談對反函數(shù)概念的理解

張永清

摘 要：一個函數(shù)的反函數(shù)以及什么樣的函數(shù)才有反函數(shù)，函數(shù)的反函數(shù)怎樣正確地求解，從正確理解反函數(shù)的概念出發(fā)，優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域，結(jié)合案例進行概述。

關(guān)鍵詞：反函數(shù)；定義域；值域；自變量

反函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個重要內(nèi)容，在反函數(shù)概念的學(xué)習(xí)中，要重視對概念的本質(zhì)剖析，應(yīng)從不同角度深刻理解其內(nèi)涵、性質(zhì)。

一、正確理解反函數(shù)概念中的有關(guān)符號

課本中的定義為：函數(shù)y=f（x）（x∈A）中，設(shè)它的值域為C。用 y把x表示出來，得到x=φ（y），這里y是自變量，x是自變量y的函數(shù)。我們把函數(shù)x=φ（y）（y∈C）叫做y=f（x）（x∈A）的反函數(shù)，記作 x=f-1（y），在x=f-1（y）中，y依然表示自變量，x依然表示函數(shù)。

而把x，y互換，把x=f-1（y）改寫成x=f-1（x），純粹是習(xí)慣上用 x表示自變量，y表示函數(shù)。

故：在反函數(shù)的概念中，關(guān)鍵是看清誰表示自變量。

我們知道在平面直角坐標(biāo)系中，橫軸表示自變量軸，縱軸表示函數(shù)值軸。而我們通常認(rèn)為x軸為橫軸，y軸為縱軸，就是由于習(xí)慣上用x表示自變量，y表示函數(shù)。故有人認(rèn)為y=f（x）和x=f-1（y）揭示的（x，y）的同一關(guān)系，則為同一圖象。這種觀點是不恰當(dāng)?shù)摹Ｋ鼈兊膱D象就應(yīng)該關(guān)于直線y=x對稱，原因就是在y=f（x）中，x表示自變量；在x=f-1（y）中，y表示自變量。而用哪一個字母符號表示自變量并不重要，關(guān)鍵是只要認(rèn)為橫軸表示自變量軸就足夠了。

二、y=f（x-1）與x=f-1（x-1）是否互為反函數(shù)

因為y=f（x-1），則f-1（y）=x-1，x=f-1（y）+1，將x，y互換即得y=f（x-1）的反函數(shù)為y=f-1（x）+1，此函數(shù)顯然與y=f-1（x-1）是不相同的。

因此，y=f（x-1）的反函數(shù)不是y=f-1（x-1）。下面例題1中的解法一是錯誤的，解法二是正確的。

三、堅持“定義域優(yōu)先”原則

例2：求函數(shù)y=x2（x<0）的反函數(shù)。

四、幾個重要結(jié)論

1.只有一一映射的函數(shù)才存在反函數(shù)。

2.單調(diào)函數(shù)一定有反函數(shù)，且互為反函數(shù)的兩個函數(shù)同增減。

3.有反函數(shù)的函數(shù)不一定是定義域上的單調(diào)函數(shù)（例如y=）。

4.函數(shù)與其反函數(shù)的圖象有公共點，則它們的公共點不一定全在直線y=x上（例如y=-x；y=；y=-x+2，x∈（0，+∞）等）。

5.分段函數(shù)的反函數(shù)是由分別求出各段逆表達(dá)式后合成的。

編輯 董慧紅