芻議高中數學解題中的一個重要思想

郭瑞

【摘要】“數無形時不直觀，形無數時難入微”道出了數形結合的辯證關系，數形結合簡言之就是：見到數量就應想到它的幾何意義，見到圖形就應想到它的數量關系。在高學數學教學中，數形結合對啟發思路，理解題意，分析思考，判斷反饋都有著重要的作用。數形結合滲透在中學數學的每個部分，根據數形結合的觀點，可以通過對數量關系的討論來研究圖形的性質，也可利用圖形的性質來反映變量之間的相互關系，因此數形結合可以使數和形相互啟發、相互補充、相互印證。本文將對數形結合思想在高中解題做一探討。

【關鍵詞】數性結合；數學思想；高中數學

數學是研究現實世界的空間形式和數量關系的科學（恩格斯語）。數學中兩大研究對象“數”與 “形”的矛盾統一是數學發展的內在因素，數形結合是貫穿于數學發展歷史長河中的一條主線，并且使數學在實踐中的應用更加廣泛和深入。一方面，借助于圖形的性質可以將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化，給人以直覺的啟示。另一方面，將圖形問題轉化為代數問題，以獲得精確的結論。這種“數”與 “形”的信息轉換，相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡捷明快，同時還可以大大開拓我們的解題思路，為研究和探求數學問題開辟了一條重要的途徑。

因此，數形結合不應僅僅作為一種解題方法，而應作為一種重要的數學思想，它是將知識轉化為能力的“橋”。而課堂中多媒體的應用更有利于體現數形結合的數學思想方法，有利于突破教學難點，有利于動態地顯示給定的幾何關系，為學生創設愉快的課堂教學氣氛，激發學生的學習興趣，使學生喜歡數學，愛學數學。下面結合筆者教學過程中，討論此思想方法在中學數學解題中的具體應用。

1．利用數形結合解決函數問題

例1求函數 的值域。

解法一（代數法）：則 ，得

而

解不等式得

所以函數的值域為：

解法二（幾何法）： 的形式類似于斜率公式

表示過兩點 的直線斜率

由于點 在單位圓 上，（見下圖）

顯然，

設過 的圓的切線方程為

則有 ，解得

即

所以函數的值域為：

例2求函數 的值域。

解：有函數解析式易知，此函數定義域為

令

由圖可知，當 時

=

故所求值域為（- ， ）

函數的圖象是函數對應規律的幾何表示能直觀的反映函數的性質，是解決問題的有力工具，問題關鍵是把函數的性質與圖像的性質結合起來，亦即形與數的結合。

2．利用數形結合解決解析幾何問題。

例3求函數 的最大值和最小值。

分析： 的形式相似于斜率 的形式，因此可以把看作是動點 與定點 連線的斜率，所求問題轉化為求斜率 的最大值和最小值，由于動點在圓上，因此可以把這個問題轉化到圖形上來處理。

解：由題意，作出如圖，所要求的函數 的最大值與最小值，就轉化為求動點 與定點 連線的斜率的最大值與最小值。從圖中可以得知，當直線 和圓相切時，分別得到其最大值與最小值，設直線 的斜率為 ，所以，其方方程為 ，即 。當直線 與圓相切時， 即

（上接第160頁）

解得 或

所以

例4已知 表示曲線有公共點，求半徑 的最值。

解：將方程

化為標準方程

它表示中心在 ，長半軸為2且在x軸上，短半軸為1的橢圓。

方程

表示圓心在 的同心圓系，如圖2易知：當 ，兩曲線有公共點。

所以? =6

利用數形結合解決解析幾何問題時，借助曲線方程使抽象問題形象化，將數量關系直觀化是解決問題的關鍵。

總之，數學研究的對象本身就是現實世界中的數量關系和空間形式，所以數形結合往往使一個問題的兩個方面互相映射，互相轉化，使抽象思維和形象思維交互作用，從而達到優化解題的目的。數形結合既具有數學學科的鮮明特點，又是數學研究的常用方法.縱觀多年來的高考試題，利用數形結合思想解題比比皆是，因此在教學中應引導學生樹立數形結合的思想，以形助數巧解代數問題。

參考文獻：

[1]李玉琪.中學數學教學與實踐研究[M].北京：高等教育出版社，2006.6.

[2]梁法馴.數學解題方法[M].武漢：華中理工大學出版社.1995.3.