學知識是基礎，只有將基礎打牢了，才能夠更好的學習高等數學知識，才能更靈活地運用高等知識進行解題.同時還需要考慮的是學生不同年齡段的接受知識能力不同，而進行不同程度的教授知識.

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