高中數學解題策略初探

李樹明

摘 要：試圖從常規常法、從特殊到一般、從模型化的思想方法中闡述：如何培養學生在解決數學問題中構建“解題策略”這一過程性思維能力的方法。

關鍵詞：解題策略；分析法；綜合法；特殊值法

問題是數學的核心。如何培養學生解決數學問題的能力是每個數學老師不可避免的話題。解決數學問題的過程雖然各有千秋，但都離不開：（1）審題；（2）尋求解題策略；（3）書寫解答過程。這三步中尋求“解題策略”是能否解出這道題的關鍵。我們常常聽到學生報怨：“定理、公式我都會，可是要用的時候總是用不來。”“老師講的題目我都聽得懂，可是要我自己想，卻想不出來。”等等，甚至一碰到沒做過的題目便盲目猜測，完全亂了分寸……究其原因，發現教師在平時的教學中忽略對“解題策略”這一過程性思維能力的重視與有意識培養，使學生在對待具體問題時不能冷靜、從容、科學有效地思維。多年的課堂教學中，本人不斷嘗試探索如何有效地培養學生尋求“解題策略”這一過程性的思維能力。有了些許收獲，我把我的點滴積累寫出來，與各位同仁一起探討、交流。

一、狠抓常規常法：左右開弓

解一道題從本質上講就是構建從“已知”到“未知”（結論）過程。正向：從“已知”到“未知”（結論）順其自然便是綜合法思路；逆向：從“未知”到“已知”，正難則反（這里的反指的是從結論到已知。）就是分析法思路，這兩種思維一正一反，所以分析法和綜合法思路是探求解題策略的最基本方法。

分析：三角變換的技巧是從函數“名稱”或“角的大小”兩個維度進行思維。本題觀察已知角與所求角的特點，構建從“核心條件”到“結論”過程：根據角“β=α-（α-β）”，借助正弦兩角和差公式，順其自然，一氣呵成。

例2.已知函數y=f（x）滿足：對任意a，b∈R，a≠b，都有af（a）+bf（b）>af（b）+bf（a），試證明：f（x）為R上的單調增函數。

分析：本題“核心條件”是：af（a）+bf（b）>af（b）+bf（a），而要到達的結論是：證明函數f（x）為R上的單調增函數。于是我們思考方向：如何證明一個函數的單調性？自然想到單調性的定義或導數法（這里用不上）。因而由函數的單調性定義入手：

已知x1f（x2）。證明：（略）。

分析：要證明上述不等式成立，暫無條件可用，這時“正難則反”可以從所要證明的結論出發，逐步反推，尋找使當前命題成立的充分條件，即用分析法思路證明。

用綜合法思路尋求解題策略是“由因導果，順其自然”，而分析法思路則是“正難則反，執果索因”。它們是截然相反的兩種尋求“解題策略”的方法。一正一反構成我們尋求“解題策略”的最基本方法。

二、用“模型化思想”撥云見日

類比總結過的基本題型是探索“解題策略”的重要方法。

例4.（2012·浙江高考）若正數x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是（ ）

（A）3 （B）4

（C）5 （D）6

例5.求數列0.8，0.88，0.888，…的一個通項公式。

在學習中有意識地總結一些基本題型，在習題教學中引導學生運用“模型化”思想解決問題，是培養學生尋求“解題策略”的重要手段。

三、小題不大作，特殊值法顯身手

例6.如圖左，若D、E、F分別是三棱錐S-ABC的側棱SA、SB、SC上的點，且SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，那么平面DEF截三棱錐S-ABC所得的上下兩部分的體積之比為（ ）

A.4：31 B.6：23

C.4：23 D.2：25

例7.設整數n≥4，集合X={1，2，3，…，n}。令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三個條件x

A.（y，z，w）∈S，（x，y，w）？埸S B.（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S

C.（y，z，w）？埸S，（x，y，w）∈S D.（y，z，w）？埸S，（x，y，w）？埸S

分析：本題較為復雜，又是小題，“小題不大作”。題目中x

四、運用化歸轉化思想，有時“猜”也是個不錯的尋求“解題策略”的方法

試題給出的條件與結論跨度很大或感覺無從下手時，我們試著從特殊情況嘗試，大膽的“猜”或許便會“柳暗花明”。

分析：本題有一定的思維量，不易入題。我先代入一些特殊值，猜一猜這個抽象式子有何規律。由已知2f（x+2）-f（x）=0得f（x）=2f（x+2），令x=0，有f（0）=2f（2），再令x=2得f（2）=2f（4），所以f（0）=4f（4）。于是我們便發現函數f（x）每隔兩個單位其函數值縮為原來一半的伸縮變換（從左到右）。所以“核心條件”是當x∈（-4，-2）時，f（x）的最大值為-4，等價于f（x）在x∈（0，2）時，f（x）=lnx+ax，時f（x）的最大值為-1（縮為原來的），思路豁然開朗。

解題策略的構建是一個極為復雜的課題，以上只是本人一些粗淺的想法。在課堂教學中教師不僅要講清楚如何解決一個問題，更重要的是要講透為什么這樣解。引導學生從常規常法、由特殊到一般法、從模型化的思想方法等幾個方面尋找“解題策略”這一過程性思維必不可少。當然學生多練、多思、多歸納總結是培養學尋求“解題策略”的不二法門。

參考文獻：

張泉.世紀金榜：高中全程復習方略.福建教育出版社，2014-03.

編輯 魯翠紅